Практическое применение теории портфеля Г. Марковица

Представим, что у нас есть 10000р. И мы хотим найти наименее рискованный портфель при 10% норме доходности, т.е. требуем 1000р. дохода.
Воспользуемся пакетом оптимизации в Maple. Покажем код программы, который нам даст оптимальный портфель
> n := 5: X := :
c := 10000;
G := 1000; # доходность 10%
r := <0.154,0.319,-0.018,-0.111,-0.183>;
Q := <<0.015,0.001,0.005,0.000,0.007> |
<0.001,0.008,0.000,0.001,-0.004> |
<0.005,0.000,0.009,-0.001,0.001> |
<0.000,0.001,-0.001,0.007,-0.002> |
<0.007,-0.004,0.001,-0.002,0.087> >;









Тогда целевая функция - квадратичная функция по X, следовательно можем использовать квадратичную оптимизацию.
> objective := expand( Transpose(X).Q.X );

Наши ограничения
> budget := add( x[i], i=1..n ) <= c;
growth := add( x[i]*r[i], i=1..n ) >= G;


Решим задачу оптимизации с помощью QPSolve.
> QPSolve( objective, {budget, growth}, assume=nonnegative );

Таким образом, минимум риска при ожидаемой доходности в 10% достигается при Активы 3,4,5 не покупается, т.к. их доходности отрицательны и ковариация с другими активами не является отрицательной для диверсификации портфеля.
Глава 3. Другие модели формирования инвестиционного портфеля
Существенный вклад в данную теорию был сделан другим американским математиком - Дж. Тобином (Tobin J. The Theory of Portfolio Selection in F.H. Hahn and F.R.P. Brechling (eds) ), который установил существование оптимального портфеля среди множества эффективных портфелей. Работы Г. Марковица привлекли внимание многих математиков и специалистов по ценным бумагам и вызвали большое число обсуждений и публикаций. Особое внимание заслуживает монография У. Шарпа (Sharpe W.E. Portfolio Theory and Capital Markets), который предложил упрощенный метод выбора оптимального портфеля на основе однофакторной модели рынка капиталов, позволяющий сводить задачу квадратичной оптимизации к линейной [1].
Со времен Марковица портфельный анализ существенно продвинулся, в его рамках были построены модели рыночного равновесия, предложены разнообразные способы измерения риска, учитывались все новые и новые инструменты. Успехи теории стимулировали создание новых рыночных инструментов, которые без сложившейся солидной расчетной базы просто не могли возникнуть. Задачи портфельного анализа являются также иллюстративным материалом для применения теории финансовых рисков. Модель Марковица активно применяется в практических расчетах для фондовых рынков. Впоследствии портфельный анализ Марковица был использован для рынка инвестиций, валютного, денежного рынка и для других рынков [10].
Одним из направлений развития теории были результаты, относящиеся к динамической оптимизации, предполагающей изменения статистических параметров модели во времени. Среди работ, где были исследованы многошаговые дискретные модели, отметим статью [4]. Модели с непрерывным временем, более удобные для построения явных решений, были, по-видимому, впервые введены и исследованы Р.Мертоном [6], хотя описание динамики рисковых активов с помощью стохастических дифференциальных уравнений восходит к работе Л.Башелье [1].
Заключение
В заключение хотелось бы отметить, что модель не может однозначно ответить на все поставленные вопросы. Оценивая риск и доходность российского рынка ценных бумаг, мы можем лишь с определенной долей вероятности предположить, что будущая ситуация на фондовой бирже будет укладываться в рамки полученных статистических данных. Наличие огромного количества факторов, напрямую или косвенно влияющих на динамику котируемых эмитентов, не позволяет однозначно спрогнозировать и сократить до нуля риск потери инвестиций, но свести его до минимума с оптимальной доходностью возможно.
Литература
Лутц Крушвиц. Инвестиционные расчеты. – СПб, 2001.
Брэйли Р., Майерс С. «Принципы корпоративных финансов». Пер. с англ. – М. «Олимп-бизнес». 1997г.
«Мастерство Финансы» Пер. с англ. – М. «Олимп-бизнес». 1998 г.
Беккер А., Федорин В. «Россия: Минфин скупил долги на $2,5 млрд.» // Ведомости (20.02.02)
Водянов А., Смирнов А. « Паутина роста». // Эксперт. №42 (254), 2000г.
Егерев И. «Определение размера надбавок за риск при кумулятивном построении ставки дисконта». // Рынок ценных бумаг № 1 (160), 2000г.
Ефимова О. «Дисконтированная стоимость: расчет и анализ». // Бухгалтерский учет №10, 1998г.
Лимитовский М., Паламарчук В. «Стоимость собственного капитала российской корпорации». // Рынок ценных бумаг № 18 (153), 1999г.
Салун В. «Как правильно выбрать ставку дисконта». // Рынок ценных бумаг № 4 (139), 1999г.
Тихонов О. «Концепция дохода». // Рынок ценных бумаг № 5 (116), 1998г.












2