Найдем линейное уравнение регрессии X на Y.Для оценки качества параметров регрессии построим расчетную таблицу (табл. 2)xyy(x)(yi-yср)2(y-y(x))2|y - yx|:y-72823.85885.0617.220.15-31211.98189.060.0005070.00188013.077.564.32.071-20.110.06254.4302-6-2.8618.069.8403-7-5.8327.561.3707-17-17.7232.560.5010-23-26.61451.5613.02013-14-141811.550.672.22Линейное уравнение регрессии имеет вид x = by + aДля расчета параметров регрессии построим расчетную таблицу (табл. 1)yxy2x2y • x28-778449-19612-31449-3610100-2141-2-62364-12-73499-21-17728949-119-2310529100-230-14131836221-616Для наших данных система уравнений имеет вид8a -14 b = 13-14 a + 1836 b = -616Домножим уравнение (1) системы на (1,75), получим систему, которую решим методом алгебраическогосложения.14a -24.5 b = 22.75-14 a + 1836 b = -616Получаем:1811,5 b = -593,25Откуда b = -0,3275Теперь найдем коэффициент «a» из уравнения (1):8a + -14 b = 138a -14 ∙ (-0,3275) = 138a = 8,42a = 1,0519Получаем эмпирические коэффициенты регрессии: b = -0,3275, a = 1,0519Уравнение регрессии (эмпирическое уравнение регрессии):x = -0,3275 y + 1,0519Оценим качество уравнения регрессии с помощью ошибки абсолютной аппроксимации:;Ошибка аппроксимации в пределах 5%-7% свидетельствует о хорошем подборе уравнения регрессии к исходным данным. = 19,08%.В среднем, расчетные значения отклоняются от фактических на 19,08%. Поскольку ошибка больше 7%, то данное уравнение не желательно использовать в качестве регрессии.Для оценки качества параметров регрессии построим расчетную таблицу (табл. 2)yxx(y)(xi-xср)2(x-x(y))2|x - xx|:x28-7-8.1274.391.25012-3-2.8821.390.01490100.722.640.520-211.710.390.50.71-623.020.141.030.51-733.341.890.120.11-1776.6228.890.140.0544-23108.5870.1420.14-141313199.885.591.53Параболическое уравнение регрессииУравнение регрессии имеет вид x = a2y2 + a1y + a0 Находим параметры уравнения методом наименьших квадратов.Система уравнений МНК:a0n + a1∑x + a2∑x2 = ∑ya0∑x + a1∑x2 + a2∑x3 = ∑yxa0∑x2 + a1∑x3 + a2∑x4 = ∑yx2xyx2y2x yx3x4x2 y-72849784-196-34324011372-3129144-36-2781108010100001-214-211-22-6436-12816-243-7949-212781-637-1749289-1193432401-83310-23100529-230100010000-230013-142211836-616100914981-1742Для наших данных система уравнений имеет вид8a0 + 13a1 + 221a2 = -1413a0 + 221a1 + 1009a2 = -616221a0 + 1009a1 + 14981a2 = -1742Получаем a2 = 0,0848, a1 = -3,244, a0 = 1,178Уравнение регрессии:y = 0,0848x2-3,244x+1.Оценим качество уравнения регрессии с помощью средней относительной ошибки аппроксимации:;Ошибка аппроксимации в пределах 5%-7% свидетельствует о хорошем подборе уравнения регрессии к исходным данным. = 6,65%.Поскольку ошибка меньше 7%, то данное уравнение можно использовать в качестве регрессии.Корреляционное отношение вычисляется для всех форм связи и служит для измерение тесноты зависимости. Теоретическое корреляционное отношениеопределяется по формуле: 𝜂 = = ,где – дисперсия выровненных значений результативного признака, т.е. рассчитанных по уравнению регрессии; – дисперсия эмпирических (фактических) значений результативного признака; – остаточная дисперсия. x-728,04-29,79887,52-311,67-13,42180,1801,18-2,938,571-1,980,230,052-4,973,2210,373-7,796,0436,497-17,3715,62244,1310-22,7821,03442,35-140,011809,67Изменяется в пределах [0;1]. = = 226,21. =;== 226,44 (см. задачу 1).𝜂 = = 0,999.В отличие от линейного коэффициента корреляции он характеризует тесноту нелинейной связи и не характеризует ее направление. Изменяется в пределах [0;1].Связи между признаками могут быть слабыми и сильными (тесными). Их критерии оцениваются по шкале Чеддока:0.1 < η < 0.3: слабая;0.3 < η < 0.5: умеренная;0.5 < η < 0.7: заметная;0.7 < η < 0.9: высокая;0.9 < η < 1: весьма высокая;Полученная величина свидетельствует о том, что изменение x существенно влияет на y.Индекс детерминации.R2 = 1- R2 = 1- = 0,999.т.е. в 99.89% случаев влияет на изменение данных. Другими словами - точность подбора уравнения регрессии - высокая.Для оценки качества параметров уравнения построим расчетную таблицу (табл. 2)xyy(x)(y-yср)2(y-y(x))2(y-y(x)) : y-72828.04885.060.001740.00149-31211.67189.060.110.0272011.187.560.03170.181-2-1.980.06250.0003620.009512-6-4.9718.061.060.173-7-7.7927.560.620.117-17-17.37232.560.140.021910-23-22.78451.560.0490.00963-141811.52.010.53Доверительный интервал для условного математическогоожидания M[Y/x]будет иметь вид:(, где 𝜎 – среднее квадратическое отклонение.𝜎 = 15,05; - 1,75 (см. задача 1).Поскольку n ≤ 30, тоопределяем значение tkр по таблице распределения СтьюдентаПотаблице находим критическое значение критерия Стьюдента при α = 0,93:tтабл (n-1;α/2) = (7;0.035) = 2,136.Доверительный интервалравен:(-1,75, (-13,12;9,62).С вероятностью 0.93 можно утверждать, чтосреднее значение при выборке большегообъема не выйдет за пределы найденного интервала.3.3. Дать интервальную оценку случайной величины Yс вероятностью попадания в интервал р=0,98, если взятое из той же генеральной совокупности значение xn+1=4, при предположении, что эмпирическое уравнение регрессии построено точно. Определить толерантный интервал.Решение:Поскольку наименьшее значение ошибки аппроксимации получено для параболического уравнения регрессии, то и прогнозное значение вычислим по данному уравнению:y(x) =-3.244+ 0.0848x + 1.178x2;Прогнозное значение случайной величины Yравно:y(4) = -3.244 + 0.0848*4 + 1.178*42 = -10.44.Так как генеральная совокупность распределена по нормальному закону и объем выборки равен n=9, то искомый доверительный интервал для значения y (xn+1=4) имеет вид:,где ,.Здесь - стандартная ошибка прогноза, которая определяется по формуле: ;Здесь S - cтандартная ошибка регрессии.S = где m = 1 - количество влияющих факторов в модели регрессии.S= = 0,579По таблице Стьюдента находим tтаблtтабл(n-m-1;α/2) = (5;0.01) = 3,36Рассчитаем границы интервала, в котором будет сосредоточено 98% возможных значений Y при неограниченно большом числе наблюдений и x=4y(xр) ± где = 3,36 ∙ 0,579 ∙ = 0,761.Доверительный интервал для y (xn+1=4) равен:(-10.44 - 0,761; -10.44 +0,761)(-11.201;-9.679).Таким образом с вероятностью 98% прогнозное значение случайной величины Yбудет находится в интервале от -11,201 до -9,679.ЗаключениеВ данной работе были рассмотрены теоретические основы методики анализа распределений, основы регрессионного и корреляционного анализа.В практическоей части работы были премененырассмотренные в теории методики путем решения конкретной задачи. Были найденыеследующие величины и зависимости:- характеристикираспределений (математическое ожидание, дисперсия, среднее квадратическоеотклонение);- коэффициент парной корреляции;- уравнение линейной регресии;- уравнение параболической регрессии;- прогнозное значение признака;- доверительный интервал для математическогоожидания.Таким образом, при выполнении данной курсовую работы мной были освоины конкретные методы статистического анализа.Использованная литература:Елисеева И.И., Юзбашев М.М. Общая теория статистики: Учебник./ Под ред. И.И. Елисеевой. – 5-е изд., перераб. и доп. – М.: Финансы и статистика, 2004.Мхитарян В.С. Статистика: Учебник для студентов учреждений Сред. Проф. Образования. – М.: Издательский центр «Академия», 2004Практикум по теории статистики: Учеб. пособие./ Под ред. проф. Р.А. Шмойловой. – М:. Финансы и статистика, 2004.Сидоренко М.Г. Статистика: Учеб.пособие («Профобразование») (Гриф) – М.: Форум, 2007.Толстик Н.В., Матегорина Н.М. Статистика: Учебно-методическое пособие для студентов экономических коллежей и техникумов. Ростов н/Д: изд-во «Феникс, 20016. Кремер Н.Ш. Теория вероятностей и математическая статистика. – М.: ЮНИТИ-ДАНА, 2003. – 573 с.