Пример 1. Решить однородное уравнениеРешение. Его решение будем искать в виде где неизвестное пока число. Подставляя выражения функции и ее производных в исходное уравнение и сокращая на , получаем характеристическое уравнение для определения :Получили один корень кратности Фундаментальная система решений в этом случае имеет вид: , а общее решение однородного уравнения будетПример 2. Решить задачу Коши дляследующего уравненияесли Решение. Составим и решим характеристическое уравнение.Общее решение имеет видПостоянные интегрирования находим из начальных условий.Таким образом, решением задачи Коши для данного уравнения будет:Пример 3. Составить линейное однородное дифференциальное уравнение, если заданаего фундаментальная система решений:Решение.Как видно из системы фундаментальных решений, есть один трехкратный корень и два одинарных:поэтому характеристическое уравнение имеет видРаскроем скобки и составим соответствующее дифференциальное уравнение.Дифференциальное уравнение имеет вид2.3. Некоторые корни характеристического уравнения комплексные.По определениюкоэффициенты дифференциального уравнения (2.1) вещественные, поэтому, комплексные корни характеристического уравнения (2.3), если они есть, должны быть попарно сопряженными.Иначе не выполняется условие вещественности коэффициентов Пусть для определенности a остальные корни вещественные. В этом случае фундаментальная система решений будет иметь такой вид а общее решение Если, к тому же некоторые вещественные корни кратные, например, для определенности, трехкратный корень (первые четыре корни комплексные, а остальные – вещественные), тогда фундаментальная система решений будеттакойСледовательно, к общему решению добавляются еще три слагаемых, и оно примет следующий вид:Пример 1.Решить однородное уравнениеРешение. Составим и решим характеристическое уравнениеФундаментальная система решенийОбщее решение однородного уравнения имеет видПример 2. Проинтегрировать уравнениеРешение. Составим и решим характеристическое уравнение (двукратный корень).Фундаментальная система решенийОбщее решение однородного уравнения имеет видПример 3.Составить линейное однородное дифференциальное уравнение, если задана его фундаментальная система решений:Решение. Как видно из системы фундаментальных решений, есть один вещественный корень и два комплексных:поэтому характеристическое уравнение имеет видРаскроем скобки и составим соответствующее дифференциальное уравнение.Дифференциальное уравнение имеет вид2.4. Некоторые комплексные корни характеристического уравнения кратные.Предположим, является -кратным корнем уравнения (2.1) ( ) то также будет -кратным корнем, и фундаментальная система решений будет иметь видОбщее решениеПример 1. Решить однородное уравнениеРешение. Составляем и решаем характеристическое уравнение(однократный вещественный корень);(пара двукратных комплексных корней).Общее решение будетПример 2. Решить однородное уравнениеРешение. Составляем и решаем характеристическое уравнение(пара двукратных комплексных корней).Общее решение будетЗАКЛЮЧЕНИЕРезюмируя и обобщая тему курсовой работы, в заключении можно добавить следующее.Еще у истоков возникновения теории дифференциальных уравнений 18-ом веке великий математик Леонард Эйлер в своих трудах создал удивительно стройную и изящную теорию линейных дифференциальных уравнений высших порядков с постоянными коэффициентами, тем самым дал огромный толчок развитию этой теории. Ему принадлежит честь создания не только теории решения однородных уравнений с постоянными коэффициентами, но и неоднородных уравнений, а также теорию систем линейных однородных и неоднородных уравнений. Его перу принадлежит также изучение целого класса линейных уравнений с переменными степенными коэффициентами вида , названных в его честь уравнениями Эйлера. Эти уравнения с помощью соответствующих постановок приводятся к линейным уравнениям с постоянными коэффициентами. Это далеко не полный список заслуг Эйлера только в одной узкой области теории дифференциальных уравнений. А в других областях математической науки?... На каждом шагу в разных отраслях математики то и дело встречаются теорема Эйлера и задача Эйлера, формулы Эйлера и преобразования Эйлера, окружность Эйлера, прямая Эйлера и т.д., и т.п. А в физике?! А в астрономии?!... Во истину, гений есть гений во всем...СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ1. Акад. А.Н. Крылов, Леонард ЭЙЛЕР, Изд-во Академии Наук СССР доклад академика А. Н. Крылова, прочитанный на торжественном заседании академии наук СССР 5 октября 1933 г.Ленинград, 1933, издательство Академии наук.2. Глейзер Г.И. История математики в школе, изд. «Просвещение», М. 1964.3. История математики в трех томах, т. 2. Изд. «Наука», М. 1970.4. Степанов В. В., Курс дифференциальных уравнений, М., 1964.5.Краснов М. Л. И др., Обыкновенные дифференциальные уравнения: Задачи и примеры с подробными решениями: Учебное пособие. Изд. 4-е., испр. — М., изд. Едиториал УРСС, 2002. 6. Филиппов А. Ф., Сборник задач по дифференциальным уравнениям, М., 1998.