Математическое описание дискретных систем

Данный метод особенно эффективен при моделировании дискретных систем, в виде последовательного соединения простых звеньев. ,(54)где - полюса; - коэффициенты (вычеты функции X(z));.Коэффициенты выражения (54) находятся при помощи умножения выражения (52) на и определением полученного выражения с учетом :.(55)В случае еслиполюса X(z)m-кратные, то разложение на элементарные дроби определяется выражением (56):,(56)где(57)Математическое описание дискретной модели объекта В данном разделе рассмотрим практическое применение дискретизации объекта и его математического описания. Для примера возьмем модель, которая задается схемой управления изображенной на рисунке 5. Рисунок 5 – Схема системыДанная схема подходит для многих производственных процессов и установок. Объект управления и исполнительный механизм вместе описываются одной передаточной функцией:(58)где k – коэффициент усиленияравный 12;T–постоянная времени равная 0.8.Переходная характеристика данной передаточной функции представлена на рисунке.Распространенность цифровых систем довольно часто требует преобразования непрерывной системы в цифровую систему. Рассмотрим два метода преобразования непрерывной системы в дискретную с частотой дискретизации :переход от дифференциального уравнения к разностному;построение дискретно совпадающей модели.Рисунок 6 – Изменение выходной величины (непрерывный сигнал).Переход от дифференциального уравнения к разностному уравнениюОбъект управления заданный выражением (47) моделируется звеном третьего порядка. Данный объект может быть представлен тремяпоследовательно соединенными апериодическими звеньями первого порядка. Для каждого звена произведем переход от дифференциального уравнения к разностному уравнению. Дифференциальное уравнение апериодического звена первого порядка описывается выражением (59):(59)Произведем переход к разностному уравнению путем замены производной разностным уравнением с частотой дискретизации и с учетом выражений (60):(60)(61)К выражению (61) применим Z-преобразование:(62)Перейдем к дискретной передаточной функции:(63)Подставим значения коэффициентов k и T в передаточную функцию (63).Модель дискретного объекта управления представлена на рисунке:Рисунок 7 – Модель дискретного объектаПереходный процесс дискретной модели изображен на рисунке 8:Рисунок 8 – Дискретная передаточная функция (вариант a)График на рисунке 8 показывает, что дискретная модель является адекватной для исходной непрерывной модели, однако в начале графика дискретной модели отсутствует характерный перегиб, что в случае определения порядка системы по дискретной модели не позволит сделать верные выводы.Построение дискретно совпадающей моделиНаиболее просто дискретная модель объекта может быть получена в виде так называемой дискретно-совпадающей модели, т.е модели, переходная характеристика которой y(t) в выбранных тактовых точках точно совпадает с кривой разгона.Дискретно-совпадающая модель легко может быть построена по кривой разгона объекта.Объект управления описывается моделью 3-го порядка(64)Перейдем от дискретной передаточной функции (64) к уравнению в z-форме:(65)На основании полученного уравнения перейдем от z-формы к разностным уравнениям.(66)На вход объекта подается единичное ступенчатое воздействие (функция Хевисайда).(67)В данной модели содержится шесть неизвестных параметров: . Для расчета данных параметров нужно построить шесть уравнений включающих неизвестные параметры. Для дискретно-совпадающей модели логично потребовать, чтобы переходный процесс модели точно совпадал с отсчетами кривой разгона в выбранных точках. Так как переходный процесс начинается из нуля, то y(0)=0, следовательно, b0=0, Запишем уравнениена основании (66):(68)Исходя из того, что шаг дискретизации равен 0.5, возьмем первые 6 отсчетов переходного процесса непрерывного объекта, график которого на рисунке 9.Рисунок 9 – Определение значений в первых шести отсчетах переходного процесса непрерывного объектаДалее необходимо составить уравнения, где отсчеты y(n) будут связаны с параметрами модели. Уравнения определяются из выражения (68):(69)Подставим найденные значения отсчетов в (69):(70)В результате у нас получилась система уравнений (70) с шестью уравнениями и шестью неизвестными. Для решения данной системы уравнений можно воспользоваться математическим пакетом (напримерMatlab, Mathcad). Результатом решения являются значения неизвестных коэффициентов дискретной передаточной функции . (71)Подставим найденные значения коэффициентов дискретной передаточной функции в (64).(72)Модель дискретного объекта управления представлена на рисунке (10):Рисунок 10 – Модель дискретного объектаПереходный процесс дискретной модели (72) изображен на рисунке 11:Рисунок 11 - Дискретная передаточная функция (вариант b)Полученная дискретная модель является наиболее адекватным отображением дискретизации непрерывной модели. На графике мы также видим характерный перегиб в начальные моменты, который позволяет точнее сказать о порядке системы в отличии от модели полученной при переходе от дифференциального уравнения к разностному уравнению.ЗаключениеБурное развитие техники и технологий последних лет затронуло все сферы деятельности человека. На сегодняшний день практически все промышленные процессы и операции выполняются с использованием автоматических систем управления и информационных технологий. Основой данных систем, как правило, являются дискретные элементы, например микропроцессор. Дискретные системы находят применения и в обыденной жизни человека, например часы, музыкальные открытки, и т.п. Главными причинами такого положения являются простота, и экономичность построения аппаратнойчасти, которая может выполнять алгоритмы высокой сложности по программе, записанной в устройство. При этом модификация устройства сцелью улучшения его характеристик зачастую происходит только заменойпрограммного обеспечения, что открывает широкие просторы для построения универсальных микропроцессорных наборов для большого количества объектов.На современном этапе существует универсальный метод исследования дискретных систем, который основан на использовании математическогоаппарата – дискретного преобразования Лапласа (z-преобразование). Знание основ математического описания дискретных систем является важным аспектом их изучения, т.к. не смотря на быстрое совершенствование аппаратной части дискретных систем, появления все новых и новых технических решений и алгоритмов работы, базисом остается неизменные математические теории определенные еще в прошлых веках.Например, цифровая обработка сигналов, базируется на математике семнадцатого и восемнадцатого столетий, однако ее актуальность в настоящее время как никогда, высокая. Данная сфера деятельности наглядно показывает интеграцию старого и нового. Математический аппарат, применяемый для цифровой обработки сигналов существует уже века, однако появление цифровых ЭВМ и интегральных схем позволило реализовывать новые подходы, основываясь на классических математических принципах. Формулы классического численного анализа, такие, как формулы для интерполяции, интегрирования и дифференцирования, безусловно, являются алгоритмами цифровой обработки. Наличие быстродействующих цифровых ЭВМ благоприятствовало развитию все более сложных и рациональных алгоритмов обработки сигналов. В заключении, хотелось бы отметить, что как бы не происходило дальнейшее развитие дискретных систем, основой всех новых разработок по-прежнему будет исходный математический аппарат, которые не претерпевает глобальных изменений. Из этого следует, что актуальность изучения математического описания дискретных систем будет сохраняться, до тех пор пока существуют данные системы. Список литературных источниковГайдук А.Р. Непрерывные и дискретные динамические системы/А.Р. Гайдук. - 2-е изд. испр.- М.: Уч.-метод. издат. центр «Учебная литература». 2004. - 252 с.Горячев О.В. Компьютерное управление: конспект лекций/ О.В. Горячев. - Тула: ТулГУ, 2000. – 186 с.Иванов Б.А. Элементы теории дискретных систем автоматического управления: учебное пособие/ Б.А. Иванов, А. В. Недвига. – Уха: УГТУ, 2007.- 112 с.Кривошеев В.И. Цифровая обработка сигналов: конспект лекций/ В.И. Кривошеев, С.Ю. Медведев. – Нижний Новгород: ННГУ им. Лобачевского, 2010. - 241 с.Куо Б. Теория и проектирование цифровых систем управления: пер. с англ./ Б. Куо под ред. П.И. Попова. – М.: Машиностроение, 1986. – 448 с.ЛукьянецС. В. Теория автоматического управления. Дискретные, нелинейные, оптимальные и адаптивные системы: конспект лекций/ С.В. Лукьянец[и др.]. –Минск: БГУИР, 2007.Муромцев Д.Ю. Анализ и синтез дискретных систем: учебное пособие/ Д.Ю. Муромцев, Е.Н.Яшин. –Тамбов: ФГБОУ ВПО «ТГТУ», 2011. – 106 с.8.Цыпкин Яков Залманович [Электронный ресурс] / Институт проблем управления им. В. А. Трапезникова РАН: Электрон.дан. - М. : Инст.проб.упр. им. В. А. Трапезникова - Режим доступа: http://www.ipu.ru/node/12139 свободный. - Загл. с экрана.Приложение А(справочное)Таблицы основных Z-преобразованийТаблица А.1 – Z-преобразование основных дискретных сигналовДискретный сигналz-преобразованиеПродолжение приложенияАТаблица А.2–Связь непрерывного сигнала, преобразования Лапласа и Z-преобразованияx(t)X(p)X(z)Область сходимостиПримечание - При использовании таблицы А.2 стоит отметить, что: