расчётно-графическая работа Вариант №13

Составление данной формулы с использованием мастера функций изображено на рис. 11.

Рис. 11. Создание формулы для прерывания вычислений
Полученная формула распространяется вниз по появления слова «Стоп».
В последней формуле использован $ - знак абсолютной адресации ячеек (устанавливается с помощью клавиши F4). Указанный знак позволяет зафиксировать ссылку в формуле при распространении ее на соседние ячейки.
Затем в ячейку С6 вводится формула вычисления функции при значении аргумента х, записанном в ячейке В6, и распространяется вниз.
После этого вводится комментарий. Комментарий поможет определить отрезки, на концах которых функция принимает значения разных знаков: y(x)×y(x + h)<0 .
Так как для проверки данного условия требуется два значения у, то формула
=ЕСЛИ(C6*C7<=0;"Корень на отрезке "&B6&".."&B7;"----") вводится на строку ниже, в ячейку D7 и распространяется вниз.
Следует обратить особое внимание на знак амперсанда «&», который позволяет вывести в надписи «Корень на отрезке» значения x из соответствующего столбца.
Далее в столбцах Е и F записываются формулы вычисления значений первой и второй производных:

Вывод. Таким образом, в результате решения задачи найден отрезок [a, b]=[-1; -0,5], который содержит ровно один корень уравнения
.
Вычислены значения первой производной y’(x=-1) = 12,09 и y’(x=-0,5) = 12,74, проверено условие y’(-1)×y’(-0,5)>0, которое с некоторыми допущениями показывает, что отрезок [a, b]=[-1,-0,5] содержит единственный корень уравнения .
Графический метод.
Используя ячейки B6:C26 с помощью Мастера диаграмм построим график функции и найдем отрезок оси Ох, на котором график пересекает эту ось. В Мастере функций выберем тип диаграммы: Точечная со сглаживающими линиями.

Рис. 12. График функции
На графике четко видно, что отрезок [a, b]=[-1,-0,5] содержит единственный корень уравнения .
2. Решить уравнение методом Ньютона.
Изначально необходимо определиться с тем, чему равно x0: либо a, либо b. Для этого необходимо выполнить следующие действия:
Заполнить ячейки на Листе2 следующим образом: в ячейку I2 заносим формулу:
=ЕСЛИ('Отделение корней'!C14*'Отделение корней'!F14>0;"x0=a";"x0=b")
Таким образом условие метода выполняется для левого конца отрезка а значит в качестве начального приближения к решению выберем х0=-1.
В итоге получается следующее:
Выбор x0 ε x0=a 0,0001


Так как x0=а, то необходимо выполнить следующие действия:
Заполнить ячейки следующим образом:
C2=СТЕПЕНЬ(B2;3)+2,9*СТЕПЕНЬ(B2;2)+14,89*B2+6,85;
D2=3*СТЕПЕНЬ(B2;2)+2,9*2*B2+14,89
E2=B2-C2/D2
F2==ЕСЛИ(ABS(C2)<='Метод Ньютона'!$J$2;B2;"-")
В ячейку B3 ввести формулу =E2.
Выделить диапазон ячеек C2:E2 и методом протягивания заполнить диапазон нижерасположенных ячеек до получения в одной из ячеек столбца E результата (диапазон ячеек A6:E9)..
Выделить диапазон ячеек A6:E5 и методом протягивания заполнить диапазон нижерасположенных ячеек до получения в одной из ячеек столбца E результата (диапазон ячеек В3:F4).
В итоге получаем следующее:

Ответ: Корень уравнения равен -0,5003925.

5. Выводы
5.1. Сравнение результатов.



№ xn y y' xn+1=xn-y/y' y(xn)≤ε 0 -1,0000000 -6,1400000 12,0900000 -0,4921423 - 1 -0,4921423 0,1051945 12,7621869 -0,5003849 - 2 -0,5003849 0,0000962 12,7389226 -0,5003925 -0,5003925 количество итераций 2
Анализируя результаты, можно сказать, что в обеих методиках получен одинаковый результат за одно и то же количество итераций.
5.2. Сравнение методов решения: написанием программы и составление таблицы (по трудоемкости разработки, трудоемкости применения, универсальности применения)
При анализе методов решения можно сделать следующие выводы:
по трудоемкости разработки: более трудоемкий метод программирования – составление блок-схемы, общего алгоритма, написание программы в среде программирования.
по трудоемкости применения: более трудоемкий метод применения электронных таблиц – необходимо каждый шаг итерации просчитывать вручную – копирование формул.
по универсальности применения методы одинаковы: и в том и в другом случае необходимо менять вид функции, ее производных, точность.
5.3. Рекомендации по области применения методов.
Данный метод применим для решения любого типа трансцендентных уравнений вида y(x)=0.

Список литературы

Бахвалов Н.С., Жидков Н.П., Кобельков Г.М.Численные методы: учеб. пособие для студ. физ.-мат. спец. вузов – 5-е изд. – М.: БИНОМ. Лаборатория знаний, 2007. – 637с. 
Вержбицкий В.М. Численные методы. Математический анализ и обыкновенные дифференциальные уравнения: Учеб. пособие для студ. вузов, обучающихся по мат. спец. и направлениям подгот. дипломир. специалистов в обл. техники и технологии – 2.изд., испр. – М.: ОНИКС 21 век, 2005. – 399с.
Воробьев Г. Н. Практикум по численным методам./ Воробьев Г. Н., Данилова А. Н. - М.:Высш. шк., 2007 г. -184 с.
Демидович Б.П., Марон И.А., Шувалова Э.З. Численные методы анализа. Приближение функций, дифференциальные и интегральные уравнения: учеб. пособие / Б.П. Демидович (ред.). – Изд. 4-е, стер. – М.; СПб. ; Краснодар : Лань, 2008. – 400с.
Зализняк В.Е. Основы научных вычислений. Введение в численные методы для физиков и инженеров – М. : Институт комбинированных исследований, 2006. – 263с.
Калиткин Н. Н. Вычисления на квазиравномерных сетках. /Н. Н. Калиткин, А. Б. Альшин, Е. А. Альшина, В. Б. Рогов. – М.: Наука, Физматлит, 2005.– 224 с.
Рыжиков Ю. «Вычислительные методы»/Ю. Рыжиков – М.: изд. BHV, 2007 г. – 400 с.
Самарский А.А. Введение в численные методы: Учеб. пособие для вузов / Московский гос. ун-т им. М.В.Ломоносова. – 3-е изд., стер. – СПб.: Лань, 2005. – 288с.
Самарcкий А.А. Задачи и упражнения по численным методам. /Самарcкий А.А., Вабищевич П.Н., Самарская Е.А. – 4-е изд., стер. – СПб.: Лань, 2009. – 208с.
Численные методы и их реализация в Microsoft Excel. Ч.1: лабораторный практикум по информатике / Сост. Е.В. Башкинова, Г.Ф. Егорова, А.А. Заусаев. - Самара; Самар. гос. техн. ун-т, 2009. 44 с.
http://www.tgspa.ru/














4



Вывод: Ввод корректен


F :=x * x * x + 2.9 * x * x + 14.89 * x + 6.85





0



Вывод: «Введите точность»

Вывод: «Введите границы»



Вывод: «Результат метода Ньютона:

Вывод: Количество итераций


dF:=3 * x * x + 5.8 * x + 14.89

3

2