Управление хаосом в системах дифференциальных уравнений (Метод Пирагаса)
Заказать уникальный реферат- 25 25 страниц
- 15 + 15 источников
- Добавлена 12.05.2016
- Содержание
- Часть работы
- Список литературы
- Вопросы/Ответы
ДЕТЕРМИНИРОВАННЫЙ ХАОС 8
УПРАВЛЯЮЩИЕ ВОЗДЕЙСТВИЯ 14
МЕТОД ПИРАГАСА 17
ПРИМЕР ПРИМЕНЕНИЯ МЕТОДА ПИРАГАСА 21
ЗАКЛЮЧЕНИЕ 23
ЛИТЕРАТУРА 24
Методы управляющего воздействия с обратной связью являются адаптивными методами учитывающими не только начальное положение системы, а и текущее состоянии при выработке текущей управляющей силы. Это позволяет, в частности, подавлять возможные ошибки измерения и управления, которые могут возникать в конкретной физической системе. Далее мы рассмотрим метод управления при помощи обратной связи, который использует запаздывание – метод Пирагаса.
Метод Пирагаса
В 1992 году литовским физиком К.Пирагасом был предложен метод обратной связи с запаздыванием (time-delayed feedback) [7]. В этой работе рассматривалась задача стабилизации τ-периодической орбиты нелинейной системы
(2)
(где , - вектор управляющих переменных), с помощью простого закона обратной связи:
, (3)
где - коэффициент передачи, а - время запаздывания.
В случае, когда равно периоду существующего периодического решения уравнения (2) при и решение уравнения замкнутой системы (2), (3) начинается в точке , то оно остается в для всех t ≥ 0. Удивительным, однако, является то, что x(t) может сходиться к Γ, даже если .
Закон обратной связи (3) используется также для стабилизации периодического возбужденного процесса в системе (2) с T-периодической правой частью. Тогда τ следует брать равным T. Естественным образом методра спространяется на задачи стабилизации состояний равновесия и периодических траекторий дискретных систем.
Позже был предложен «расширенный метод Пирагаса», при котором управление имеет вид
(4)
где – измеряемый выход; – настраиваемые параметры. При , и m → ∞ алгоритм (4) принимает вид
(5)
Несмотря на простой вид алгоритмов (6.16) – (6.18), аналитическое исследование замкнутой системы оказалось сложной задачей.
В некоторых работах исследовалась устойчивость возбужденного T-периодического решения системы Лурье с «обобщенным регулятором Пирагаса»
где G(p) (p = d/dt) – передаточная функция фильтра. С использованием методов теории абсолютной устойчивости (см., напр., [15]) в этих работах получены достаточные условия, которым должна удовлетворять передаточная функция линейной части управляемой системы, а также условия на крутизну нелинейной характеристики, которые должны быть выполнены, чтобы фильтр G(p) был стабилизирующим. Также была предложена процедура синтеза «оптимального» регулятора, максимизирующего размер области устойчивости. В других работах получено простое необходимое условие стабилизируемости с помощью алгоритма Пирагаса (3) для одного класса дискретных систем («ограничение нечетности»). Условие распространено на более общий случай, а также на системы непрерывного времени независимо в работах на основе теории Флоке.
Пусть Φ(t) – фундаментальная матрица линеаризованной системы относительно заданного τ-периодического решения (матрица монодромии). Как известно, собственные числа матрицы Φ(τ) (мультипликаторы) μi, связаны с показателями Ляпунова τ-периодического решения соотношениями . Указанное необходимое условие заключается в том, что число вещественных собственных чисел матрицы Φ(τ), больших единицы, не должно быть нечетным. Позже некоторые авторы получали и уточняли приближенные оценки границ значений коэффициента обратной связи K, обеспечивающих стабилизацию периодического решения. Интересно, что полученная область значений K, обеспечивающих стабилизацию, включает сколь угодно малые значения K при малой степени неустойчивости , и становится пустой (исчезает) при достаточно большом .
Если в соотношении (5) выбрать , то получаемый алгоритм также можно применять, хотя получаемый регулятор становится неустойчивым. Было показано, что использование неустойчивого регулятора позволяет существенно ослабить ограничения на матрицу объекта Φ(t) и, в частности, снять «ограничение нечетности».
Несмотря на существенную информацию о свойствах метода Пирагаса, полученную в последние годы, проблема нахождения достаточных условий, гарантирующих применимость исходного алгоритма (3), до сих пор остается нерешенной.
Недостатком закона управления (3) является его чувствительность к выбору параметров, особенно – к выбору времени запаздывания τ. Очевидно, если система T-периодическая и цель управления состоит в стабилизации вынужденного T-периодического решения, то обязательно следует выбирать τ = T. Альтернативным эвристическим приемом является моделирование собственных процессов в системе при начальных условиях x(0) до тех пор, пока текущее состояние x(t) не приблизится к x(s) при некотором s < t, т. е. Пока не выполнится условие |x(t) − x(s)| < ε. Тогда выбор τ = t − s даст разумную оценку периода, а вектор x(t) будет тем исходным состоянием, при котором начинается управление процессом. Этот подход, однако, часто приводит к завышенным значениям периода. Так как хаотические аттракторы имеют периодические решения с разными периодами, то важно найти и стабилизировать (с помощью малого управления) движение с наименьшим периодом. Эта проблема пока также остается открытой.
Пример применения метода Пирагаса
В данном разделе рассматривается следующая система нелинейных дифференциальных уравнений (см. также [7,10]):
, (6)
где - фазовые переменные, - управляющая функция.
Систему (6) будем рассматривать при следующих значениях параметров
,
то есть получаем систему
. (7)
Для системы (7) при в работе [7] были посчитаны периодические решения и установлено, что его период равен .
Будем выбирать управляющее воздействие по методу Пирагаса в виде
При этом значение численного параметра возьмем следующим: .
На рисунке приведенном ниже представлены результаты численного моделирования
Заключение
В данной реферативной работе рассмотрен вопрос управления нелинейными системами дифференциальных уравнений с хаотической динамикой. Исследуется задача нахождения такого управления, которое бы существенно меняло свойства системы, например, превращало бы хаотическое движение в периодическое. Управление хаосом является современной математической дисциплиной, которая интенсивно исследуется. Существует как минимум три активно развивающихся: направление программного (вибрационного) управления; метод линеаризации отображения Пуанкаре; метода запаздывающей обратной связи Пирагаса. В реферате рассматривается последний метод: метод Пирагаса, в котором управление строится в виде обратной связи с запаздыванием. В реферате приводятся необходимые теоретические сведения из теории управления хаотическими системами, приведено описание и анализ метода Пирагаса, приведен пример его использования для стабилизации одной конкретной управляемой системы с хаотическим поведением.
Литература
Магницкий, Н. А., Сидоров, С.В. Новые методы хаотической динамики / - М. : Едиториал УРСС, 2004. - 320 с.
Фрадков А. Л. Кибернетическая физика. СПб.: Наука, 2003.
Шашихин В. Н. Хаос и нелинейная динамика. Регулярная и хаотическая динамика: учеб. пособие / В.Н. Шашихин. – СПб.: Изд-во Политехн. ун-та, 2010. – 210 с.
Малинецкий Г. Г. Современные проблемы нелинейной динамики / Г. Г. Малинецкий, А. Б. Потапов. - М. : Эдиториал УРСС, 2000. - 336 с.
Андриевский Б. Р., Фрадков А. Л. Управление хаосом: Методы и приложения. I. Методы. Автоматика и телемеханика. 2003, (5). C.3-45.
Андриевский Б. Р., Фрадков А. Л. Управление хаосом: Методы и приложения. II. Приложения. Автоматика и телемеханика. 2004, (4), C.3-34.
Pyragas K. Continuous control of chaos by self-controlling feedback. Phys. Lett. A. 1992. V.170. 421—428.
Li T., Yorke J.A. Period three implies chaos. Amer. Math. Monthly. 1975. V. 82. pp. 985—992.
Ott E., Grebogi C., Yorke G. Controlling chaos. Phys. Rev. Lett. 1990. V.64. (11) 1196—1199.
Leonov G. A., “Pyragas stabilizability via delayed feedback with periodic control gain”, Systems & Control Letters 69, 34–37 (2014).
Леонов, Г. А., Звягинцева, К. А., Стабилизация по Пирогасу дискретных систем запаздывающей обратной связью с периодическим импульсным коэффициентом усиления. Вестник СПбГУ. Сер. 1. Т. 2 (60). 2015. Вып. 3, стр. 342-353.
Fradkov A.L., Pogromsky A.Yu. (1998). Introduction to control of oscillations and chaos. Singapore: World Scientific Publishers.
Леонов Г.А., Шумафов М.М. Проблемы стабилизации линейных управляемых систем. СПб.: СПбГУ, 2002.
Гукенхеймер Дж., Ф. Холмс. Нелинейные колебания, динамические системы и бифуркации векторных полей. М.: Изд-во УРСС, 2002.
Леонов Г.А., Смирнова В.Б. Математические проблемы теории фазовой синхронизации. СПб.: Наука, 2000.
2
2. Фрадков А. Л. Кибернетическая физика. СПб.: Наука, 2003.
3. Шашихин В. Н. Хаос и нелинейная динамика. Регулярная и хаотическая динамика: учеб. пособие / В.Н. Шашихин. – СПб.: Изд-во Политехн. ун-та, 2010. – 210 с.
4. Малинецкий Г. Г. Современные проблемы нелинейной динамики / Г. Г. Малинецкий, А. Б. Потапов. - М. : Эдиториал УРСС, 2000. - 336 с.
5. Андриевский Б. Р., Фрадков А. Л. Управление хаосом: Методы и приложения. I. Методы. Автоматика и телемеханика. 2003, (5). C.3-45.
6. Андриевский Б. Р., Фрадков А. Л. Управление хаосом: Методы и приложения. II. Приложения. Автоматика и телемеханика. 2004, (4), C.3-34.
7. Pyragas K. Continuous control of chaos by self-controlling feedback. Phys. Lett. A. 1992. V.170. 421—428.
8. Li T., Yorke J.A. Period three implies chaos. Amer. Math. Monthly. 1975. V. 82. pp. 985—992.
9. Ott E., Grebogi C., Yorke G. Controlling chaos. Phys. Rev. Lett. 1990. V.64. (11) 1196—1199.
10. Leonov G. A., “Pyragas stabilizability via delayed feedback with periodic control gain”, Systems & Control Letters 69, 34–37 (2014).
11. Леонов, Г. А., Звягинцева, К. А., Стабилизация по Пирогасу дискретных систем запаздывающей обратной связью с периодическим импульсным коэффициентом усиления. Вестник СПбГУ. Сер. 1. Т. 2 (60). 2015. Вып. 3, стр. 342-353.
12. Fradkov A.L., Pogromsky A.Yu. (1998). Introduction to control of oscillations and chaos. Singapore: World Scientific Publishers.
13. Леонов Г.А., Шумафов М.М. Проблемы стабилизации линейных управляемых систем. СПб.: СПбГУ, 2002.
14. Гукенхеймер Дж., Ф. Холмс. Нелинейные колебания, динамические системы и бифуркации векторных полей. М.: Изд-во УРСС, 2002.
15. Леонов Г.А., Смирнова В.Б. Математические проблемы теории фазовой синхронизации. СПб.: Наука, 2000.
Вопрос-ответ:
Какие методы применяются для управления хаосом в системах дифференциальных уравнений?
Для управления хаосом в системах дифференциальных уравнений применяются различные методы, включая метод Пирагаса.
Что такое метод Пирагаса?
Метод Пирагаса - это метод управления хаосом, который основан на использовании управляющих воздействий с обратной связью для подавления ошибок измерения и управления.
Какие преимущества имеет метод Пирагаса?
Метод Пирагаса имеет несколько преимуществ, включая учет текущего состояния системы при определении управляющей силы, а также возможность подавления возможных ошибок измерения и управления.
Какие системы могут быть управляемыми с помощью метода Пирагаса?
Метод Пирагаса может быть применен для управления различными системами, включая системы дифференциальных уравнений.
Можно ли привести пример применения метода Пирагаса?
Да, можно привести пример применения метода Пирагаса. Например, этот метод может использоваться для управления хаосом в системе дифференциальных уравнений, чтобы достичь определенного желаемого состояния системы.
Какие методы управления хаосом в системах дифференциальных уравнений существуют?
Один из методов управления хаосом в системах дифференциальных уравнений - это метод Пирагаса.
Что такое метод Пирагаса в управлении хаосом?
Метод Пирагаса - это метод управления хаосом в системах дифференциальных уравнений, который позволяет подавлять возможные ошибки измерения и управления.
Какие возможности предоставляет метод Пирагаса?
Метод Пирагаса предоставляет возможность адаптивного управления системами дифференциальных уравнений с учетом текущего состояния системы.
Какие преимущества имеет метод управляющего воздействия с обратной связью по сравнению с другими методами?
Метод управляющего воздействия с обратной связью позволяет учесть не только начальное положение системы, но и текущее состояние при выработке управляющей силы, что позволяет подавлять возможные ошибки измерения и управления.
Можно ли привести пример применения метода Пирагаса?
Да. Метод Пирагаса можно применять, например, для управления системами дифференциальных уравнений, связанными с движением тела в пространстве.
Что такое метод Пирагаса?
Метод Пирагаса - это метод управления хаосом в системах дифференциальных уравнений. Он основан на использовании управляющих воздействий с обратной связью, что позволяет учитывать не только начальное положение системы, но и текущее состояние при выработке управляющей силы. Этот метод позволяет подавлять возможные ошибки измерения и управления, которые могут возникать в системе.