комплексные числа в теории электрических цепей

1): – активное сопротивление (например, лампа накаливания); – индуктивное сопротивление (катушка); – общее сопротивление цепи, называемое полным.


Рис.1 Рис.2

Сопротивления , , образуют прямоугольный треугольник сопротивления (рис. 2). Угол – угол сдвига фаз. Сопротивления не являются синусоидальными величинами, однако отрезок может быть выражен комплексным числом, считая, что отрезок откладывается по оси вещественных чисел, а отрезок – по оси мнимых чисел.
Сопротивление в комплексной форме обозначается буквой . Для цепи на рис.2 комплекс сопротивления записывается: алгебраическая форма

тригонометрическая форма

и показательная форма

Модуль

аргумент

Таким образом, в комплексе сопротивления модуль равен полному сопротивлению, а аргумент – сдвигу фаз.

























Мощность

Комплекс мощности получится, если комплекс напряжения умножить на сопряженный комплекс тока:

где – комплекс мощности, – сопряженный комплекс тока. После умножения получим комплексное число, у которого вещественная часть равна активной мощности, а мнимая часть – реактивной мощности:

где – активная мощность, – реактивная мощность.
Пример. Даны и . Требуется определить активную P и реактивную Q мощность. Решение. Переведем комплексы напряжения и тока в показательную форму, для чего найдем модуль и аргумент тока и напряжения:
, ,
, ,
Определим сопряженный комплекс тока:

Найдем активную и реактивную мощности: , .








Заключение

Были рассмотрены комплексные числа с точки зрения применения последних в теории электрических цепей без углубления в саму теорию цепей.
В задачах теории электрических цепей алгебраическая форма комплексного числа удобна при сложении и вычитании, показательная – при умножении и делении; тригонометрическая служит для перевода показательной формы в алгебраическую.






















Литература

Теоретические основы электротехники: Теория электрических цепей и электромагнитного поля: учеб. пособие для студ. высш. учеб. заведений / под ред. С.А. Башарина, В.В. Федорова. – М.: Издательский центр «Академия», 2004. – 304 с.
Шмидт Н. М. Приложение комплексных чисел в электротехнике // Молодой ученый. — 2012. — №2. — С. 320–323.













12