Структурная и приведенная форма модели

Для определения оценок коэффициентов воспользуемся матричным МНК. Представим данные наблюдений и коэффициенты в матричном виде:
, , , .
В нашем случае:
,
Результатом МНК будет формула вычисления коэффициентов регрессии:
B = (XT X)-1 XT Y
В нашем случае:
XT X
25,000 7,610 18,310 8,830 26,800 9,940 7,610 2,612 5,523 2,475 7,645 3,069 18,310 5,523 13,481 6,512 19,911 7,389 8,830 2,475 6,512 3,663 9,589 3,183 26,800 7,645 19,911 9,589 34,601 10,707 9,940 3,069 7,389 3,183 10,707 5,374
(XT X)-1
11,543 -3,545 -14,872 -0,340 0,222 0,881 -3,545 5,861 0,470 2,337 0,438 0,307 -14,872 0,470 24,562 -3,134 -1,052 -2,579 -0,340 2,337 -3,134 3,527 0,273 0,971 0,222 0,438 -1,052 0,273 0,252 0,121 0,881 0,307 -2,579 0,971 0,121 1,111
XT Y
341,630 104,435 253,609 120,232 419,240 137,292
Т.е. уравнение множественной регрессии имеет вид:

2. Вычислим средние значения факторов (табл. 1).

Таблица 1 - Расчетная таблица
№ предприятия Y2 X1 Х2 X3 X5 Х6 1 30,14 0,43 0,83 0,30 2,13 0,49 2 12,14 0,31 0,73 0,45 0,78 0,49 3 15,25 0,37 0,65 0,31 1,16 0,16 4 9,78 0,38 0,72 0,30 0,67 0,73 5 13,22 0,24 0,70 0,56 0,98 0,28 6 7,11 0,42 0,69 0,26 0,54 0,68 7 17,50 0,41 0,79 0,24 0,74 0,74 8 11,42 0,27 0,65 0,37 1,00 0,16 9 10,94 0,02 0,74 0,42 1,14 0,56 10 6,24 0,51 0,62 0,20 0,24 0,23 21 6,14 0,25 0,75 0,33 0,67 0,11 22 5,37 0,42 0,68 0,16 0,66 0,41 23 9,86 0,30 0,77 0,15 0,86 0,62 24 14,19 0,23 0,79 0,47 0,86 0,21 25 15,81 0,17 0,77 0,53 1,98 0,25 26 25,83 0,31 0,73 0,25 1,72 0,38 27 10,31 0,29 0,66 0,38 0,81 0,24 28 21,00 0,29 0,78 0,10 1,58 0,77 29 23,39 0,26 0,71 0,44 1,70 0,09 30 13,26 0,23 0,78 0,40 1,23 0,23 31 9,87 0,18 0,75 0,32 1,89 0,63 32 14,68 0,49 0,69 0,17 0,84 0,14 33 11,56 0,18 0,80 0,68 1,06 0,13 34 14,54 0,29 0,78 0,40 0,99 0,89 35 12,08 0,36 0,75 0,64 0,57 0,32 сумма 341,63 7,61 18,31 8,83 26,8 9,94 среднее 13,67 0,30 0,73 0,35 1,07 0,40
Рассчитаем коэффициенты эластичности и сопоставим влияние факторов на результат:
,
,
,
,
,
.
Т.е. наибольшее влияние на рентабельность производства оказывают такие факторы как удельный вес рабочих в составе ППП и размер премии и вознаграждения на одного работника. Удельный вес потерь от брака снижает рентабельность производства.
3. Оценим статистическую значимость параметров регрессионной модели с помощью t-критерия, а также значимость уравнения регрессии с помощью F-критерия. Для этого выполним ряд промежуточных расчетов:

матрица остатков ():


стандартная ошибка регрессии ():

3,730

матрица стандартных ошибок коэффициентов регрессии ():

12,674 9,031 18,488 7,006 1,874 3,931
матрица значений t-критерия ():

-1,990 2,971 1,380 0,675 5,366 -0,259
Критическим является уровень t-статистики .
Таким образом, значимыми являются оценки коэффициентов при Х1 (t=2,971) и Х5 (t=5,366).

матрица :


коэффициент детерминации ():

0,704

,
что больше критического уровня , значит уравнение в целом является значимым.
4. Оценим качество уравнения регрессии по средней абсолютной процентной ошибке (MAPE):

матрица значений процентной ошибки ():



Средняя абсолютной процентной ошибке равна:
.
Т.е. ошибка аппроксимации достаточно велика.

5. Рассчитаем матрицы парных и частных коэффициентов корреляции:

матрица парных коэффициентов корреляции ():

  Y2 X1 Х2 X3 X5 Х6 Y2 1 X1 0,027 1 Х2 0,427 -0,347 1 X3 -0,020 -0,530 0,226 1 X5 0,732 -0,389 0,438 0,069 1 Х6 0,041 0,067 0,343 -0,372 0,018 1

матрица частных коэффициентов корреляции (самостоятельный вклад соответствующей независимой переменной в предсказание зависимой переменной: )

Y2 X1 0,284 Х2 0,112 X3 0,253 X5 0,832 Х6 0,308
Таким образом, отмечается наличие мультиколлинеарности (например коэффициент парной корреляции между Х1 и Х3 равен -0,530).
С учетом взаимозависимости факторов, степени их влияния на Y и уровня t-статистики отберем для следующей модели факторы Х1 и Х5.
Построим модель только с информативными факторами и оценим ее параметры по аналогии с первой моделью:

матрица коэффициентов регрессии:





матрица t-статистик:


(регрессионные коэффициенты (кроме свободного члена) значимы, т.к. расчетный уровень t-статистики превышает критический .
R-квадрат равен 0,651, F-статистика - 20,543 (больше критического уровня 3,443), ошибка аппроксимации - 24,7%. Остаточная дисперсия: 14,148.
Т.е. в целом, вторая модель принципиально не лучше первой, кроме значимости оценок регрессионных коэффициентов.
6. Рассчитаем прогнозное значение результата, если прогнозные значения факторов составляют 80% от их максимальных значений:
.
7. Рассчитаем ошибки и доверительный интервал прогноза для уровня значимости 5 и 10% (( = 0,05 ; ( = 0,10).
Интервальный прогноз для индивидуального Y вычисляется следующим образом:
,

где :

0,868 -1,588 -0,321 1 1 0,408 1,704 -1,588 3,989 0,348 0,408 -0,321 0,348 0,201 1,704


Доверительный интервал прогноза:

- для уровня значимости 5%:


- для уровня значимости 10%

.
8. Таким образом, на основе исходных данных построены две линейные модели множественной регрессии, качество которой удовлетворительно. На основе модели со значимыми факторами Х1 и Х5 построен прогноз, даны интервальные оценки его доверительного интервала.

Заключение

Такие сложные системы как экономика и социальная сфера не могут быть описаны единой универсальной эконометрической моделью, соответственно для целей моделирования применяются системы регрессионных уравнений. Данные системы могут быть представлена по-разному, наиболее распространенной их формой выступает система одновременных уравнений, представляющая собой совокупность эконометрических уравнений, определяющих взаимозависимость различных переменных.
Отличительной чертой системы одновременных уравнений является наличии в правых и левых частях разных уравнений одних и тех же переменных. Такая форма модели называется структурной. В такой системе эндогенные переменные зависят как от экзогенных, так и от эндогенных факторов. Таким образом отдельные уравнения регрессии не могут характеризовать влияние переменных на вариацию результирующей величины. Поэтому для анализа используют приведенную форму системы, в которой в каждом уравнении есть лишь одна эндогенная переменная, то есть эндогенные показатели выражены через экзогенные.
При переходе между приведенной и структурной формами модели можно столкнуться с проблемой идентификации, когда не все параметры могут быть однозначно определены.
Коэффициенты структурной модели оцениваются различными способами в зависимости от типа системы одновременных уравнений. Наибольшее распространение получили косвенный МНК, двух- и трехшаговый МНК, метод максимального правдоподобия и др.



Список использованных источников

Каморников, С. Ф. Эконометрика: учебное пособие / С. Ф. Каморников, С. С. Каморников. - М. : Интеграция, 2014. - 264 с.
Картаев, Ф. С. Эконометрика: учебное пособие / Ф. С. Картаев, Е. Н. Лукаш. - М. : Проспект, 2014. - 116 с.
Мельников, Р. М. Эконометрика: учебное пособие / Р. М. Мельников. - М. : Проспект, 2014. - 281 с.
Мхитарян, В. С. Эконометрика: учебник / [В. С. Мхитарян и др.] ; под ред. В. С. Мхитаряна. - М. : Проспект, 2014. - 380 с.
Новиков, А. И. Эконометрика: учебное пособие / А. И. Новиков. - 3-е изд., перераб. и доп. - М. : ИНФРА-М, 2014. - 271 с.
Попов, А. М. Экономико-математические методы и модели: учебник / А. М. Попов, В. Н. Сотников ; под общ. ред. А. М. Попова. - 3-е изд., испр. и доп. - М. : Юрайт, 2015. - 345 с.
Тимофеев, В. С. Эконометрика: учебник / В. С. Тимофеев, А. В. Фаддеенков, В. Ю. Щеколдин. - 4-е изд., перераб. и доп. - Новосибирск : НГТУ, 2015. - 352 с.
Хуснутдинов, Р. Ш. Экономико-математические методы и модели: учебное пособие / Р. Ш. Хуснутдинов. - М. : ИНФРА-М, 2014. - 223 с.
Эконометрика: учебник / [Елисеева И. И. и др. ; под ред. И. И. Елисеевой]. - М. : Юрайт, 2014. - 449 с.









3