Понятие числа в математике и в школьном курсе математики

Определение. Координатной плоскостью называется плоскость, на которой проведены две числовые прямые: горизонтальная и вертикальная, с общим началом Ои с одинаковыми единичными отрезками. Горизонтальная прямая обозначается Охи называется осью абсцисс. Вертикальная прямая обозначается Оу называется осью ординат. Оси Охи Оуназываются осями координат. Оси координат делят координатную плоскость на четыре четверти, которые нумеруются, начиная с верхней правой против часовой стрелки.Задание на выведение следствийИзобразите координатную плоскость в своей тетради, обязательно расставьте на чертеже стрелки на осях, названия осей Охи Оуи местоположение единиц на осях.Далее следует рассмотреть алгоритмы и задания на алгоритмы.Алгоритм определения координат данной точки на координатной плоскости.Чтобы найти абсциссу данной точки А координатной плоскости, необходимо:1)провести через точку А вертикальную прямую,2)найти точку пересечения этой прямой с осью абсцисс,3)определить координату этой точки на оси абсцисс.Чтобы найти ординату данной точки А координатной плоскости, необходимо:1)провести через точку А горизонтальную прямую,2) найти точку пересечения этой прямой с осью ординат,3) определить координату этой точки на оси ординат.Задание по алгоритму.На каком из чертежей можно определить координаты точки В? (Даются 3 чертежа. На одном из них имеется только точка В, на другом начерчены оси координат и дана точка В, но не указаны масштабные единицы, на третьем дан полный чертеж.) Сделайте это, при этом объясняя свои действия по алгоритму.Алгоритм построения точки по ее координатамЧтобы построить на координатной плоскости точку А (a; b), нужно:1)отметить на оси абсцисс точку а и провести через нее вертикальную прямую;2)отметить на оси ординат точку b и провести через нее горизонтальную прямую.Эти прямые пересекаются в точке А (a; b).Задания по алгоритму1. На каком из чертежей можно построить точку В (2; 3)? (Даются 2 чертежа. На одномчертеже начерчены оси координат, но не указаны масштабные единицы, на другом дан полный чертеж.) Сделайте это, объясняя свои действия по алгоритму.2. Начертите координатную плоскость и постройте точку А с одинаковыми абсциссой и ординатой (у=х); точку В с противоположными координатами (у= х); точку С с координатами, равными по модулю (=).Определение. Целыми числами называются натуральные числа, числа, противоположные натуральным, и число нуль.Затем следует рассмотреть задания на отработку определения.Задание на распознавание.Среди данных чисел: 3; 2,4; 4;6,3 найдите целые числа. Ответ обоснуйте, ссылаясь на определение.Задание на выведение следствийНапишите все целые числа, которые лежат на числовой прямой между числами -5,4 и .Определение. Рациональными числами называются числа, которые можно записать в виде дроби, где mчисло целое, nчисло натуральное.Далее рассмотрим задания на отработку определения.Задание на распознаваниеСреди данных чисел определите рациональные числа. Ответ объясните. (Приводится пример числового ряда)Задание на выведение следствийПридумайте рациональное число, которое расположено между числом 5 и числом 5,18. Ответ объясните.Алгоритм сложения рациональных чисел на числовой прямой.Чтобы найти сумму чисел a + b, нужно:1)отметить на прямой число а; 2)указать стрелкой направление перемещения от а: если bположительновправо, если bотрицательновлево; 3)переместиться в выбранном направлении на столько единиц, сколько их в числе .Полученная точка соответствует сумме a + b.Задания по алгоритму1. В какую сторону и на сколько единиц от нуля нужно переместиться, чтобы получить сумму 0 + (-3); 0 + (-8)?2. Существуют ли такие два числа, которые нельзя сложить по этому правилу? Почему?3. Представьте, каким образом осуществляется сложение с помощью числовой прямой и найдите сумму:-4,743 + (-5,33); -5630 + 7789.Алгоритм сложения рациональных чисел без помощи числовой прямой. Если одно из слагаемых равно нулю, то их сумма равна второму слагаемому. Если слагаемые одного знака, то их сумма имеет тот же знак, а модуль суммы равен сумме модулей слагаемых.Если слагаемые противоположные числа, то их сумма равна нулю.Если слагаемые разных знаков, но не противоположны, то их сумма имеет знак слагаемого, большего по модулю, а модуль равен разности модулей слагаемых.Задание по алгоритмуПодберите к каждой сумме соответствующую часть алгоритма и выполнитесложение: 20 + (-23); 0 + (-5); -18 + 18; -6 + (-5); -4 + 0; -35 + 50.Теорема о вычитании рациональных чисел. Чтобы вычесть из числа а число b, достаточно к числу а прибавить число, противоположное числу b: a-b = a + (-b).Задание по формулировке теоремыСреди данных выражений найдите такие, к которым применимо это правило, и воспользуйтесь им: 4 + 8; 4-5; 5 + 4; 5-4; 4 + (-5); 7-(-5).Это второй случай, когда правило (теорему), которое было сформулировано следуетдоказать. Для доказательства мы используем определение вычитания: х -у = zy + z = х, сочетательное свойство сложения: x + (y + z) = (x + y) + z, свойство нуля: х + 0 = х, свойство противоположных чисел: х + (-х) = 0.Доказательство. В доказываемом равенстве a-b = a + (-b) число а является уменьшаемым, число b вычитаемым, число a + (-b)разностью. Найдем сумму разности a + (-b) и вычитаемого b, для чего используем сочетательное свойство сложения: (a + (-b)) + b = а + ((-b) + b). Выражение в скобках есть сумма двух противоположных чисел, а значит,равно нулю. Поэтомуа + ((-b) + b) = а + 0 = а.Итак, (a + (-b)) + b= а, откудаab = a + (-b),ч.т.д.Теорема об умножении чисел с разными знаками. Произведение числа а и числа, противоположного числу b, есть число, противоположное произведению чисел аи b, то есть а*(-b) = -(аb). Произведение числа, противоположного числу а, и числа b, есть число, противоположное произведению чисел а и b, то есть –а*b =(ab).Задание по формулировке теоремыУбедитесь, что это правило можно использовать для любых значений аи b, и, применив его к данным парам чисел, найдите их произведения. Это уже третий случай, когда правило (теорему), которое было сформулировано следует доказать. Но вначале нам придется доказать, что для любого а произведение а*0 равно 0. a=a*1=a(1+0)=a*1+a*0=a+a*0.Нами доказано равенство а = а + а*0. К обеим его частям прибавим слева число -а:-а + а = -а + (а + а*0).Левая часть равна нулю, а правую часть можно преобразовать, используя сочетательное свойство сложения:0 = (-а + а) + а*0.В скобках нуль, отсюда 0 = 0 + а*0, или а*0 = 0, ч.т.д.Приступаем к доказательству «правила знаков»: а*(-b) = -(аb). Нужно доказать, что число а -(b) противоположно числу аb, то есть что их сумма равна нулю. Имеем:а (-b) + аb =а*(-b + b)=а *0=0, ч.т.д.Если не доказывать этой теоремы, то следствия из нее (следующие теоремы) должны быть доказаныв обязательном порядке.Теорема об умножении чисел со знаком «минус»: (-а)*(-b) = ab.Задание по формулировке теоремыУбедитесь, что это правило можно использовать для любых данныхвам значений аи b, и найдите их произведения.Доказательство.(-а)*(-b) = -((-a) b) = -(-(аb)) = аb.Теорема о делении чисел с разными знаками. Частное от деления числа ана число, противоположное числу b, есть число, противоположное частному чисел аи b:.Задание по формулировке теоремы.Убедитесь, что это правило можно использовать для любых данных вам значений аи b, и, применив его к данным парам чисел, найдите их частные.Доказательство.. a=(-b)*() a=ba=a, чтоверно.Теорема о делении чисел со знаками «минус»:Задание по формулировке теоремыУбедитесь, что это правило можно использовать для любых данных вамзначений аи b, и, применив его к данным парам чисел, найдите их частные.Доказательство..-a=(-b)*-a=-(b*) -a=-a,чтоверно [5]. Изучили методику преподавания рациональных чисел, определения и задания на закрепление материала. Также рассмотрели алгоритмы:1)алгоритм определения координат данной точки на координатной плоскости;2)алгоритм построения точки по ее координатам;3)алгоритм сложения рациональных чисел на числовой прямой;4)алгоритм сложения рациональных чисел без помощи числовой прямой.ЗаключениеВ данном исследовании была достигнута цель работы, которая заключалась в изучении понятия числа в математике, а также расширении данного понятия в школьном курсе математики. В ходе работы были решены следующие задачи:изучено понятие «число», дано определение;Изучили понятие «число», дали определение, а также рассмотрели вопрос расширения понятия числа в школьном курсе математике.рассмотрена методика преподавания натуральных чисел;Рассмотрели методику преподавания натуральных чисел, определения, задания на отработку этих определений, а также алгоритмы для нахождения НОД и НОК. Кроме этого, были рассмотрены теоремы (признаки делимости) и соответствующие задания.3)описана методика преподавания десятичных дробей;Изучили методику преподавания десятичных дробей, (которые также называют десятичными числами). Рассмотрели определения и задания на закрепление материала. Также рассмотрели следующие алгоритмы: а)алгоритм сложения и вычитания десятичных дробей;б)алгоритм умножения;в)алгоритм деления десятичной дроби на натуральное число;г)алгоритм сравнения десятичных дробей. д)алгоритм деления на десятичную дробь.4)рассмотрена методика преподавания рациональных чисел.Изучили методику преподавания рациональных чисел, определения и задания на отработку этих определений. Также рассмотрели алгоритмы:а)алгоритм определения координат данной точки на координатной плоскости;б)алгоритм построения точки по ее координатам;в)алгоритм сложения рациональных чисел на числовой прямой;г)алгоритм сложения рациональных чисел без помощи числовой прямой;Список литературы.1.Виленкин В.Я. Математика. М.: Мнемозина, 2009. 2. Жохов В.И. Преподавание математики в 5-6 классах. М.: Русское слово, 1999. 3.Истомина Н.Б. Математика 5 класс, пособие для учителя. Смоленск: Ассоциация XXI век, 2010.4.Кондрушенко Е.М. Тождественные преобразования выражений в школьном курсе математики.Великий Новгород: МОУ ПКС, 2006.5.Левитас Г.Г. Методика преподавания математики в школе, учебн. пособие. Астрахань: АГУ, 2009.6.Никольский С.М. Математика 5 класс. М.: Просвещение, 2012.