Моделирование транспортной задачи

Так как все частные производные представляют собой либо постоянные матрицы, либо матрицы, зависящие только от времени, то полученное уравнение есть либо система линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами (Aj(t) = aj = const, Bj(t) = bj = const), либо система с переменными коэффициентами, в зависимости от номинальной траектории. В случае постоянных коэффициентов система называется стационарной. Как правило, входные и выходные величины объекта - скалярные функции, при этом уравнение принимает вид:a0y(n) + a1y(n-1) +…+ any = b0u(m) + b1y(m-1) +…+ bmu. где aj, bj – постоянные коэффициенты (параметры) модели, a0 > 0, b0 > 0, n - порядок модели, 0 ≤ m < n. Решение уравнений таких стационарных объектов относительно y(t) является главным объектом исследований в классической теории автоматического управления. Система, для которой u(t)≡ 0, называется автономной. Описание автономной системы дается однородным дифференциальным уравнением видаa0y(n) + a1y(n-1) +…+ any = 0. Передаточная функция системы. Основной метод исследования линейных систем с постоянными коэффициентами - преобразование Лапласа. При нулевых начальных условиях, после преобразования Лапласа уравнения вида, получаем: L[a0y(n) + a1y(n-1) +…+ any] = L[b0u(m) + b1y(m-1) +…+ bmu].(a0p(n) + a1p(n-1) +…+ an)Y(p) = (b0p(m) + b1p(m-1) +…+ bm)U(p).Y(p) = L[y(t)] =exp(-pt) y(t) dt,U(p) = L[u(t)] =exp(-pt) u(t) dt.Для линейного уравнения преобразование Лапласа отношения выходного сигнала Y(p) к входному сигналу U(p) при нулевых начальных условиях не зависит от самих сигналов и называется передаточной функцией системы W(p).Y(p) = U(p) (b0p(m) + b1p(m-1) +…+ bm) /(a0p(n) + a1p(n-1) +…+ an),W(p) = (b0p(m) + b1p(m-1) +…+ bm) /(a0p(n) + a1p(n-1) +…+ an), Y(p) = W(p) U(p).Передаточная функция W(p) зависит только от самих дифференциальных уравнений и обладает свойством линейности: Если Y(p) = Y1(p) + Y2(p), то U(p) = W(p)Y1(p) + W(p)Y2(p) = U1(p)+U2(p).ЕслиY(p) = сY(p), тоU(p) = W(p) Y(p) = сW(p) Y(p). В общем случае замкнутая система регулирования с обратной связью рассматривается в структурной форме, приведенной на рис. 1, где используются следующие обозначения сигналов:Y(p) = W(p)e(p); W(p) = W1(p)W2(p);Yос(p) = Wос(p)Y(p); e(p)=U(p)-Yoc(p).Рис. 1.Выражение выходного сигнала состояния системы через входной сигнал управления:Y(p)=W(p)(U(p)-Wос(p)Y(p);Y(p)(1± W(p)Wос(p))=W(p)U(p).Отсюда главная передаточная функция замкнутой системы:Wзс(p) = Y(p)/U(p) = W(p)/[1 ± W(p) Woc(p)].Знак плюс или минус определяется типом обратной связи (отрицательная или положительная). Соответственно, выходной сигнал с учетом сигнала дестабилизирующего воздействия f(t), который суммируется с правой частью выражения:Y(p)=Wзс(p)U(p) + Wf(p)f(p), где Wf(p) – передаточная функция по возмущению. В замкнутой системе передаточная функция по возмущению определяется как отношение выходной величины, преобразованной по Лапласу, к функции возмущающего воздействия, преобразованной по Лапласу при нулевых начальных условиях. Возмущающее воздействие может быть приложено к любой точке системы.Wf(p) = Y(p)/f(p) = W2(p)/[1+Woc(p)W(p)].Передаточнаяфункцияпоошибке:We(p) = e(p)/U(p) = 1/[1 + W(p) Woc(p)].Передаточная функция по ошибке - основное средство исследования точности САУ. C учетом возмущающего воздействия:e(p)=We(p)U(p) + Wef(p)f(p),где Wef(p) - передаточная функция по ошибке и возмущению (от возмущения к ошибке):Wef(p) = e(p)/f(p) = -W2(p)Woc(p)/[1 + W(p) Woc(p)].Передаточная функция по обратной связи:WYoc(p) = Yoc(p)/U(p) = W(p) Woc(p)/[1 + W(p) Woc(p)].Типовые звенья САУ.Полиномы числителя и знаменателя передаточной функции можно разложить на простейшие множители по их корням:W(p) = N(p)/P(p) = П [(p-p1ч)…(p-pmч)] / [(p-p1з)…(p-pnз)], где μ = b0 /a0 – константа, piч – множество корней числителя N(p)=0, piз – множество корней знаменателя P(p)=0. Корни числителя передаточной функции называют нулями, корни знаменателя – полюсами. Комплексно сопряженные корни объединяются в квадратурные полиномы с вещественными коэффициентами: (p-α+jβ)(p-α-jβ) = p2-2αp+β2+α2. После такого представления в числителе и знаменателе будет некоторое количество скобок первого и второго порядка с вещественными числовыми коэффициентами, каждую из которых можно рассматривать, как элементарную передаточную функцию, практически реализуемую в силу вещественности коэффициентов. Если вынести из всех скобок свободные члены и объединить их произведение в общий множитель К, то получим уравнение:W(p) = K [W1(p)…Wz(p)], где z=n+m, если все корни вещественные, z < n+m, если есть комплексные корни. Коэффициент К принято называть коэффициентом усиления системы. Заметим, что W(0) = К = bm/an, т.е. его числовое значение равно коэффициенту усиления на нулевой частоте ("постоянном токе"). Классификация звеньев производится по виду их передаточных функций, независимо от исполнения (механические, гидравлические, электрические и пр.). Передаточные функции типовых звеньев, из которых синтезируются системы, обычно имеют числитель или знаменатель, равный единице. Ниже приводятся выражения передаточных функций основных типовых звеньев систем:1. К - Усилительное звено. 2. p - Дифференцирующее звено. 3. 1/p - Интегрирующее звено (интегратор). 4. K/(Tp+1) - Инерционное (апериодическое) звено. 5. K/(T2p+2dTp+1) - Колебательное звено. 6. K(Tp+1) - Форсирующее звено. 7. K(T2p+2dTp+1) - Форсирующее звено 2-го порядка.Здесь Т – определенный временной коэффициент (постоянная времени). Звенья 2, 6 и 7 не реализуются в строгом теоретическом смысле, существуют только их приближения.Типовые входные воздействия. Для оценки динамических свойств системы и отдельных звеньев принято исследовать их реакцию на типовые входные воздействия. Наиболее распространенными типовыми воздействиями являются ступенчатое, импульсное и гармоническое. Любой сигнал u(t), имеющий сложную форму, можно разложить на сумму типовых воздействий ui(t) и на основании принципа суперпозиции получить результирующее изменение выходной величины y(t) в виде суммы реакций системы на каждую из составляющих.Единичная ступенька. Особое значение в теории автоматического управления имеет ступенчатое воздействие 1(t) = 1 при t≥0, 1(t) = 0 при t<0 (сигнал u1(t) на рис.). Все остальные воздействия могут быть сведены к нему. Так, например, импульсный сигнал может быть представлен двумя ступенчатыми сигналами одинаковой величины противоположными по знаку, поданными один за другим через интервал времени t(сигнал u(t) на рис.).ПреобразованиеЛапласадляединичной ступеньки:1(p) =exp(-pt) dt = 1/p. Линейно нарастающее воздействие (t(t)=t при t≥0, t(t) = 0 при t<0) представляет собой интеграл по времени от единичной ступеньки: t(t) =1(t) dt, 1(t) = d t(t) /dt.ПреобразованиеЛапласа:t(p) =t exp(-pt) dt = 1/p2. (3.2.9)Экспоненциальнаяфункция exp(t). ПреобразованиеЛапласа:L[exp(t)] =exp(t) exp(-pt) dt = 1/(p-1). (3.2.10)Выражениесправедливо и при любом комплексном α.Гармонические воздействияsin ωt и соs ωt. На основе формулы Эйлера exp(jωt) = cosωt + jsinωt соответственно имеем cosωt = Reexp(jωt), sinωt = Imexp(jωt). Преобразования Лапласа: L[sin ωt] = L[Im ejωt] = Im L[ejωt] = Im (1/(p-jω)) = Im((p+jω)/(p2+ω2)) == Im(p/(p2+ω2)+jω/(p2+ω2)) = ω/(p2+ω2).L[cos ωt] = Re L(ejωt) = Re (1/(p-jω)) = Re((p+jω)/(p2+ω2)) = p/(p2+ω2).Дельта - функция δ(t) - математическая модель очень короткого конечного воздействия большой мощности (единичный импульс). Определение δ(t)-функции даётся через интеграл свёртки с любой другой интегрируемой функцией x(t): δ (t-t0) x(t) dt = x(t0).Отсюда, при x(t)=1: δ (t) dt = 1, δ (t) exp(-pt) dt = 1, L[(t)] = 1. Единичныйимпульсфизическипредставляет собой очень узкий импульс, ширина которого стремится к нулю, а высота - к бесконечности, ограничивающий единичную площадь. Дельта - функция связана с единичной ступенчатой и линейно-нарастающей функцией выражением:δ (t) = d1(t) /dt = d2 t(t) /dt2.Список литературы1. Мирошник И.В. Теория автоматического управления. Линейные системы: Учебное пособие для вузов. - СПб.: Питер, 2005. - 336 с. 7. Туманов М.П. Теория автоматического управления: Лекции8. Туманов М.П. Теория управления. Теория линейных систем автоматического управления: Учебное пособие. – МГИЭМ. М., 2005, 82 с. URL: http://window.edu.ru/window_catalog/files/r24738/5.pdf.9. Бесекерский В.А., Попов Е.П. Теория систем автоматического регулирования. – М.: Наука, 1975.14. Желтиков О.М. Основы теории управления. Конспект лекций. – Самара, СГТУ, 2008. – URL: http://www.jelomak.ru/pager.htm.