Практическое применение теории массового обслуживания

Классификация по времени пребывания требования в системе до начала обслуживания:
с отказами (если заказ, поступивший к системе, не может быть обслуженных, он покидает систему. Например, звоня к приятелю, абонент услышал, что его номер занят, то есть, отказано в обслуживании и для дальнейшего разговора необходимо еще раз набрать номер, то есть еще раз подать заказ на обслуживание);
с ожиданием (заказ, поступившего в систему в момент, когда все каналы заняты, становится в очередь и ожидает обслуживания).
Ожидания может быть ограниченным и неограниченным. Ограничиваться ожидания может временем ожидания или длиной очереди.
3. Примеры практического использования теории СМО

3.1. Расчет функциональных характеристик для одноканальной СМО с отказами
Пусть одноканальная СМО с отказами представляет собой один пост ежедневного обслуживания (ЕО) для мойки автомобилей. Автомобиль, прибывший в момент, когда пост занят, получает отказ в обслуживании.
Интенсивность потока автомобилей λ=1 (один автомобиль в час). Средняя продолжительность обслуживания 1,8 ч.. Поток автомобилей и поток обслуживаний являются самыми простыми. Нужно:
1) определить значение относительной пропускной способности q;
2) определить значение абсолютной пропускной способности A;
3) определить значение вероятности отказа Pотк;
4) сравнить фактическую пропускную способность СМО с номинальной, которая была бы, если бы каждый автомобиль обслуживался точно 1,8 часа и автомобили подъезжали бы друг за другом без перерыва [16].
Определим интенсивность потока обслуживания по формуле :



Вычислим относительную пропускную способность. Вычисления можно вести по специальной формуле для одно канальных СМО с отказами:



Значение q означает, что в установившемся режиме система будет обслуживать примерно 35% автомобилей, которые подъезжают к мойке.
Определим абсолютную пропускную способность по формуле:



Это означает, что система способна осуществить в среднем 0,356 обслуживание автомобилей в час.
Вычислим вероятность отказа в обслуживании:



Это означает, что около 65% автомобилей, которые прибудут на мойку, получат отказ в обслуживании.
Определим номинальную пропускную способность системы:





Оказывается, что Aном в 1,5 раза больше, чем фактическая пропускная способность, рассчитанная с учетом случайного характера потока заказов и времени обслуживания.

3.2 Расчет функциональных характеристик для одноканальной СМО с ограниченным местом для ожидания
Специализированный кабинет городской больницы, который проводит полное медицинское обследование, представляет собой одноканальную СМО. Число мест для лиц, ожидающих проведения диагностики, ограничено и равно 3. Если все эти места заняты, то есть, в очереди уже находятся три пациента, то очередное лицо, прибывшее на диагностику, в очередь на обслуживание не становится. Поток пациентов, прибывающих на диагностику, распределен по закону Пуассона и имеет интенсивность 0,85 человек в час. Время диагностики распределено по показательному закону и в среднем равна 1,05 часа.
Нужно определить вероятностные характеристики специализированного кабинета диагностики, который работает в стационарном режиме [17].
Найдем интенсивность обслуживания по формуле:



Вычислим сводную интенсивность обслуживания по формуле:



Рассчитаем предельные вероятности системы по формулам:



Найдем вероятность отказа в обслуживании по формуле:



Вычислим относительную пропускную способность кабинета диагностики по формуле:



Рассчитаем абсолютную пропускную способность кабинета диагностики по формуле:



Вычислим среднее число лиц, находящихся на обслуживании и в очереди (т.е. в системе массового обслуживания) по формуле:



Найдем среднее время пребывания пациента в системе по формуле:



Рассчитаем среднюю продолжительность пребывания заказ в очереди на обслуживание по формуле:



Вычислим среднее число заказов в очереди (длину очереди) по формуле:


Работу рассматриваемого специализированного кабинета диагностики можно считать удовлетворительной, так как обслуживание пациентов не осуществляется в среднем в 15, 8% случаев (Pотк=0,158).

3.3. Расчет функциональных характеристик для многоканальной системы массового обслуживания с отказами
Пусть n-канальная СМО представляет собой супермаркет с тремя (N=3) взаимозаменяемыми кассами для обслуживания покупателей. Поток клиентов, подходящих к кассам, имеет интенсивность λ=1 покупатель в минуту.
Средняя продолжительность обслуживания t=1,8 мин. Поток поступления покупателей в кассы и поток обслуживания этих заказов являются самыми простыми.
Нужно вычислить значения:
вероятности состояний;
вероятности отказа в обслуживании заказа;
относительную пропускную способность супермаркета;
абсолютную пропускную способность супермаркета;
среднее число занятых касс в супермаркете [16].
Определим параметр потока обслуживаний по формуле:



Сводная интенсивность потока заказов по формуле:



Предельные вероятности состояний найдем по формулам Эрланга:



Вероятность отказа в обслуживании покупателя по формуле:



Относительная пропускная способность супермаркета по формуле:



Абсолютная пропускная способность супермаркета по формуле:



Для нахождения среднего количества занятых касс найдем сначала λэф по формуле:



Тогда:



Таким образом, при установившемся режиме работы СМО в среднем будет занято 1,5 кассы из трех - остальные будут простаивать. Работу рассматриваемого супермаркета вряд ли можно считать удовлетворительной, так как он не обслуживает покупателей в среднем в 18% случаев (Р3=0,180). Очевидно, что пропускную способность супермаркета при данных λ и μ можно увеличить только за счет увеличения количества касс.
Заключение.

Моделирование является мощным методом познания действительности. Моделирование явлений и процессов – это метод познания, в процессе которого используется вспомогательный искусственно созданный объект – модель, представленная в виде схем, алгоритмов, математических формул и т.п., которая, будучи аналогичной изучаемому объекту, отображает и воспроизводит в более простом виде свойства, взаимосвязи и отношения между его элементами. Модель в процессе познания позволяет получить новую информацию о самом объекте исследования.
Имитационное моделирование для решения сложных задач целесообразно применять при следующих условиях:
1) отсутствие аналитических методов решения задач;
2) существует полная уверенность в успешном создании имитационной модели, адекватно описывает исследуемую систему, наличие необходимой информации
3) когда при построении имитационной модели ее применяют для предварительного исследования систем, осознание собственных знаний о процессах и режимы функционирования.
В производственных условиях очень часто возникают ситуации, которые можно интерпретировать как потребности в обслуживании. Теория массового обслуживания используется при определении показателей надежности работы оборудования, определении возможности повышения производительности производства и тому подобное. В повседневной жизни к системам массового обслуживания относятся телефонные и автозаправочные станции, обслуживание технологических линий ремонтными бригадами и др.
В системах массового обслуживания есть два потока: выходной поток заказов и поток обслуживания. Если интенсивность обслуживания мала, образуется очередь, которую можно сократить, если использовать несколько каналов обслуживания.
Теория систем массового обслуживания впервые была разработана датским математиком Эрлангом относительно запросов, которые поступали на телефонную станцию. Поэтому основные понятия и определения сохраняются на практике обеспечения телефонной сети.
СМО предназначены для обслуживания потока заказов или требований, поступающих в случайные моменты времени. СМО имеют широкое практическое применение в наше время. С их помощью можно адекватно моделировать банковскую и страховую деятельность, торгово-посреднический бизнес.
Каждая СМО состоит из некоторого количества каналов обслуживания, которыми в зависимости от вида системы, могут быть технологические линии, линии связи, рабочие точки или агрегаты, подъездные пути, ремонтные бригады и тому подобное. Выполнение заказа, поступающего в систему, то есть ее обслуживания, продолжается некоторое случайное время, после чего канал освобождается и готов принять следующий заказ
Использование СМО в практической деятельности субъектов рынка позволит провести более глубокий анализ особенностей функционирования сложных систем и оценить их качество и эффективность с получением конкретных количественных оценок, вскрыть имеющиеся резервы и возможности по оптимизации процессов, экономии ресурсов, снижению рисков в условиях неопределенности внешней и внутренней среды.

Список источников.

Аверченков В.И., Казаков П.В. Эволюционное моделирование и его применение. М.: Флинта, 2011. — 200 с..
Бабина О.И., Мошкович Л.И. Имитационное моделирование процессов планирования на промышленном предприятии. Красноярск: Сиб. федер. ун-т, 2014. – 152 с.
Богданов А.И., Никитина Л.Н., Ильин Ф.В. Математические модели принятия инвестиционных решений в условиях риска. СПб.: СПбГУПТД, 2016. — 105 с.
Бродский Ю.И. Распределенное имитационное моделирование сложных систем. М.: Вычислительный центр им. А.А. Дороницына РАН, 2010. - 156 с.
Войнов К.Н. Имитационное моделирование в теории и на практике. Учеб.-метод. пособие. – СПб.: НИУ ИТМО; ИХиБТ, 2014. – 67 с.
Вороненко Б.А., Крысин А.Г. и др. Введение в математическое моделирование. Учеб.-метод. пособие / Б.А. Вороненко, А.Г. Крысин, В.В. Пеленко, О.А. Цуранов. – СПб.: НИУ ИТМО; ИХиБТ, 2014. – 44 с.
Гвоздева, В.А. Информатика, автоматизированные информационные технологии и системы: Учебник / В.А. Гвоздева. - М.: ИД ФОРУМ, НИЦ ИНФРА-М, 2013. - 544 c.
Гераськин М.И., Гришанов Г.М. Экономико-математическое моделирование современных промышленных комплексов. Самара: Изд-во СамНЦ РАН, 2016. — 194 с.
Елизарова Ю.М., Тихонова Н.А. Создание имитационных моделей в системе GPSS World. Учебное пособие. Омск: Изд-во ОмГТУ, 2011. - 104 с.
Каталевский Д.Ю. Основы имитационного моделирования и системного анализа в управлении. МГУ, 2011. — 314 с.
Костюкова Н.И. Основы математического моделирования. 2-е изд., испр. — М.: Национальный Открытый Университет «ИНТУИТ», 2016. — 220 с.
Курейчик В.В., Курейчик В.М., Родзин С.И. Теория эволюционных вычислений. М.: ФИЗМАТЛИТ, 2012. — 260 с. Королев, А.Л. Компьютерное моделирование / А.Л. Королев. - М.: БИНОМ. ЛЗ, 2013. - 230 c.
Леонова Н.Л. Имитационное моделирование: конспект лекций. Учебное пособие. — СПб.: СПбГТУРП, 2015. — 94 с.
Оленёв Н.Н., Обросова Н.К. Численные методы в математической экономике. М.: РУДН, 2016. — 72 с.
Паничев В.В. Оценка эффективности систем массового обслуживания в среде GPSS World. Оренбург : ОГУ, 2013. — 83 с.
Седов А.В. Моделирование объектов с дискретно-распределенными параметрами. М.: Наука, 2010 - 433 c.
Умнов А.Е. Методы математического моделирования. 5-е изд., испр. и доп. — М.: МФТИ, 2015. — 295 с.
Фоменков С.А., Коробкин Д.М., Камаев В.А. Теоретические основы моделирования систем. Волгоград: ВолгГТУ, 2016. — 160 с.
Элементы СМО, краткая характеристика [Электронный ресурс]. URL: http://www.intuit.ru/studies/courses/643/499/lecture/11353?page=3








27