Численные методы в системном анализе
Заказать уникальную курсовую работу- 23 23 страницы
- 9 + 9 источников
- Добавлена 14.01.2013
- Содержание
- Часть работы
- Список литературы
- Вопросы/Ответы
Введение
1Численное решение обыкновенных дифференциальных уравнений
2Численные методы решения систем ОДУ первого порядка
3Метод конечных разностей решения краевых задач для ОДУ
Заключение
Список использованной литературы
Для решения таких СЛАУ имеется экономичный метод прогонки.
Рассмотрим метод прогонки для СЛАУ:
(3.1)
Решение данной системы ищем в виде:
(3.2)
Подставляя в первое уравнение, получим:
Здесь учтено, что данное соотношение должно выполняться при любом
Так как:
, (3.3)
то, подставляя (3.3) во второе уравнение, получим:
Сравнивая с (3.2) получим:
.
Таким образом, можно найти все .
Тогда из последнего уравнения (3.1) находим:
Затем последовательно находим:
Таким образом, алгоритм метода прогонки можно представить в виде:
1) Находим
2) Для i=1,n-1: (3.4)
3) Находим
4) Для i=n-1 до 1 находим:
Шаги 1),2) – прямой ход метода прогонки, 3),4) – обратный ход метода прогонки.
Теорема. Пусть коэффициенты ai, bi системы уравнений при i =2, 3, …, n–1 отличны от нуля и пусть
при i =1, 2, 3, …, n. Тогда прогонка корректна и устойчива.
При выполнении этих условий знаменатели в алгоритме метода прогонки не обращаются в нуль и, кроме того, погрешность вычислений, внесенная на каком либо шаге вычислений, не будет возрастать при переходе к следующим шагам. Данное условие есть не что иное, как условие диагонального преобладания.
Для краевой задачи имеем:
Тогда: , ,
Для данной задачи условие устойчивости имеет вид:
.
Пусть:
. (3.6)
Тогда:
Пример. Найти решение задачи:
Выпишем разностную схему:
Условие устойчивости примет вид:
Возьмем .
Тогда:
Или:
Формулы прогонки были получены для СЛАУ:
Здесь x замены на u.
Следовательно,
Решим СЛАУ методом прогонки. Вычисления оформим в виде таблицы:
I ai ci bi fi alfai betai ui 1 51 35 0,2 0,6863 -0,0039 0,4701 2 15 51 35 0,4 0,8598 -0,0113 0,6906 3 15 51 35 0,6 0,9186 -0,0202 0,8164 4 15 51 35 0,8 0,9403 -0,0296 0,9107 5 0 -1 1 1,0000
Порядок вычислений по формулам (3.4):
Ответ в столбце ui.
На практике часто граничные условия могут иметь более общий вид.
Рассмотрим следующую краевую задачу:
Найти решение ОДУ 2-го порядка
,
удовлетворяющую краевым условиям:
В этом случае при построении разностной схемы необходимо еще аппроксимировать и краевые условия.
Аппроксимация:
В результате получим разностную схему:
Или:
Мы получили СЛАУ с трехдиагональной матрицей, решение которой также можно найти методом прогонки.
Заключение
В настоящее время появилось значительное число различных программных продуктов (MathCAD, MathLAB и т.д.), с помощью которых, задавая только входные данные, можно решить значительное число задач.
Конечно, использование таких программных продуктов значительно сокращает время и ресурсы по решению ряда важных задач. Однако, при использовании этих программ без тщательного анализа метода, с помощью которого решается задача, нельзя гарантировать, что задача решена правильно. Поэтому для более полного понимания того, как осуществляется расчет различного вида уравнений и их систем, необходимо теоретическое изучение методов их решения и их проработка на практике.
Список использованной литературы
Антонов А.В. Системный анализ. Учеб. для вузов/ А.В. Антонов. – 2-е изд., стер. – М.: Высшая школа, 2006. – 454 с.: ил.
Бабенко К. И. Основы численного анализа. / К. И. Бабенко. — Москва-Ижевск: НИЦ «Регулярная и хаотическая динамика», 2002. — 848 с.
Бахвалов Н. С. Численные методы. / Н. С. Бахвалов, Н. П. Жидков, Г. М. Кобельков. — М.: Лаборатория базовых знаний, 2000. — 624 с.
Деммель Дж. Вычислительная линейная алгебра. Теория и приложения - М.: Мир, 2001. - 435с.
Киреев В.И., Пантелеев А.В. Численные методы в примерах и задачах — М.: Высшая школа, , 2008. - 480 с.
Петров И.Б., Лобанов А.И. Лекции по вычислительной математике: Учебное пособие - М: Интернет-Университет Информационных Технологий; БИНОМ. Лаборатория знаний, 2006. - 523 с: ил.
Самарский А. А. Введение в численные методы. Учебное пособие для вузов. 3-е изд., стер. — СПб.: Лань, 2005. - 288 с.
Советов Б.Я., Яковлев С.А. Моделирование систем: Учеб. для вузов. – 4 изд. стер. – М.: Высшая школа, 2005. - 343 с.: ил.
Формалев В. Ф., Ревизников Д. Л. Численные методы. - М.: ФИЗМАТЛИТ, 2004. - 400 с.
Деммель Дж. Вычислительная линейная алгебра. Теория и приложения - М.: Мир, 2001. - 435с.
Антонов А.В. Системный анализ. Учеб. для вузов/ А.В. Антонов. – 2-е изд., стер. – М.: Высшая школа, 2006. – 454 с.: ил.
Киреев В.И., Пантелеев А.В. Численные методы в примерах и задачах — М.: Высшая школа, , 2008. - 480 с.
Бахвалов Н. С. Численные методы. / Н. С. Бахвалов, Н. П. Жидков, Г. М. Кобельков. — М.: Лаборатория базовых знаний, 2000. — 624 с.
Формалев В. Ф., Ревизников Д. Л. Численные методы. - М.: ФИЗМАТЛИТ, 2004. - 400 с.
Петров И.Б., Лобанов А.И. Лекции по вычислительной математике: Учебное пособие - М: Интернет-Университет Информационных Технологий; БИНОМ. Лаборатория знаний, 2006. - 523 с: ил.
Советов Б.Я., Яковлев С.А. Моделирование систем: Учеб. для вузов. – 4 изд. стер. – М.: Высшая школа, 2005. - 343 с.: ил.
Самарский А. А. Введение в численные методы. Учебное пособие для вузов. 3-е изд., стер. — СПб.: Лань, 2005. - 288 с.
Бабенко К. И. Основы численного анализа. / К. И. Бабенко. — Москва-Ижевск: НИЦ «Регулярная и хаотическая динамика», 2002. — 848 с.
5
1.Антонов А.В. Системный анализ. Учеб. для вузов/ А.В. Антонов. – 2-е изд., стер. – М.: Высшая школа, 2006. – 454 с.: ил.
2.Бабенко К. И. Основы численного анализа. / К. И. Бабенко. — Москва-Ижевск: НИЦ «Регулярная и хаотическая динамика», 2002. — 848 с.
3.Бахвалов Н. С. Численные методы. / Н. С. Бахвалов, Н. П. Жидков, Г. М. Кобельков. — М.: Лаборатория базовых знаний, 2000. — 624 с.
4.Деммель Дж. Вычислительная линейная алгебра. Теория и приложения - М.: Мир, 2001. - 435с.
5.Киреев В.И., Пантелеев А.В. Численные методы в примерах и задачах — М.: Высшая школа, , 2008. - 480 с.
6.Петров И.Б., Лобанов А.И. Лекции по вычислительной математике: Учебное пособие - М: Интернет-Университет Информационных Технологий; БИНОМ. Лаборатория знаний, 2006. - 523 с: ил.
7.Самарский А. А. Введение в численные методы. Учебное пособие для вузов. 3-е изд., стер. — СПб.: Лань, 2005. - 288 с.
8.Советов Б.Я., Яковлев С.А. Моделирование систем: Учеб. для вузов. – 4 изд. стер. – М.: Высшая школа, 2005. - 343 с.: ил.
9.Формалев В. Ф., Ревизников Д. Л. Численные методы. - М.: ФИЗМАТЛИТ, 2004. - 400 с.
Вопрос-ответ:
Какие численные методы используются в системном анализе?
В системном анализе используются различные численные методы, включая численное решение обыкновенных дифференциальных уравнений, численные методы решения систем ОДУ первого порядка, метод конечных разностей для решения краевых задач для ОДУ и т.д.
Как осуществляется численное решение обыкновенных дифференциальных уравнений?
Для численного решения обыкновенных дифференциальных уравнений используются различные методы, такие как метод Эйлера, метод Рунге-Кутты и метод Адамса. Эти методы позволяют аппроксимировать решение дифференциального уравнения с некоторой точностью, разбивая область определения на конечное число шагов и вычисляя значения функции на каждом шаге.
Как решаются системы обыкновенных дифференциальных уравнений первого порядка?
Для решения систем обыкновенных дифференциальных уравнений первого порядка применяются численные методы, такие как метод Эйлера для систем, метод Рунге-Кутты, метод Адамса и др. Эти методы основываются на аналогичных принципах, что и для одного уравнения, но применяются для систем уравнений, позволяя получить аппроксимацию решения с заданной точностью.
Как решаются краевые задачи для обыкновенных дифференциальных уравнений методом конечных разностей?
Краевые задачи для обыкновенных дифференциальных уравнений решаются методом конечных разностей путем аппроксимации дифференциальных операторов в уравнении и преобразования его в систему линейных алгебраических уравнений. Затем применяются методы численного решения СЛАУ, такие как метод прогонки, для получения численного решения. Такой подход позволяет решать краевые задачи для ОДУ с заданной точностью.
Что такое метод прогонки в численных методах решения систем линейных алгебраических уравнений?
Метод прогонки - это эффективный метод для численного решения систем линейных алгебраических уравнений (СЛАУ). Он основан на идей последовательного прогоняющего алгоритма, при котором решение вычисляется пошагово, начиная с одного конца системы и продвигаясь к другому. Этот метод позволяет решать СЛАУ с трехдиагональными матрицами, что делает его эффективным в контексте решения краевых задач для ОДУ.
Какие численные методы используются в системном анализе?
В системном анализе используются различные численные методы, такие как численное решение обыкновенных дифференциальных уравнений, численные методы решения систем ОДУ первого порядка и метод конечных разностей для решения краевых задач для ОДУ.
Как осуществляется численное решение обыкновенных дифференциальных уравнений?
Для численного решения обыкновенных дифференциальных уравнений используются различные методы, такие как метод Эйлера, метод Рунге-Кутты и метод Адамса. Эти методы основаны на аппроксимации производных и последовательном вычислении значений функции в узлах сетки.
Как работает метод прогонки для решения систем линейных алгебраических уравнений?
Метод прогонки является экономичным методом для решения систем линейных алгебраических уравнений. Он основан на последовательном прямом и обратном ходе с использованием специальных прогоночных коэффициентов. Этот метод позволяет эффективно решать системы уравнений, имеющие трехдиагональную матрицу коэффициентов.
Какое соотношение используется при решении системы уравнений методом прогонки?
При решении системы уравнений методом прогонки используется следующее соотношение: подставляя в первое уравнение, получим: Здесь учтено, что данное соотношение должно выполняться при любом Так как: , то подставляя второе уравнение и так далее, получим систему уравнений, которую можно решить методом прогонки.
Какие преимущества имеет метод конечных разностей для решения краевых задач для ОДУ?
Метод конечных разностей является одним из наиболее распространенных численных методов для решения краевых задач для ОДУ. Он позволяет аппроксимировать производные на сетке и свести задачу к системе алгебраических уравнений. Преимуществами этого метода являются его простота реализации, возможность решения задач с произвольными граничными условиями и высокая точность при достаточно малом шаге сетки.
Что изучает статья "Численные методы в системном анализе"?
Статья изучает численные методы решения обыкновенных дифференциальных уравнений и систем ОДУ первого порядка, а также метод конечных разностей для решения краевых задач для ОДУ.