Парные регрессии и корреляции

РЕШЕНИЕ:
С помощью инструмента анализа данных Регрессия в MS Excel получим результаты регрессионной статистики, дисперсионного анализа и доверительные интервалы для уравнения линейной регрессии.
Линейная модель
1. Рассчитаем параметры линейного уравнения парной регрессии.
Для этого воспользуемся в Excel Пакетом анализа, который определяет параметры линейной регрессии y = a + b•x.
Выполним команду Сервис / Анализ данных / Регрессия. Заполняем диалоговое окно ввода данных и параметров вывода:

Получили следующие результаты для линейной регрессии (см. рис.).
Запишем уравнение линейной регрессии и выводы относительно коэффициента b.
Получаем уравнение линейной функции y = 711,317 – 0,107 x.

Параметр b означает, насколько изменится значение результативного признака у при изменении фактора х на единицу. Так, при увеличении прожиточного минимума (х) на 1 руб. среднемесячная зарплата (у) уменьшится на 0,107 руб.
2. Оценим тесноту связи с помощью показателей корреляции и детерминации.
Для нахождения коэффициента корреляции R извлекаем квадратный корень из коэффициента детерминации, полученного в таблице.
R2=0,0015; R=
Связь между прожиточным минимумом х и средней зарплатой прямая слабая, на 0,15% вариация зарплаты определяется вариацией прожиточного минимума.
3. Оценим с помощью средней ошибки аппроксимации качество уравнения.
В столбце D рассчитываем yт по формуле: =$C$19+$B$19*B2.
Для расчета средней ошибки аппроксимации необходимо использовать формулу А= **100% (
Величина отклонений расчетных значений результативного признака от фактических составляет в среднем 10,91%. Поскольку средняя относительная ошибка 10,91% < 15%, то данное уравнение можно использовать в качестве регрессии.

4. Оценим значимость уравнений регрессии в целом.
Найдём фактическое значение F-критерия Фишера, используя полученную таблицу дисперсионного анализа: Fрасч = 0,021336873.

Определим табличное значение F-критерия, используя таблицы Фишера: Fтабл=4,6 при к1= m = 1, к2= n – m – 1 = 16 – 1 – 1 = 14, α = 0,05.
Сравним фактическое и табличное значения F-критерия: Fрасч < Fтабл, следовательно, уравнение статистически не значимо.
Степенная модель
1. Рассчитаем параметры линейного уравнения парной регрессии.
Построим степенную модель парной регрессии. При логарифмировании уравнения y = a · xb получаем ln y = ln a+b·ln x. Перейдем к новой модели Y = А + BX. Тогда a = eA. Преобразуем исходные данные, найдем коэффициенты A и B.
Поскольку инструмент Регрессия Пакета анализа вычисляет характеристики линейной модели, для вычисления индекса детерминации, F-критерия, параметров степенной регрессии необходимо провести дополнительные вычисления согласно формулам, определяющим данные понятия (см. рис.).

Получили следующие результаты для степенной регрессии (см. рис.).
Получаем уравнение степенной функции y = 903,79x-0,052.

2. Оценим тесноту связи с помощью показателей корреляции и детерминации.
Для нахождения коэффициента корреляции R извлекаем квадратный корень из коэффициента детерминации, полученного в таблице.
R2=0,0014;
Связь между прожиточным минимумом х и средней зарплатой прямая слабая, на 0,14% вариация зарплаты определяется вариацией прожиточного минимума.
3. Оценим с помощью средней ошибки аппроксимации качество уравнения.
В столбце F рассчитываем yт по формуле: =$E$22*B2^$B$37.
Для расчета средней ошибки аппроксимации необходимо использовать формулу А= **100% ( - ошибка аппроксимации.
Величина отклонений расчетных значений результативного признака от фактических составляет в среднем 10,91%. Поскольку средняя относительная ошибка 10,91% < 15%, то данное уравнение можно использовать в качестве регрессии.

4. Оценим значимость уравнений регрессии в целом.
Найдём фактическое значение F-критерия Фишера, используя полученную таблицу дисперсионного анализа: Fрасч = 0,01913435.

Определим табличное значение F-критерия, используя таблицы Фишера: Fтабл=4,6 при к1= m = 1, к2= n – m – 1 = 16 – 1 – 1 = 14, α = 0,05.
Сравним фактическое и табличное значения F-критерия: Fрасч < Fтабл, следовательно, уравнение статистически не значимо.
Показательная модель
1. Рассчитаем параметры показательного уравнения парной регрессии.
Построим показательную модель регрессии. Уравнение показательной кривой: y = a ebx.
Для вычисления параметров модели необходимо произвести линеаризацию переменных. Для этого осуществим логарифмирование обеих частей уравнения: ln y = ln a + bx. Обозначим: Y = ln y, А = ln a, B = b. Получим линейное уравнение регрессии: Y = A + Bx.
Поскольку инструмент Регрессия Пакета анализа вычисляет характеристики линейной модели, для вычисления индекса детерминации, F-критерия, параметров показательной регрессии необходимо провести дополнительные вычисления согласно формулам, определяющим данные понятия (см. рис.).

Получили следующие результаты для степенной регрессии:

Получаем уравнение степенной функции y = 713,377е-0,0002.
2. Оценим тесноту связи с помощью показателей корреляции и детерминации.
Для нахождения коэффициента корреляции R извлекаем квадратный корень из коэффициента детерминации, полученного в таблице.
R2=0,002; R=
Связь между прожиточным минимумом х и средней зарплатой прямая слабая, на 0,2% вариация зарплаты определяется вариацией прожиточного минимума.
3. Оценим с помощью средней ошибки аппроксимации качество уравнения.
В столбце Е рассчитываем yт по формуле: =$E$22*EXP($E$24*B2).
Для расчета средней ошибки аппроксимации необходимо использовать формулу А= **100%.


Величина отклонений расчетных значений результативного признака от фактических составляет в среднем 10,93%. Поскольку средняя относительная ошибка 10,93% < 15%, то данное уравнение можно использовать в качестве регрессии.
4. Оценим значимость уравнений регрессии в целом.
Найдём фактическое значение F-критерия Фишера, используя полученную таблицу дисперсионного анализа: Fрасч = 0,029708842.

Определим табличное значение F-критерия, используя таблицы Фишера: Fтабл=4,6 при к1= m = 1, к2= n – m – 1 = 16 – 1 – 1 = 14, α = 0,05.
Сравним фактическое и табличное значения F-критерия: Fрасч < Fтабл, следовательно, уравнение статистически не значимо.
5. Выберем лучшее уравнение из уравнений линейной, степенной и показательной моделей.
Вид модели Эмпирическое уравнение регрессии R2 Сред. ошибка аппроксимации Значимость уравнения Линейная Y=– 0,107х + 711,317 0,00152 10,91% не значимо Степенная Y = 903,79х-0,052 0,00136 10,91% не значимо Показательная Y = 713,377е-0,0002X 0,00211 10,93% не значимо Самые лучшие характеристики имеют уравнения линейной и показательной регрессий. Но если руководствоваться R2, то необходимо выбрать показательное уравнение, а если руководствоваться средней ошибкой аппроксимации, то линейное уравнение. [2, 3, 4, 8]
Заключение
В рамках данной работы были изучены теоретические основы парного регрессионного анализа: линейные и нелинейные модели парной регрессии, формулы для расчета основных характеристик, таких как коэффициенты корреляции и ковариации, средней ошибки аппроксимации и .т.п.
Также были рассмотрены примеры использования парного регрессионного анализа для решения задач и обработки экспериментальных данных, в т.ч. с применением табличного процессора Microsoft Excel и встроенных в него инструментов регрессионного анализа.

Список использованной литературы
Магнус Я. Р., Катышев П.К., Персецкий А.А. Эконометрика. Начальный курс. – М.: Дело, 2006.
Орлова И.В. Экономико-математические методы и модели: компьютерное моделирование: учеб. пособие / И.В. Орлова. – М.: Вузовский учебник: Инфра-М, 2013.
Практикум по эконометрике: Учеб. пособие / Под ред. И.И. Елисеевой – М.: Финансы и статистика, 2004.
Практикум по эконометрике: Учебн. пособие / Под ред. И.И. Елисеевой. – М.: Финансы и статистика, 2008. – 192 с.
Прикладная статистика. Основы эконометрики: Учебник для вузов: В 2-х т. – Т. 2. Айвазян С.А. Основы эконометрики. – М: ЮНИТИ-ДАНА, 2001. – 432 с.
Федосеев, В.В. Экономико-математические методы и прикладные модели: учебник / В. В. Федосеев, А. Н. Гармаш, И. В. Орлова. – М.: Юрайт, 2013. – 328 с.
Эконометрика: Учебник / Под ред. И.И. Елисеевой. - 2-е изд.; перераб. и доп. – М.: Финансы и статистика, 2005.
Экономико-математические методы и модели: практикум / С.Ф. Миксюк [и др.]; под ред. С.Ф. Миксюк. – Мн.:. БГЭУ, 2008. – 310 с.








32