-

Учитывая, что поле является плоскопараллельным и обладает осевой симметрией, можно показать, что первое уравнение Максвелла принимает вид: (13)Решение этого уравнения:,(14)где А и В – постоянные интегрирования, определяемые из краевых условий.Тогда, т.е.(15)где - модифицированная функция Бесселя первого рода первого порядка.Для определения по закону полного тока найдем и приравняем его к значению , которое получается из формулы (15):; (16).Подставим найденное значение и получим: (17)Таблица 2 – Значения параметра qr в зависимости от частоты.f, кГцf, кГцf, кГц20,275301,0651602,45950,435601,50680,5501001,944Таблица 3 – Значениямагнитной напряженности в зависимости от частоты:=qrb0β0b1β10100-450,2751,00021,2830,1500-44,8500,4351,00032,2830,2000-43,8540,5501,00205,1500,3001-42,4221,0651,022617,1670,5508-36,3431,5061,076831,1830,7599-28,9521,9441,189047,8830,9819-19,4282,4591,511174,6501,3740-1,613Распределение плотности токаИсходное уравнение для вектора комплексной амплитуды плотности тока /Из второго уравнения системы (6) следует: (18)Выбираем цилиндрическую систему координат.Учитывая, что поле является плоскопараллельным и обладает осевой симметрией, получаем выражение:(19)=(20)Приводим (19) к уравнению Бесселя(21)Решение этого уравнения:, где(22) и - постоянные интегрирования, а – модифицированные цилиндрические функции Бесселя нулевого порядка.Свойства функции таковы, что при r=0 (ось проводника) она обращается в бесконечность. Плотность тока должна быть всюду бесконечной, поэтому эту функцию мы исключаем, положив .Тогда(23)является функцией от комплексного аргумента. Для выделения ее вещественной и мнимой частей необходимо воспользоваться соотношением:(24)Из (19) следует, что(25)Находим по таблице модулей и аргументов бесселевых функций нулевого и первого порядка первого рода значения плотности тока и их распределение в зависимости от частоты (таблица 4):Таблица4 – Значенияплотности тока от частоты=qrb0β0b1β1J0(qa)=плотностьтока0100-45e-j450,0000,2751,00021,2830,1500-44,850ej1,2830,1120,4351,00032,2830,2000-43,854ej2,2830,1770,5501,00205,1500,3001-42,4221,002ej5,1500,2241,0651,022617,1670,5508-36,3431,023ej17,1670,4331,5061,076831,1830,7599-28,9521,077ej31,1830,6121,9441,189047,8830,9819-19,4281,189ej47,8830,7912,4591,511174,6501,3740-1,6131,5111ej74,651,000График для заданных частотМощность тепловых потерь на вихревые токи на единицу длины проводника для заданных частот определяется по теореме Умова-Пойнтинга (Пойнтинга).(26)Активное сопротивление проводника:(27)Таблица5 – Значенияплотности тока от частоты=qrb0β0b1β1RP0100-45e-j450,000e-j450,2751,00021,2830,1500-44,8503,633E-050,0003,633E-050,4351,00032,2830,2000-43,8542,100E-050,0002,100E-050,5501,00205,1500,3001-42,422-2,823E-050,000-2,823E-051,0651,022617,1670,5508-36,343-3,920E-050,000-3,920E-051,5061,076831,1830,7599-28,952-1,812E-050,000-1,812E-051,9441,189047,8830,9819-19,428-1,523E-050,000-1,523E-052,4591,511174,6501,3740-1,613-5,395E-050,000-5,395E-05Реактивное сопротивление проводника:(28)Мощность можно записать в виде:PR+jPQ=I2R+jI2x(29)ЗаключениеВ результате исследования и решения поставленной задачи были получены данные и построены графики, показывающие зависимость изменения вида магнитного поверхностного эффекта от частоты, в магнитной среде – воздухе, а также зависимость активного и реактивного сопротивлений цилиндрического проводника от частоты.