Развитие логического мышления на уроках математики при изучении темы: "Диофантовые уравнения"

Решение, записанное в виде (3), называется общим решением уравнения (2). Подставив вместо t конкретное целое число, получим его частное решение.Задача 2.Найдём, например, целочисленные решения уравнения 2x + 5y = 17. Решение.Применив к числам 2 и 5 алгоритм Евклида, получим 2 * 3 – 5 = 1. Значит, пара сх0 = 3 * 17, су0 = - 1 * 17 удовлетворяет уравнению 2х + 5у = 17. Поэтому общее решение исходного уравнения таково: x = 51 + 5t, у = - 17 – 2t, где t принимает любые целые значения. Очевидно, неотрицательные решения отвечают тем t, для которых выполняются неравенства 51 + 5t 0 - 17- 2t 0Отсюда найдём – 51/5 t - 17/2. Этим неравенством удовлетворяют числа - 10, - 9. Соответствующие частные решения запишутся в виде пар: (1,3), (6, 1).Задача 3.Сколько можно купить на 100 монет петухов, кур и цыплят, если всего надо купить 100 птиц, причём петух стоит 5 монет, курица – 4, а 4 цыплёнка – одну монету?Решение.Пусть х – искомое число петухов, у – кур, а 4z – цыплят. Составим систему х + у + 4z = 100 5x + 4y + z = 100, которую надо решить в целых неотрицательных числах. Умножив первое уравнение системы на 4 , а второе – на (-1) и, сложив результаты, придём к уравнению -x + 15z = 300 с целочисленными решениями x = -300 + 15t, z = t. Подставляя эти значения в первое уравнение, получим y = 400 - 19t. Значит, целочисленные решения системы имеют вид x = -300 + 15t,y = 400 - 19t, z = t. Из условия задачи вытекает, что -300 + 15t 0 400 – 19t 0t 0 , откуда 20 t 21 1/19, т. е. t = 21 или t = 20. Ответ. На 100 монет можно купить 20 кур и 80 цыплят, или 15 петухов, 1 курицу и 84 цыплёнка.Задача 4.Крестьянка несла на базар корзину яиц. Неосторожный всадник, обгоняя женщину, задел корзину, и все яйца разбились. Желая возместить ущерб, он спросил у крестьянки, сколько яиц было в корзине. Она ответила, что число яиц не знает, но когда она раскладывала их по 2, по 3, по 4, по 5 и по 6, то каждый раз одно яйцо оставалось лишним, а когда она разложила по 7, лишних яиц не осталось. Сколько яиц несла крестьянка на базар?Решение.Пусть х – число яиц. Так как х – 1 делится на 2, на 3, на 4, на 5, на 6, то оно делится на их НОК, равное 60. Значит, х имеет вид 60у + 1. Поэтому для ответа на вопрос задачи надо решить в натуральных числах уравнение 60у + 1 = 7z. С помощью алгоритма Евклида находим у0 = -2, z0 = - 17, откуда все целочисленные решения уравнения имеют вид у = -2 + 7t, z = -17 + 60t, где t – любое целое число. Наименьшее положительное решение получаем при t = 1. В этом случае у = 5, z = 43. Итак, крестьянка несла на базар 301 яйцо.Ответ. Крестьянка несла на базар 301 яйцо.[2, с. 75 – 78] Следующий метод связан с непрерывными или цепными дробями.Обратимся вновь к алгоритму Евклида. Из первого равенства системы (1) вытекает, что дробь a/b можно записать в виде суммы целой части и правильной дроби: a/b = q0 + r1/b. Но r1/b = 1/b/r1, и на основании второго равенства той же системы имеем b/r1 = q1 + r2/r1. Значит, a/b=q0+1/(q1+r2/r1). Далее получим a/b=q0 + 1/(q1+1/(q2+r3/r2)). Продолжим этот процесс до тех пор. Пока не придём к знаменателю qn.В результате мы представим обыкновенную дробь a/b в следующем виде: a / b = q0 + 1 / (q1 + 1 / (…+ 1 / qn)). Эйлер назвал дроби такого вида непрерывными. Приблизительно в тоже время в Германии появился другой термин – цепная дробь. Так за этими дробями и сохранились оба названия. Ввиду громоздкости развёрнутой записи цепной дроби применяют компактную запись [q0; q1, q2, …,qn]. Задача 5.Представить дробь 40/31 в виде цепной.Решение.40/31 = 1 + 9/31 = 1 + 1/3 /9 = 1 + 1/(3 + 4 / 9) = 1 + 1 / (3 + 1 / 9 / 4) = =1 + 1 / (3 + 1 / (2 +1 / 4)) = [1; 3, 2, 4] Удобство применения цепных дробей заключается в том, что их свойства не связаны ни с какой системой счисления. По этой причине они эффективно используются в теоретических исследованиях. Но широкого практического применения цепные дроби не получили, так как для них нет удобных правил выполнения арифметических действий.[2, c. 79 – 81]Задача 6.Решите уравнение в целых числах: x² - y² = 91.Решение.Разложим левую часть данного уравнения на множители: (х–у)(х+у)=91. Так как 91= 1 * 91 =91 * 1=(-1) * (-91) = (-91) * (- 1) = 7 * 13 == 13 * 7 = (-7) * (-13) = (-13) * (-7), то решение данного уравнения сводится к решению восьми систем:1)x – y = 1 x + y = 91 (46; 45)2)x – y =- 1x + y =- 91 (-46; -45)3)x – y = -91x + y = 1 (46; -45)4)x – y = -91x + y = -1 (-46; 45)5)x – y = 7x + y = 13 (10; 3)6)x – y = -7x + y = -13 (-10; -3)7)x – y = 13x + y = 7 (10; -3)8)x – y = -13x + y = -7 (-10; 3)Ответ: (46; 45),(46; - 45),(-46; -45),(-46; 45),(10; 3),(10; -3),(-10; -3),(-10; 3).Задача 7.Решите в целых числах х³ + 91 = у³.Решение.Перепишем данное уравнение в следующем виде у³ - х³ = 91, разложим левую часть на множители (у – х)(у² + ху + х²) = 91. Заметим, что у² + ху + х² = (у + х/2)² + ¾х² 0 при уR.Значит, решение данного уравнения сводится к решению следующих систем1) у – х = 1 у² + ху + х² = 91 решая данную систему, получаем (5; 6),(-6; -5);2) у – х = 1 у² + ху + х² = 1 система не имеет решения в целых числах;3) у – х = 13 у² + ху + х² = 7 решений в целых числах нет;4) у – х = 7 у² + ху + х² = 13 решая данную систему, получаем (-3; 4),(-4;3).Ответ: (5; 6), (-6; -5), (5; 6), (-6; -5).Задача 8.Решите в целых числах ху=х+уРешение.Перепишем уравнение в следующем виде ху – х – у + 1 = 1. Левую часть данного уравнения разложим на множители, применяя способ группировки. х(у – 1) – (у – 1) = 1; (у – 1)(х – 1) = 1. Следовательно,у – 1 = 1 х – 1 = 1 (2; 2)у – 1 = -1 х – 1 = -1 (0; 0)Ответ: (2; 2), (0; 0).Задача 9.Решите в натуральных числах 2х² + 5ху – 12у² = 28.Решение.Разложим левую часть данного уравнения на множители, для этого перепишем уравнение в следующем виде: 2х² - 3ху + 8ху – 12у² = 28.Применяя способ группировки, получим (2х – 3у)(х + 4у) = 28. Так как х, у – натуральные числа, то (х + 4у)N и х + 4у 4, тогда возможны следующие случаи:1) 2х – 3у = 1х + 4у = 28 (8; 5);2) 2х – 3у = 4х + 4у = 7 решений в натуральных числах нет;3) 2х – 3у = 1х + 4у = 28решений в натуральных числах нет.Ответ: (8; 5).Задача 10.Решите в целых числах 2ху = х² + 2у.Решение.Перепишем уравнение в следующем виде х² - 2ху + 2у = 0. Данное уравнение также решается методом разложения на множители, однако, с помощью формулы разности квадратов или способа группировки мы не сможем разложить на множители левую часть этого уравнения, поэтому целесообразнее использовать метод выделения полного квадрата.(х² - 2ху + у²) - у² + 2у – 1 + 1 = 0, (х – у)² - (у – 1)² =-1.(х – у – у + 1)(х – у + у – 1) = -1, (х – 2у + 1)(х – 1) = -1.Решение этого уравнения сводится к решению следующих систем: х – 2у + 1= -1 или х – 1= -1 х – 1= 1 х – 2у + 1= 1(2; 2) решений в нат. числах нетОтвет: (2; 2). Итак, из рассмотренных выше уравнений можно сделать вывод, что при решении уравнений методом разложения на множители применяются: формулы сокращённого умножения, способ группировки, метод выделения полного квадрата.Теперь рассмотрим более сложные уравнения.Задача 11.Решите в натуральных числах х² - 4ху – 5у² = 1996.Решение.Перепишем уравнение в виде (х²-4ху+4у²)–9у²=1996, (х-4у)²–9у²=1996.Разложим левую часть на множители (х – 5у)(х + у) = 1996.1996=1 * 1996=2 * 998=4 * 499= -1 * (-1996)= -2 * (-998) = -4 * (-499).Так как х N, yN, то (х + у) N, причём (х + у) > 1. Если (х + у)N и (х + у)(х – 5у) = 1996, то (х – 5у) N. Тогда решение получившегося уравнения сводится к решению следующих систем1)х - 5у = 1 х + у = 1996 решений в натуральных числах нет2)х - 5у = 499 или х - 5у = 4х + у = 4 х + у = 499системы решений в натуральных числах не имеют3)х - 5у = 2 или х - 5у = 988х + у =998 х + у =2 (832; 166) решения в натуральных числах нетОтвет: х = 832, у = 166.[3, c. 1 – 4]Задача 12.Решите в целых числах 5х²+ 5у² + 8ху + 2у – 2у + 2 = 0.Решение.Если попытаться решить данное уравнение методом разложения на множители, то это достаточно трудоёмкая работа, поэтому это уравнение можно решить более изящным методом. Рассмотрим уравнение, как квадратное относительно х 5х²+(8у-2)х+5у²+2у+2=0, х1,2 = (1 – 4у ±√(1 – 4у) ² - 5(5у² + 2у + 2))/5 = (1 – 4у ±√ -9(у + 1)²)/5.Данное уравнение имеет решение тогда, когда дискриминант равен нулю, т.е. –9(у + 1) = 0, отсюда у = -1. Если у = -1, то х =1.Ответ. (1; -1)Задача 13.Решите в целых числах 3(х² + ху + у²)= х + 8уРешение.Рассмотрим уравнение, как квадратное относительно х. 3х ² + (3у - 1)х + 3у² - 8у = 0.Найдём дискриминант уравнения D ==(3у – 1) ² - 4 * 3(3у² - 8у) = 9у² - 6у + 1 – 36у² + 96у = -27у² + 90у + 1.Данное уравнение имеет корни, если D 0, т. е. –27у² + 90 у + 1 0(-45 + √2052)/ (-27) у (-45 -√2052)/ (-27).(4)Так как у Z, то условию (4) удовлетворяют только 0, 1, 2, 3. Перебирая эти значения, получим, что уравнение в целых числах имеет решения (0; 0) и (1; 1).Ответ. (0; 0), (1; 1).Задача 14.Решите уравнение 5х² - 2ху + 2у² - 2х – 2у + 1= 0.Решение.Рассмотрим данное уравнение как квадратное относительно х с коэффициентами, зависящими от у, 5х² - 2(у + 1)х + 2у² – 2у + 1= 0. Найдём четверть дискриминанта D/4=(y+1)²-5(2y²-2y+1)=-(3y-2)².Отсюда следует, что уравнение имеет решение только тогда, когда -(3у – 2)² = 0, отсюда следует у = ⅔, затем находим х = ⅓.Ответ: (⅓; ⅔).[3, c. 4 – 6]Задача 15.Решите в целых числах 3ª = 1 + у² Решение.Видно, что (0; 0) – решение данного уравнения. Докажем, что других решений нет.Рассмотрим случаи:х N, yN (5)Если х N , то 3ª делится на 3 без остатка, а у² + 1 при делении на 3 даёт остаток либо 1, либо 2. Следовательно, равенство (5) при натуральных значениях х и у невозможно.2)Если х – целое отрицательное число, yZ, тогда 0<3ª<1, а 1+у²0 и равенство (5) также невозможно. Следовательно, (0; 0) – единственное решение.Ответ. (0; 0).Задача 16. Докажите, что система уравненийх² - у² = 7z² - 2y² = 1не имеет решений в целых числах.Решение.Предположим, что система разрешена. Из второго уравнения z²=2у+1, т. е. z²–нечётноё число и z-нечётное, значит z=2m+1. Тогда y²+2m²+2m , значит, у² - чётное число и у – чётное, y = 2n, nZ.x²=8n³+7, т. е. х² - нечётное число и х - нечётное число, х=2k+1, kZ.Подставим значения х и у в первое уравнение, получим 2(k² + k - 2n³) = 3, что невозможно, так как левая часть делится на 2, а правая нет.Значит, наше предположение неверно, т.е. система не имеет решений в целых числах.[4, c. 1 – 2] Решение уравнений методом бесконечного спуска проходит по следующей схеме: предположив, что уравнение имеет решения, мы строим некоторый бесконечный процесс, в то время, как по самому смыслу задачи этот процесс должен на чём - то кончаться.Часто метод бесконечного спуска применяется в более простой форме. Предположив, что мы уже добрались до естественного конца, видим, что «остановиться» не можем.Задача 17.Решить в целых числах 29х + 13у + 56z = 17(6)Выразим неизвестное, коэффициент при котором наименьший, через остальные неизвестные. у=(17-29х-56z)/13=(1-2x-4z)+(4-3x-4z)/13(7)Обозначим (4-3x-4z)/13 = t1 (8) Из (7) следует, что t1 может принимать только целые значения. Из (8) имеем 13t1 + 3x + 4z = 14(9)Получим новое диофантово уравнение, но с меньшими, чем в (6) коэффициентами. Применим к (9) те же соображения: x=(4-13t1-4z)/3= =(1-4t1-z) + (1-t1-z)/3(1-t1-z)/3 = t2 , t2 – целое, 3t2+t1+z = 1(10)В (10) коэффициент при z – неизвестном исходного уравнения равен 1 – это конечный пункт «спуска». Теперь последовательно выражаем z, x, y через t1 и t2.z = -t1 – 3t2 + 1x = 1 – 4t1 + t1 + 3t2 = 1 +t2 = -t1 + 4t2y = 1 + 6t1 – 8t2 + 4t1 + 12t2 – 4 + t1= 11t1 + 4t2 - 3Итак,x = -3t1 + 4t2y = 11t1 + 4t2 - 3z = -t1 – 3t2 + 1t1, t2 - любые целые числа – все целые решения уравнения (6)Задача 18.Решить в целых числах x³ - 3y³ - 9z³ = 0(11)Решение.Видно, что левая часть уравнения (11) не поддаётся никаким преобразованиям. Поэтому исследуя характер целых чисел x³=3(y³-z³). Число x³ кратно 3, значит и число х кратно 3, т. е. х = 3х1.(12) Подставим (12) в (11) 27х1³-3у³-9z³=0, 9x1³-y³-3z³=0(13)y³=3(3x1³-z³). Тогда у³ кратно 3, значит и у кратно 3, т. е. у=3у1(14). Подставим (14) в (13)9х1³ -27у1³ - 3z³=0. Из этого уравнения следует, что z³ кратно 3, а значит и z кратно 3, т.е. z=3z1. Итак, оказалось, что числа, удовлетворяющие уравнению (11), кратны трём, и сколько раз мы не делили бы их на 3, получаем числа, кратные трём. Единственное целое число, удовлетворяющее этому условию, будет ноль,т. е. решение данного уравнения (0; 0; 0) .[4, c. 2 - 4]2.3. Результаты исследованияНами была проведена повторная диагностика логического мышления .По окончании формирующего эксперимента нами был проведен контрольный эксперимент с целью оценки эффективности реализованных на практике педагогических условий. На этом этапе мы применяли те же методики, что и в ходе констатирующего эксперимента. Динамика изменений в показателях, по сравнению с первоначальной диагностикой, по этим методикам отражена в приложении 6,7.Хотя на данном этапе эксперимента, как и на этапе констатирующего эксперимента, имеются и средний уровень, но отсутствует низкий уровень развития логического мышления , значительно увеличился достаточный и высокий уровень развития логического мышления . Из таблицы видно, что (45%) относятся к высокому уровню развития логического мышления , а это 9 человек, 2 человека (10 %) – к среднему уровню ,9человек (45 %) – к достаточному уровню развития логического мышления , На данном этапе низкого уровня развития логического мышленияне выявлено.На рисунке 4. показана динамика развития логического мышленияпод воздействием проведенных нами мероприятий.Рисунок 4. Динамика развития логического мышления Далее ними было проведено повторное исследование по методике «Исключение лишнего».Примечательно, что школьники, чей уровень был низким, на данном этапе отвечали на вопросы тестовой методики более собрано и точно. Кроме того, на данном этапе отсутствовали дети, получившие минимальный балл за выполнение задания. Из таблицы видно, что школьников относящихся к низкому уровню развития логического мышлениянет ,7 человек (35 %) –относятся к среднему уровню ,7 человека (35 %) – к достаточному уровню развития логического мышления , и 6 детей (30 %) – к высокому уровню развития логического мышления . Динамика развития логического мышленияпредставлена на рис.5.Рисунок 5. Динамика развития логического мышления Из сравнения видно, что все полученные данные контрольного эксперимента значительно больше констатирующего. Другими словами, в результате проведенного исследования в целом, можно отметить, что выбранный нами подход к развитию логического мышленияполучил свое оправдание и подтверждение целесообразности его дальнейшего использования. Выводы к главе 2.В развития логического мышленияосновное значение имеют педагогические воздействия, направленные на развитие развития логического мышления .И так в ходе проведения второго этапа исследования посредством изучения темы "Диофантовые уравнения", нами были отмечены положительные результаты по всем срезам. Нужно сделать все возможное, чтобы дети смогли проявить свои способности, а для этого необходимо умелое руководство со стороны педагогов Устойчивость интереса – залог положительного и активного отношения школьников к учению , основа полноценного усвоения знаний.ЗаключениеЛогическое мышление - это вид развития логических универсальных действий, сущность которого в оперировании понятиями, суждениями, умозаключениями на основе законов логики, их сопоставлении и соотнесении с действиями или же совокупность умственных логически достоверных действий или операций мышления, связанных причинно-следственными закономерностями, позволяющими согласовать наличные знания с целью описания и преобразования объективной действительности.Таким образом, формировать средствами изучения темы "Диофантовые уравнения"у учащихся в процессе обучения математике возможно только в условиях развивающего обучения, поскольку развивающее обучение предполагает не только умственное развитие, но и возникновение новообразований как в содержательной стороне психики ребенка (представления, понятия, суждения), так и в способах психической деятельности: умственной, эмоционально-волевой, практической, развитие новообразований в различных компонентах социального опыта, характеризующих культуру личности. А именно: в интеллектуальной сфере, эмоционально-ценностной сфере, познавательной сфере (становление интеллекта, развитие механизмов познания), в сфере психологической структуры и содержания деятельности (становление целей, мотивов, освоение способов и средств деятельности), сфере личности (направленность, ценностная ориентация, самосознание, самооценка, взаимодействие с окружающим миром), что особенно важно для формирования логического мышления учащихся.Таким образом, в результате реализации темы "Диофантовые уравнения" мы получили положительные результаты у учащихся экспериментальных классов по всем трем уровням обученности, особенно творческому и повышенному уровням. Мы пришли к выводу, что решать задачи по теме "Диофантовые уравнения" очень увлекательно для школьников. Таким образом, в ходе теоретического и практического изучения проблемы были достигнуты цель и задачи исследования.Список литературыАдольф, В.А. История математики в задачах: учебное пособие [Текст] / В.А. Адольф; Краснояр. гос. пед. ун-т, Красноярск, 2001. - 170 с.Анисимов, О.С. Гегель: мышление и развитие (путь к культуре мышления) [Текст] / О.С. Анисимов. - М.: Агро-Вестник, 2000. - 800 с.Артемов, А.К. Приемы организации развивающего обучения. / А.К. Артемов // Начальная школа [Текст]. - 1995. -№ 1. - С. 35-39.Асмус, В.Ф. Учение логики о доказательстве и опровержении [Текст] / В.Ф. Асмус. - М.: Госполитиздат, 1954. - 88 с.Атаханов, Р.А. К диагностике развития математического мышления. / [Текст] Р.А. Астахов // Вопросы психологии. - 1992. - №№ 1-2. - С. 60-67.Бабанский, Ю.К. Рациональная организация учебной деятельности [Текст] / Ю.К. Бабанский. - М.: Знание, 1981. - 96 с.Бабинская И. Л. Задачи математических олимпиад. – М:. 1995.Башмакова И.Г. Диофант и диофантовы уравнения. - М.: Наука, 1972. - 68 с.Болгарский Б. В. Очерки по истории математики. – Минск:. 1999.Башмаков, М.И. Математика: учебное пособие для 10-11 классов гуманитарного профиля [Текст] / М.И. Башмаков. - М.: Просвещение, 2004.-330 с.Безумова, О.Л. Построение логической составляющей пропедевтического курса геометрии [Текст]: автореф. ... дисс. канд. пед наук. - СПб., 2004. -18 с.Виленкин, Н.Я. Элементы математической логики [Текст] / Н.Я. Виленкин, И.Л. Никольская // Факультативный курс по математике: учебное пособие для 7-9 классов средней школы. - М.: Просвещение, 1991. - С. 172-205.Выготский, Л.С. Избранные психологические исследования [Текст] / Л.С. Выготский. - М.: Изд-во академии пед. наук. РСФСР, 1956. - 519 с.Выготский, Л.С. Мышление и речь [Текст] / Л.С. Выготский. - М.: Наука, 1985.-315 с.Выготский, Л.С. Педагогическая психология [Текст] / Л.С. Выготский // Педагогическая психология; под ред. В.В. Давыдова. - М., 1991. - 480 с.Вышенский, В.А. О месте теории множеств и математической логики в преподавании математики в средней школе [Текст] / В.А. Вышенский, Л.А. Калужник // Математика в школе. - 1970. - № 1. - С. 32-36.Гальперин, П.Я. Введение в психологию [Текст] / П.Я. Гальперин. - М., 1975.-190 с.Долматова Л.Н. Формирование общеучебных умений у младших школьников в процессе изучения темы «Числовые выражения». – Ульяновск, УИПКПРО, 2010. – 12с.Танеев, Х.Ж Теоретические основы развивающего обучения математике [Текст] / Х.Ж. Танеев. - Екатеринбург, 1997. - 160 с.Горина, О.П. Какие задания можно назвать проблемными при обучении математике? [Текст] / О.П. Горина // Начальная школа. - 2002. - № 5. - С. 109-111.Горский, Д.П. Логика: учебное пособие для педагогических институтов [Текст] / Д.П. Горский. - М.:Учпедгиз, 1963.Горский, Д.П. Краткий словарь по логике [Текст] / Д.П. Горский и др. - М., 1991.-С. 48.Давыдов, В.В Проблемы развивающего обучения: опыт теоретического исследования [Текст] / В.В.Давыдов. - М.: Педагогика, 1986. - 240 с.Давыдов, В.В. Принцип развития в психологии [Текст] / В.В. Давыдов, В.П. Зинченко // Принцип развития в психологии. - Вопросы философии. -1979.-№ 12.-С. 48-62.Давыдов, В.В. О понятии развивающего обучения [Текст] / В.В. Давыдов // О понятии развивающего обучения: сборник статей. - Томск, 1995. - 144 с.Дорофеев, Г.В. Алгебра и начала анализа: учебное пособие для 10 класса [Текст] / Г.В. Дорофеев, Л.И. Кузнецова и др. - М.: Дрофа, - 2003.Дорофеев, Г.В. О принципах отбора содержания школьного математического образования [Текст] / Г.В. Дорофеев // Математика в школе. - 1990. -№ 6. - С. 2-5.Дорофеев, Г.В. Концепция и программы непрерывных курсов для общеобразовательной школы [Текст] / Г.В. Дорофеев, Г.К. Муравин, Л.Г. Петерсон // Математика для каждого. - 1997. - № 1. - М.: Изд-во Баллас С-ИНФО. - 133 с.Дорофеев, Г.В. Перспективы школьного математического образования в России: Концепция гуманитарного непрерывного математического образования [Текст] / Г.В. Дорофеев // Образование: Традиции и инновации в условиях социальных перемен. - М.: Изд-во ИОСО РАО, 1997.-С. 234-250.Дорофеев, Г.В. Язык преподавания математики и математический язык [Текст] / Г.В. Дорофеев // Современные проблемы методики преподавания математики. - М.: Просвещение, 1985. - С. 38-47.Дорофеев, Г.В. Гуманитарный аспект преподавания математики [Текст] / Г.В. Дорофеев // Математика в школе. - 1990. - № 6. - С. 12-13.Коляда Е.П. Развитие логического мышления учащихся на основе межпредметных задач: Автореф. дис. ... канд. пед. н. - Саратов, 1998. -24 с. Кондаков, Н.И. Логика: пособие для учителей [Текст] / Н.И. Кондаков. -М.: Учпедгиз, 1954. - 512 с.Колягин, Ю.М. Математика и развитие логического мышления [Текст] / Ю.М. Колягин // Активизация обучения математике в сельской школе. -М.: Просвещение, 1975. - 212 с.Колягин, Ю.М. Математические задачи как средство обучения и развития учащихся [Текст]: В 2 ч. / Ю.М. Колягин. - М.: Просвещение, 1977. -Ч. 1.-110 с; Ч. 2.-144 с.Крутецкий, В.А. Психология математических способностей школьников [Текст] / В.А. Крутецкий. - М.: Просвещение, 1968. - 481 с.Как проектировать универсальные учебные действия в начальной школе (А.Г. Асмолов и др.). М.: Просвещение, 2010. – 152с.Леонтьев, А.Н. Сочинения [Текст]: в 2 т. / А.Н. Леонтьев // Избранные психологические произведения. - М.: Педагогика, 1983. - Т. 1. - 392 с. -Т. 2.-320 с.Мантуров, О.В. Толковый словарь математических терминов: пособие для учителей [Текст] / О.В. Мантуров, Ю.К. Солнцев, Ю.И. Сорокин; под ред. В.А. Диткина. -М.: Просвещение, 1965. - С. 210-211.Математическая энциклопедия [Текст]: в 2 т. - М., 1979. - Т.2. - С. 372.Пидкасистый, П.И. Самостоятельная познавательная деятельность школьников в обучении [Текст] / П.И. Пидкасистый. - М.: Педагогика, 1980.-240 с.Приложения