Теория игр в военном деле

Вероятность, что танк В будет поражен на расстоянии x+Δx, если к этому расстоянию два танка приехали невредимыми, будет равняться Т(x+Δx). Время, при котором расстояние между танками будет уменьшено на Δx, можно получить из уравнения по Δt:
Δx = (u+v) Δt + o(Δt),
где, o(Δt) означает величину, малую по сравнению с Δt, т.е. можно сказать, что если k= o(Δt), то

Вероятность уничтожения танка В на интервале Δt , равна q(Δt) + o(Δt) , а вероятность уничтожения танка А соответственно - p(Δt) + o(Δt) . Поэтому вероятность отсутствия повреждений у обоих танков в этот интервал будет равна 1 - (p - q) Δt + o(Δt), потому, что вероятность повреждения танков одновременно будет o(Δt). Из-за этого вероятность поражения танка В в более поздний момент будет (1):
[1 - (p - q) Δt + o(Δt)]Т(х),
Таким образом, мы получим уравнение:
Т(х+Δх)=qΔt +o(Δt)+[1 - (p - q) Δt + o(Δt)]Т(х). (1)
Перейдя к пределам, получим:
(2)
Учитывая уравнение 1:
(3)
Оно будет искомым дифференциальным уравнением. Так же получим второе уравнение (3`):
(3`)

Сложив уравнение 3 и 3`:

Из него делается вывод, что при S(x) + T(x) = 1 для определенного значения х, это уравнение удовлетворяется тождественно, из-за того, что S+T=1 станет решением дифференциального уравнения. Поэтому, S(0)+T(0)=1. Это будет значить, что танки не смогут проехать около противника без уничтожения одного из них.
Вернемся к уравнению 3, которое является дифференциальным уравнением первого порядка, имеющее лишь одно решение. Теперь можно легко получить величину Т(0) (4).
Т(0)=p(0)/(p(0)+q(0) (4)

Рассмотрим теперь гипотезу относительно оптимального решения.
Дифференциальное уравнение 3 – это частный пример класса
уравнений типа (5):
(5)
В котором, в правой части находится функция величин, заключенные в скобки. Проведем исследование для конкретного дифференциального уравнения такого типа следующей игры между игроком А и В: участник А может выбрать u в качестве функции от х, а участник В может выбрать v. При таком выборе u и v данное уравнение имеет лишь одно решение, принимающее заданное значение Т(0)=То при x=0. Участник А максимизирует Т(хо), а целью участника В будет минимизация той же функции.
Видно, что участник А будет увеличивать функцию в правой части, а участник В будет стараться уменьшить ее. Если эта часть уравнения, которая рассматривается в качестве функции параметров u и v, будет иметь седловую точку, эти локальные игры будут иметь такое решение (6):
maxuminvf(x,T;u,v)=minvmaxuf(x,T;u,v)=F(x,T)
Уравнение 3 содержит седловую точку, а именно u= u`` и v= v` для T>R и u= u` и v= v`` для T
Решить первоначальную игру, состоящую из малых игр можно решив дифференциальное уравнение:

с известным значением Т*(0) = То. Но величина Т*(хо) есть цена игры, а оптимальные значения u(x) и v(x), которые обозначены как u*(x) и v*(x), и их определяют по условиям уравнения 6 во всех точках [x, Т*(х)] кривой на отрезке от х=0 до х=хо.
Таким образом, если игрок А выбирает стратегию u*(x) , а участник В выберет вместо v*(x) иную - u (x), то результат Т увеличится, но не уменьшится. По-другому, участник В ухудшит результаты, отвергая стратегию v*. Аналогично участник А ухудшит результаты игры, отвергая стратегию u*. Это значит, что стратегия u*(x) и стратегия v*(x) будут выбраны в качестве координат седловой точки нашей игры с окончательной ценой игры Т*(хо). Поэтому, гипотеза является верной и игра должна быть проведена, по описанию выше[1].

Заключение

Краткое изложение теории и анализ практического примера указывают на выдающееся значение методов моделирования игр и аналитических методик при исследовании конфликтов в военной науке. Моделирование игр стало очень популярным в разработке военных стратегий. Однако возможности этого метода при решении игр, пусть не исследованы до конца, но весьма далеки от ожиданий. В моделировании, нет уверенных критериев адекватности решений, имеющихся в аналитических методах. Из-за этого, в формулировке игр при их моделировании существуют тенденции игнорирования многих проблем решений и ввода чрезмерного усложнения, в попытках улучшить имитацию действительности. Такое видение реальности иногда так сильно, что ведет к заблуждению, состоящему в присвоении аналитическому методу несуществующих ограничений, и к игнорированию присущих им ограничений. Самым сильным ограничением для моделей игр будет требование больших выборок числа игр для обеспечения надежности решения. Из-за этого их внедрение сопровождается или нежелательнымми издержкам, или к ошибками.
Поэтому можно сделать несколько выводов:
Сильные стороны аналитических методов должны использоваться полнее и шире, нужно продолжить исследование процессов, в силу которых моделирование игр приводит к их приблизительному решению. Так же необходимо разрабатывать более удовлетворительные методы решений с помощью моделирования, главным образом, при обучении играм, а при формулировании и решении игр следует использовать в первую очередь аналитические методы.

Список использованной литературы

Ашкенази В.О. Применение теории игр в военном деле: Сборник статей. – М.: Советское радио, 1961г. 362с.
Дж. фон Нейман, О. Моргенштерн. «Теория игр и экономическое поведение», Наука, 1970.
Замков О.О., Толстопятенко А.В., Черемных Ю.Н. «Математические методы в экономике», Москва 1997, изд. «ДИС».
Оуэн Г. «Теория Игр». – М.: Мир, 1970.
Раскин М. А. «Введение в теорию игр» // Летняя школа «Современная математика». – Дубна: 2008.
Колесник, Г.В. Теория игр: Учебное пособие / Г.В. Колесник. - М.: ЛИБРОКОМ, 2012. - 152 c.
Колокольцов, В.Н. Математическое моделирование многоагентных систем конкуренции и кооперации (Теория игр для всех): Учебное пособие / В.Н. Колокольцов, О.А. Малафеев. - СПб.: Лань, 2012. - 624 c.
Краснов, М.Л. Вся высшая математика. Т. 5. Теория вероятностей. Математическая статистика. Теория игр: Учебник / М.Л. Краснов, А.И. Киселев, Г.И. Макаренко [и др.]. - М.: ЛКИ, 2013. - 296 c.
Невежин, В.П. Теория игр. Примеры и задачи: Учебное пособие / В.П. Невежин. - М.: Форум, 2012. - 128 c.
Петросян, Л.А. Теория игр: Учебник / Л.А. Петросян, Н.А. Зенкевич, Е.В. Шевкопляс. - СПб.: БХВ-Петербург, 2012. - 432 c.












18