Метод математической индукции

Теорема 2 доказана.Из доказанных теорем 1 и 2 следует, что неравенство (6) выполняется для любого натурального n большего или равного 3.Пример 7. Доказать неравенства: ; (7.1); (7.2); (7.3); (7.4). (7.5)Докажем неравенство (7.1).Теорема 1. При n = 1 имеем: . Теорема 1 доказана.Теорема 2. Дано, что неравенство (4.7.1) справедливо при n = k: .Докажем, что это неравенство выполняется при n = k+1: .Доказательство. Умножим и разделим на число Промежуточные вычисления:.. Теорема 2 доказана. Из доказанных теорем 1 и 2 следует, что неравенство (7.1) выполняется для любого натурального n.Докажем неравенство (7.2).Теорема 1. При n = 2: Левая часть неравенства (7.2): ; Правая часть неравенства (7.2): .Так как 2 < 2,25, то теорема 1 доказана.Теорема 2. Дано, что неравенство (7.2) выполняется при n = k: . Нужно доказать, что оно выполняется при n = k+1: .Доказательство. Умножим и разделим на число Докажем, что выполняется неравенство .....Теорема 2 доказана. Из доказанных теорем 1 и 2 следует, что неравенство (7.2) выполняется для любого натурального n большего или равного 2.Докажем неравенство (7.3).Теорема 1. При n = 3: Левая часть неравенства (7.3): .Правая часть неравенства (7.3): .Так как , то теорема 1 доказана.Теорема 2. Дано, что неравенство (7.3) выполняется при n = k: . Нужно доказать, что оно выполняется при n = k+1: .Доказательство.В примере (6) доказано неравенство Из этого неравенства следует: Тогда при n = k имеем:.Теорема 2 доказана. Из доказанных теорем 1 и 2 следует, что неравенство (7.3) выполняется для любого натурального n большего или равного 3.Докажем неравенство (7.4).Теорема 1. При n = 3: Левая часть неравенства (7.4): ;Правая часть неравенства (7.4): .Так как 6 > 4, то теорема 1 доказана. Теорема 2. Дано, что неравенство (7.4) выполняется при n = k: . Нужно доказать, что оно выполняется при n = k+1: .Доказательство. .Теорема 2 доказана. Из доказанных теорем 1 и 2 следует, что неравенство (7.4) выполняется для любого натурального n большего или равного 3.Докажем неравенство (7.5).Теорема 1. При n = 1 имеем: . Теорема 1 доказана.Теорема 2. Дано, что неравенство (4.7.5) справедливо при n = k: . Нужно доказать, что оно выполняется при n = k+1: .Доказательство. Докажем левую часть этого неравенства. .Докажем правую часть неравенства (7.5). . Теорема 2 доказана. Из доказанных теорем 1 и 2 следует, что неравенство (7.5) выполняется для любого натурального n.Заметим, что, используя неравенство (7.2) и неравенство приn>1, получим: .Пример 8. Доказать неравенства:; (8.1). (8.2)Докажем неравенство (8.1). Теорема 1. При n = 1 имеем: . Теорема 1 доказана. Теорема 2. Дано, что неравенство (8.1) справедливо при n = k: .Нужно доказать, что оно выполняется при n = k+1: .Доказательство. Теорема 2 доказана. Из доказанных теорем 1 и 2 следует, что неравенство (8.1) выполняется для любого натурального n. Докажем неравенство (8.2). Теорема 1. При n = 1 имеем: . Теорема 1 доказана. Теорема 2. Дано, что неравенство (8.1) справедливо при n = k:.Нужно доказать, что оно выполняется при n = k+1:.Теорема 2 доказана. Из доказанных теорем 1 и 2 следует, что неравенство (8.2) выполняется для любого натурального n. Пример 9. Доказать неравенство (9)Теорема 1. При n = 6: Теорема 1 доказана.Теорема 2. Дано, что выполняется неравенство . Нужно доказать выполнение неравенства.Доказательство. При имеем:.Теорема 2 доказана. Из доказанных теорем 1 и 2 следует, что неравенство (9) выполняется для любого натурального . Пример 10. Доказать, что при любом натуральном n имеет место неравенство: . (10)Теорема 1. При n = 1: Теорема 1 доказана.Теорема 2. Дано, что при n = k выполняется неравенство .Нужно доказать выполнение неравенства .Доказательство. . Теорема 2 доказана.Из доказанных теорем 1 и 2 следует, что неравенство (10) выполняется для любого натурального n. Пример 11. Доказать, что при любом натуральном n имеет место неравенство . (11)Обозначим через .Теорема 1. При n = 1: . Теорема 1 доказана.Теорема 2. Дано, что при n = k выполняется неравенство. Нужно доказать выполнение неравенства.Доказательство.. Неравенство “ > 0 ” следует из того, что . Теорема 2 доказана. Из доказанных теорем 1 и 2 следует, что неравенство (11) выполняется для любого натурального n. ЗаключениеРассмотренные выше примеры показывают, что методом математической индукции можно решать очень большой класс самых различных задач. Но силу этого метода не следует преувеличивать. Есть много задач, для которых просто напрашивается этот метод. Например. Доказать неравенство .Теорема 2. Дано, что это неравенство выполняется при n = k. Нужно доказать выполнение этого неравенства при n = k+1. Обозначим . Тогда .Ясно, что из полученного неравенства нельзя вывести, что его левая часть меньше 0.5. Доказательство зашло в тупик. То есть попытка, применить метод математической индукции, наталкивается на непреодолимые трудности. Однако, это неравенство очень просто можно доказать другим способом. Для любого выполняются следующие n -1 неравенства и равенство.Суммируя все эти неравенства и равенство, получим требуемое неравенство.ЛитератураИ. С. Соминский. Метод математической индукции.- М., 1952 .Л. А. Басова, М. А. Шубин, А. А. Энштейн. Лекции и задачи по математике. М., 1981.А. А. Колосов. Книга для внеклассного чтения по математике. М., 1963.Методика факультативных занятий в 9 – 10 классах. М., 1983.Математическая энциклопедия, т. 3, Москва, 1982.Н. Я. Виленкин, Г. С. Сурвилло, А. С. Симонов, А.И. Кудрявцев. Алгебра для 9 класса: Учебн. пособие для учащихся шк. и кл. с углубл. изуч. математики. – М.: Просвещение, 1999. – 384 с. Ляшко И. И., Боярчук А. К., Гай Я. Г., Головач Г.П. Справочное пособие по математическому анализу, ч. 1. Введение в анализ, производная, интеграл. - Киев: Высшая школа, 1978.- 696 с.Гельфанд С.И., Гервер М. Л., Кириллов А. А., Константинов Н. Н., Кушниренко А. Г. Задачи по элементарной математике. - М.: Наука, 1965.Дорофеев Г. В., Потапов М. К., Розов Н. Х.. Пособие по математике для поступающих в вузы. М.: Наука, 1968 .- 607 с.Цыпкин А. Г., Пинский А. И.. Справочник по методам решения задач по математике. М.: Наука, 1989.- 574 с.Кудрявцев Л. Д., Кутасов А. Д., Чехлов В. И., Шабунин М. И. Сборник задач по математическому анализу. М.: Наука, 1984. – 592 с.Сивашинский И. Х. Неравенства в задачах. М.: Наука, 1967. – 303 с.Глейзер Г. И. История математики в школе. М.: Просвещение, 1983.