Теоретическая механика

6.2).
Напишем кинематические соотношения между скоростями и перемещениями точек системы, т. е. уравнения связей, при этом скорости и перемещения выразим соответственно через скорости и перемещения груза 1.

Рисунок 6.2
Угловая скорость блока 2 равна:
(3)
Скорость точек наружного обода колеса 2:
(4)
Скорость перемещения центра блока 3
(5)
Скорость перемещения груза 4 равна:
(6)
Угловая скорость блока 3:
(7)
Заменяя в формуле (7)
,
получим

или

После интегрирования (при нулевых начальных условиях)
(8)
Аналогично
(9)
Вычислим кинетическую энергию системы в конечном положении как сумму кинетических энергий тел 1, 2, 3:
(10)
Кинетическая энергия груза 1, движущегося поступательно,
(11)
Кинетическая энергия тела 2, вращающегося вокруг оси Ох,
(12)
где J2x - момент инерции блока 2 относительно оси Ох:
(13)
Подставляя (3), (13) в формулу (12), получаем
(14)
Кинетическая энергия катка 3, совершающего плоское движение,
(15)
где v3 - скорость центра масс катка 3; - момент инерции катка 3 (однородного сплошного цилиндра) относительно его центральной продольной оси :
(16)
ω3 - угловая скорость катка 3.
Подставляя (5), (7), (16) в формулу (15), получаем
(17)
Кинетическая энергия груза 4, движущегося поступательно,
(18)
Кинетическая энергия всей механической системы определяется по формуле (10) с учетом (11), (14), (17) и (18):

Подставляя сюда заданные значения, получаем
(19)
Найдем сумму работ всех внешних сил, приложенных к системе, на заданном ее перемещении.
Работа силы тяжести
(20)
Работа силы трения скольжения

Так как

Tо
(21)
Работа силы тяжести
(22)
Работа силы тяжести
(23)

Сумма работ внешних сил определится сложением работ, вычисляемых по формулам (20) - (23):

Подставляя заданные значения масс, получаем
(24)
Согласно теореме (2), приравняем значения Т и определяемые по формулам (19) и (24):

откуда

Ответ:

Задача Д1. Интегрирование дифференциальных уравнений движения материальной точки, находящейся под действием постоянных сил
Тело движется из точки А по участку АВ (длиной l) наклонной плоскости, составляющей угол α с горизонтом, в течении ( с. Его начальная скорость vА. Коэффициент трения скольжения равен f.
В точке В со скоростью vВ покидает наклонную плоскость и попадает со скоростью vC в точку С плоскости ВD, наклоненной под углом β к горизонту, находясь в воздухе Т с.
При решении задачи принять тело за материальную точку; сопротивление воздуха не учитывать.

Рисунок 7.1.
Дано: α = 15°; vA=2 м/с; f =0,2; h = 4 м; β = 45º.
Найти: l и уравнение траектории на участке ВС.
Решение:
Рассмотрим движение тела на участке АВ. Принимая тело за материальную точку, покажем (рис. 7.2) действующие на него силы: вес , нормальную реакцию и силу трения .

Рисунок 7.2
Составим дифференциальное уравнение движения камня на участке АВ:
;
или

Интегрируя дифференциальное уравнение дважды, получаем
;

Для определения постоянных интегрирования воспользуемся начальными условиями задачи: при t = 0: х10 = 0 и .
Отсюда С2 = 0; С1 = vA=2 м/с.
При t=τ: х1 = l, .
Отсюда:


Далее рассматриваем движение тела от точки В до С.
Покажем силу G, действующую на тело. Составим дифференциальные уравнения его движения по осям х и y:
;
Интегрируя имеем:


Определяем постоянные С3 и С4 используя начальные условия:
при t = 0 с х = 0
Подставляя t = 0 в уравнения, полученные при интегрировании, имеем:


Тогда


Интегрируя имеем:


Определяем постоянные С5 и С6 используя начальные условия:
при t = 0 с y = 0
Подставляя t = 0 в уравнения, полученные при интегрировании, имеем:


Тогда


Уравнение траектории тела на участке ВС находим исключая параметр t
Из уравнения имеем . Подставляя полученное значение в уравнение имеем

В момент падения тела; , отсюда

отсюда

Тогда

Время движения тела по участку АВ будет равно

Длина участка АВ:

Ответ: , м;












3