КРИВОЛИНЕЙНЫЙ И ПОВЕРХНОСТНЫЙ ИНТЕГРАЛ ВТОРОГО РОДА

Каждой такой паре S, можно поставить в соответствие некоторое число, которое называется поверхностным интегралом 2 рода по верхней стороне поверхности от вектор-функции ,обозначаетсяи может быть вычислено по формуле, связывающей поверхностный интеграл 2 рода с поверхностным интегралом 1 рода:(9)Для поверхности S, заданной явным уравнением и проектирующейся на плоскость Oxyвзаимооднозначно, для практических вычислений удобна формула:(10)гдеD – проекция поверхности Sна плоскость OxyДля поверхностных интегралов 2 рода выполняются свойства линейности и аддитивности (см. п. 1.3)2.2 Формула Остроградского-ГауссаСвязь между поверхностным интегралом 2 рода по замкнутой поверхности и тройным интегралом по объему, ограниченному этой поверхностью устанавливает теорема.Теорема 2.1. Если функцииP(x, y, z), Q(x, y, z) иR(x, y, z)непрерывны вместе со своими частными производными первого порядка в пространственной области V, то имеет место формула(11)где S – граница области V и интегрирование по Sпроизводится по ее внешней стороне.Формула (11) называется формулой Остроградского-Гаусса и является аналогом формулы Остроградского-Грина (7).Замечание 1. Формула (11) остается справедливой для любой области, которую можно разбить на конечное число областей рассмотренного вида.Замечание 2.Формулу Остроградского –Гаусса можно использовать для вычисления поверхностных интегралов 2 рода по замкнутым поверхностям.2.3 Формула СтоксаСвязь между поверхностным и криволинейным интегралами 2 рода устанавливает следующая теорема.Теорема 2.2Если функцииP(x, y, z), Q(x, y, z) иR(x, y, z)непрерывны вместе со своими частными производными первого порядка в точках ориентированной поверхности S, то имеет место формула:==(12)гдеL – граница поверхности Sи интегрирование вдоль кривойLпроизводится в положительном направлении (рис.6).Рисунок 6Также формулу Стокса применяют в следующем виде:(13)2.4 Примеры вычисления поверхностного интеграла 2 родаПример 5. Вычислить поверхностный интеграл 2-го родагде S – верхняя сторона части конуса приРешение:Перейдем к полярным координатам.Выбрана верхняя сторона поверхности и проекция части конуса на плоскость Оху– круг :Рисунок 7Пример 6.Вычислить криволинейный интеграл 2-го родапо контуру при положительном направлении обхода контура.Рисунок 8Решение:Вычислим .Выберем в качестве поверхности, натянутой на контур λ, часть плоскости Оху, ограниченную этим контуром, и применим формулу Стокса:Список использованной литературыШипачев, В.С. Высшая математика : Учеб.для вузов/В.С. Шипачев – 3–е изд., стер. – М.: Высшаяшкола. 1996. – 479 с.Письменный, Д.Т. Конспект лекций по теории вероятностей, математической статистике и случайным процессам. 3-е изд. - М.: Айрис-пресс, 2008. — 288 с.Бронштейн, И.Н. Справочник по математике для инженеров и учащихся втузов /И.Н. Бронштейн, К.А. Семендяев. – М.: Наука, 1986. – 544 с.Данко, П. Е. Высшая математика в упражнениях и задачах/П.Е. Данко, А.Г. Попов, Т.Я. Кожевникова.– В 2–х ч. Ч. 1. – М.: Высш. шк., 1986. – 304 с.Бугров, Я.С., Никольский, С.М.Высшая математика. ( В 3-х томах ) Учеб.для вузов. – М.: Дрофа, 2004