Нелинейные модели регрессионного анализа и их применение при планировании экономической деятельности

По сравнению с аналогичным периодом прошлого года убыток от продаж снизился на 22 486 тыс. руб., или на 75,8%.Если смотреть за весь анализируемый период (01.01.2013-31.12.2015), то убыток от продаж снизился на 87 002 тыс.руб. или на 92,4%.По сравнению с началом анализируемого периода на конец анализируемого периода текущем снизилась как выручка от продаж, так и расходы по обычным видам деятельности (на 106 560 и 193 562 тыс. руб. соответственно). Причем в процентном отношении изменение расходов (-39,1%) опережает изменение выручки (-26,6%). При этом хотелось бы отметить, что наибольшее снижение данных показателей было в 2013году. Также не маловажным является то, что за 2014 год наблюдался небольшой рост, причем в процентном отношении изменение выручки (+12,4%) опережает изменение расходов (+4,8%). Изменение выручки наглядно представлено ниже на графике.Рисунок 2.6 – Диаграмма изменения выручки и чистой прибыли за период 2013-2015 годаТаблица 2.8 – Анализ рентабельностиПоказатели рентабельностиЗначения показателя (в %, или в копейках с рубля)Изменение показателя, коп.2012201320142015За 2013За 2014За 201512 345 6781. Рентабельность продаж по валовой прибыли -23,5-17,5-9,5-2,4+6 +8+7,12. Рентабельность продаж по чистой прибыли -36,5-43,4-14-11,1-6,9+29,4+2,9Представленные в таблице показатели рентабельности за анализируемый период имеют отрицательные значения как следствие убыточности деятельности ОАО «Уральская нефть» за данный период.Имеет место рост рентабельности продаж по сравнению с данным показателем начала периода в целом на 21,1% по валовой прибыли и на 25,4% по чистой прибыли. Естественно, это говорит об улучшении деятельности предприятия, тем не менее, данные результаты оставляют желать лучшего.Результаты моделирования производственной функцииПроизводственная функция отражает зависимость показателей реального объема выпуска (У) от капитальных затрат (К) и затрат труда (L). Рассмотрим два способа построения производственной функции: линейный и Кобба-Дугласа.Результаты моделирования линейной функции .Таблица №1Результаты моделирования линейной производственной функции .Регрессионная статистикаДисперсионный анализКоэффициентыP-ЗначениеМножественный R0,971Значимость F9,573E-14Y-пересечение-4,85520,3709K0,15860,0005Нормированный R-квадрат0,937F171,9278L0,916612,21E-06Регрессионная модель линейной производственной функции показывает высокую точность описания эмпирических данных (93,7%). Модель адекватна при уровне значимости , так как 0,03>9,573Е-14. Коэффициенты уравнения регрессии значимы при (0,4>0,3709; 0,4>0,0005; 0,4>2,21Е-06).Уравнение множественной регрессии производственной линейной функции выглядит следующим образом:.Результаты моделирования функции Кобба-Дугласа.Функция Кобба-Дугласа является разновидностью степенных функций. Для придания ей линейного вида, необходимо воспользоваться методом логарифмирования. Результаты моделирования сведем в таблицу:Таблица №2Результаты моделирования производственной функции Кобба-Дугласа .Регрессионная статистикаДисперсионный анализКоэффициентыP-ЗначениеМножественный R0,978Значимость F4,038E-15Y-пересечение-0,17730,3436K0,233050,0007Нормированный R-квадрат0,953F236,12192L0,807288,007E-06Скорректированный R-квадрат, равный 95,3% свидетельствует о точности регрессионной модели по отношению к эмпирическим данным. Модель является адекватной при уровне значимости 5%, поскольку 0,05>4,038Е-15. Также значимыми оказались и коэффициенты при (0,4>0,3436; 0,4>0,0007; 0,4>8,007Е-06). Однако значение коэффициента b0 оказалось искаженным после проведения логарифмирования. Вернем параметру b0 действительную величину: b0=exp(B0)=0,838.Уравнение множественной регрессии производственной функции Кобба-Дугласа выглядит:Построение регрессионной модели степенной функции .Для приведения данного уравнения к линейному виду была использована процедура логарифмирования.Таблица №1Результаты моделирования степенной функции .Регрессионная статистикаДисперсионный анализКоэффициентыP-ЗначениеМножественный R0,954Значимость F7,9E-11Y-пересечение2,36914,65E-11R-квадрат0,91F180,9614lnx-1,0593,93E-11Множественный R, равный 95,4% говорит о наличии тесной связи между экзогенной и эндогенной переменными. Точность описания регрессионной моделью эмпирических данных тоже высока и составляет 91%. Регрессионная модель адекватна при уровне значимости (0,03>7,9Е-11). Также значимыми оказались коэффициенту уравнения регрессии, так как (0,03>4,65Е-11; 0,03>3,93Е-11). Однако коэффициент b0 принял искаженное значение в связи с предшествующим логарифмированием. Его истинное значение оказалось равным b0=exp(B0)=10,688. Уравнение регрессии степенной функции приобрело вид:Построение регрессионной модели показательной функции .Как и в предыдущем задании, для приведения функции данного вида к линейной, необходимо произвести логарифмирование.Таблица№1Результаты моделирования показательной функции .Регрессионная статистикаДисперсионный анализКоэффициентыP-ЗначениеМножественный R0,987Значимость F1,2E-15Y-пересечение1,7081,554E-15R-квадрат0,974F661,806x-0,1516,004E-16Высокие значения Множественного R и коэффициента детерминации, равные 98,7% и 97,4% говорят о высокой связи между объясняющей и зависимой переменной и высокой точности модели соответственно. Модель оказалась адекватна при уровне значимости , так как (0,03>1,2Е-15). Коэффициенты уравнения также оказались значимыми при уровне значимости (0,03>1,554Е-15; 0,03>6,004Е-16), однако значения коэффициентов нельзя принять равным ранее вычисленным в связи с их искажением в процессе логарифмирования. Применим процедуру потенцирования: b0=exp(B0)=5,517; b1=exp(B1)=0,8603. Уравнение регрессии показательной функции приобрело вид:Построение регрессионной модели степенной функции Данную функцию не удастся привести к линейному виду. Для определения параметров уравнения регрессии и степени экзогенной переменной необходимо методом подбора степени получить искомые данные. Индикатором выбора будет служить значение коэффициента детерминации – чем выше значение, тем более точно регрессионная модель опишет эмпирические значения. Таблица №1Результаты подбора значений степени объясняющей переменной.Значение степени Значение коэффициента детерминации R2,%0,487,190,291,75-0,994,62-0,498,83-1,583,50Судя по значениям R-квадрат, можно сказать, что наивысшая точность описания моделью регрессионных данных 98,83% была достигнута при значении степени . Менее точной регрессионная модель оказалась при. Для построения уравнения регрессии будем использовать наиболее точную модель.Таблица №2Результаты моделирования степенной функции при .Регрессионная статистикаДисперсионный анализКоэффициентыP-ЗначениеМножественный R0,9941Значимость F7,96E-19Y-пересечение-2,4921,11E-14R-квадрат0,9883F1513,96z=x^(-0,4)9,17943,98E-19При уровне значимости 3% нулевая гипотеза будет отвергнута и модель принять адекватной, так как (0,03>7,96E-19). Проверка параметров модели на значимость при также дала положительный результат: (0,03>1,11Е-14; 0,03>3,98Е-19), и коэффициенты следует принять равными ранее вычисленным b0=-2,492; b1=9,179; в связи с отсутствием логарифмирования значения параметров не искажены. Уравнение регрессии будет иметь вид:ЗаключениеБлагодаря проделанной работе, мы научились строить регрессионные модели нелинейных процессов. Для внутренне линейных функций оказалось приемлемым производить замену переменных, где это возможно, либо осуществлять процедуру логарифмирования. Второй метод, использовавшийся в данной работе, показал высокие результаты при приведении показательных и степенных функций к линейному виду, поскольку данные регрессионные модели описывали эмпирические данные с точностью, близкой к 100%. Стоит отметить, что, если параметр уравнения подвергся логарифмированию, для приведения его в адекватное состояние, необходимо произвести процедуру экспонирования.Производственная функция Кобба-Дугласа дала точность описания эмпирических данных, более высокую, чем линейная функция, поскольку коэффициент детерминации функции Кобба-Дугласа оказался равным 95,3%, что выше, чем у линейной 93,7%. При построении регрессионной модели внутренне нелинейной функции, пришлось прибегнуть к методу подбора степени экзогенной переменной с последующей оценкой точности уравнения регрессии посредством использования коэффициента детерминации. Степень принималось равной -0,4, при которой точность уравнения достигала своего максимума или была близка к нему (98,83%).Список литературыИ. В. Орлова, В. А. Половников, Экономико-математические методы и модели: компьютерное моделирование. - М.: Вузовский учебник: ИНФРА-М, 2011.О. А. Волгина, Н. Ю. Голодная, Н. Н. Одияко. Экономико-математические методы и модели. Владивосток: Изд-во ВГУЭС, 2006.Р. И. Горбунова, С. И. Макаров, М. В. Мищенко. Экономико-математические методы и модели. - М.: КНОРУС, 2008.О. О. Замков, А. В. Толстопятенко, Ю. Н. Черемных. Математические методы в экономике. - М.: Дело и Сервис, 2009.Г. И. Просветов, Математические методы в экономике. - М.: РДЛ, 2005.Федосеев В. В.. Экономико-математические методы и прикладные модели. Учебное пособие для вузов / В. В. Федосеев, А.Н. Гармаш, И. В. Орлова и др.; Под ред. В. В. Федосеева - 2-е издание. - М.: ЮНИТИ, 2005. Волгина О. А., Голодная Н. Ю., Одияко Н. Н., Шуман Г. И. Математическое моделирование экономических процессов и систем. Учебное пособие - 2-е издание. - М.: КНОРУС, 2014. Е. В. Бережная, В. И. Бережной, Математические методы моделирования экономических систем. - М.: Финансы и статистика, 2005.