Вклад Джона Нэша в становление прикладной математики

Работа Нэша по реализации многообразий как вещественных алгебраических многообразий, и теорема Ньюландера-Ниренберга о комплексных структурах еще раз иллюстрируют влияние обоих лауреатов в геометрии.Вопросы регулярности постоянно возникают в дифференциальных уравнениях с частными производными, Академия наук Норвегии решила присудить Абелевскую премию за 2015 Джону Ф. Нэшу младшему, Принстонский университет, и Луису Ниренбергу, Курантовский институт математических наук при Нью-Йоркском университете За яркий и основополагающий вклад в развитие теории нелинейных дифференциальных уравнений и их применение к геометрическому анализу. иногда для достижения строгости доказательств, а иногда ввиду бесценной качественной информации о решениях, которую они содержат.Когда Нэш доказал, одновременно с Де Джорджи, первые оценки Гельдера для решений линейных эллиптических уравнений в общих размерностях без предположения регулярности коэффициентов — это был настоящий прорыв.Наряду с прочими результатами, это привело к решению 19- й проблемы Гильберта об аналитичности минимизаторов аналитических эллиптических интегральных функционалов. Спустя несколько лет после доказательства Нэша, Ниренберг, вместе с Агмоном и Дуглисом, нашел несколько новых оценок регулярности решений линейных эллиптических уравнений с Lp - условиями, которые обобщают теорию Шаудера и чрезвычайно полезны в задачах, в которых такие условия интегрируемости выполнены. Эти работы заложили основу современной теории регулярности, которая с тех пор получила бурное развитие и нашла применение в анализе, геометрии и теории вероятностей, даже в не гладких ситуациях.Свойства симметрий также содержат важную информацию о решениях нелинейных дифференциальных уравнений, как для их качественного исследования, так и для упрощения численных расчетов. Один из самых замечательных результатов в этом направлении был получен Ниренбергом в сотрудничестве с Гидасом и Ни: они показали, что каждое положительное решение большого класса нелинейных эллиптических уравнений имеет те же симметрии, что и сами уравнения.Результаты Нэша и Ниренберга нашли широкое применение не только в решении задач, для которых они были разработаны, но стали полезными инструментами и в других контекстах. Наиболее известные из них: интерполяционные неравенства Ниренберга, в том числе неравенства Гальярдо-Ниренберга и неравенство Джона-Ниренберга. Последнее неравенство определяет, насколько функция ограниченных средних колебаний может отклоняться от своей средней величины и выражает неожиданную двойственность пространства ограниченных средних колебаний и пространства Харди H1. Теория регулярности Нэша-Де Джорджи-Мозера и неравенство Нэша (впервые доказанное Стайном) стали основными инструментами в изучении вероятностных полугрупп в различных ситуациях, от Евклидовых пространств до гладких многообразий и метрических пространств. Теорема об обратной функции Нэша-Мозера является мощным методом решения возмущенных нелинейных дифференциальных уравнений различных типов.Хотя мы не можем здесь дать полное описание влияния Нэша и Ниренберга на современный арсенал теории нелинейных дифференциальных уравнений в частных производных, теорию псевдодифференциальных операторов Кона-Ниренберга необходимо все же упомянуть.Будучи оба выдающимися учеными в области анализа дифференциальных уравнений в частных производных, Нэш и Ниренберг влияли друг на друга своими работами и научным общением. Результаты этого плодотворного диалога, который они начали в 1950- х в Курантовском Институте Математических наук, сегодня заметны отчетливее, чем когда-либо прежде.ЗаключениеВ реферате рассмотрена биография Джона Нэша, его вклад в экономическую теорию и в теорию дифференциальных уравнеий в частных производных.Список использованных источниковДжон Нэш. Биография - http://biographera.net/biography.php?id=361Лидеры в истории. Джон Нэш - http://www.gilbo.ru/index.php?page=persons&art=1861Лауреаты Нобелевской премии по экономике: автобиографии, лекции, комментарии. Т. 2. 1983−1996. — СПб. : Наука, 2009. — С. 376−409. — ISBN 978-5-02-025169-4. (Перевод на русский язык автобиографии Джона Нэша и его семинара о теории игр.)Nasar, S. A Beautiful Mind / Sylvia Nasar. — Faber & Faber, 2012. — P. 2. — 464 p. — ISBN 9780571266074.