функции

Точки, в которых f(x) или не существует, называют точками перегиба графика функции y = f(x).Пример5.3 Найти промежутки выпуклости и точки перегиба графика функции .Решение. . – точка перегиба. Пользуясь предыдущей теоремой, получаем, что на промежутке график функции выпуклый вверх, а на промежутке график функции выпуклый вниз.6 Поиск наибольшего и наименьшего значения функции на интервале, теорема ВейштрассаТеорема 1(первая теорема Вейерштрасса). Всякая непрерывная на отрезке[a, b] функция у = f (х)ограничена на этом отрезке.Теорема 2(вторая теорема Вейерштрасса). Всякая непрерывная на отрезке[a, b] функция у = f (х) достигает на нем своих точных верхней и нижней граней.Пусть функция у = f (х) непрерывна на отрезке [a, b]. Как известно, такая функция на этом отрезке достигает наибольшего и наименьшего значений. Эти значения функция может принять либо во внутренней точке отрезка [a, b], либо на границе отрезка. Для нахождения наибольшего и наименьшего значений функции на отрезке [a, b] необходимо: 1)найти критические точки функции в интервале (a, b);2)вычислить значения функции в найденных критических точках;3) вычислить значения функции на концах отрезка, то есть при x= а и х = b;4)из всех вычисленных значений функции выбрать наибольшее и наименьшее.Пример 6.1. Найти наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке [0; 3].Находим критические точки:Эти точки лежат внутри отрезка [0; 3]; y(1) = ‒ 3; y(2) = ‒ 4; y(0) = ‒ 8; y(3) = 1;в точке x = 3 и в точке x = 0.7 Примеры исследования функции с использованием производной функцииСхема исследования функции:1. Исследуем функцию     y=f(x).1.1)     D(y),  I(y); Область определения и область значений.1.2)     четность;1.3)     периодичность;1.4)     точки пересечения с осями;1.5)     точки разрыва, поведение на бесконечности;1.6)     асимптоты.2. Исследуем функцию    .2.1)     промежутки монотонности;2.2)     экстремумы.3. Исследуем функцию    .3.1)     выпуклость, вогнутость графика;3.2)     точки перегиба.4. График. Пример 7.1 Исследовать методами дифференциального исчисления функцию и, используя результаты исследования, построить ее график.Решение: Функция определена при всех значениях аргумента х, кроме х=1, т.е. область определения функции D(y) = (-∞;1)U(1;+∞).Для установления четности или нечетности функции проверим выполнимость равенств для любых х и –х из области определения функции:, следовательно, данная функция является ни четной, ни нечетной, ни периодической.Для нахождения точек пересечения графика функции с осьюОх полагаем у=0; с осью Оу —х=0.х=0; у=-1.у=0, , , , Данная функция является элементарной, поэтому она непрерывна на своей области определения D(у).Найдем односторонние пределы функции в указанных точках:.Т.о., в точкех=1 функция имеет разрыв второго рода и прямаях = 1– вертикальная асимптота графика функции.Найдем наклонные асимптоты у=kx+b, гдеТ.о., наклонная асимптота имеет уравнение у = -х-2. Найдем производную данной функции, х1=0; х2=2.Разобьем числовую ось на 5 интервалов, составим таблицу и определим знак первой производной в каждом интервале.х-∞; 000; 111;222;+∞у'(x)-0+-+0-у(x)убывает-1возрастаетвозрастает-5убываетminmaxНайдем вторую производную:Точек перегиба нет. Составим таблицу, разбив числовую ось на интервалы и определим знак второй производной в каждом из них:х-∞; 112;+∞y''(х)+0-у(х)U∩Рисунок 7.1Пример 7.2Исследовать методами дифференциального исчисления функцию и, используя результаты исследования, построить ее график.Решение: 1.Функция определена при всех значениях аргумента х, кроме х=2, т.е. область определения функции D(y) = (-∞;2))U(2;+∞).2. , следовательно, данная функция является ни четной, ни нечетной, ни периодической.3. Для нахождения точек пересечения графика функции с осьюОх полагаем у=0; с осью Оух=0.х=0; у=0.у=0, Т.е., график функции пересекает систему координат в т. О(0;0).4. Данная функция является элементарной, поэтому она непрерывна на своей области определения D(у).Найдем односторонние пределы функции .Т.о., в точкех=2 функция имеет разрыв второго рода и прямаях = 2 – вертикальная асимптота графика функции.Найдем наклонные асимптоты у=kx+b, гдеТ.о., наклонная асимптота имеет уравнение у = х+4.5. Найдем производную данной функцииНайдем критические точки:х1=0; х2=6Разобьем числовую ось на 5 интервалов, составим таблицу и определим знак первой производной в каждом интервале.х-∞; 000; 222; 666;+∞у'(x)+0+--0+у(x)возрастает0возрастает_убывает13,5возрастаетminПри переходе через точку х = -6 первая производная меняет свой знак с плюса на минус, поэтому в этой точке функция имеет минимум: уmin= у(6)=13,5.Найдем вторую производную:y''=0 при х=0 и y'' – не существует при х=2.Составим таблицу, разбив числовую ось на интервалы и определим знак второй производной в каждом из них:х-∞; 000; 22;+∞y''(х)-0++у(х)∩UUПри переходе через точку х=0 y'' меняет свой знак, поэтому х=0 - абсцисса точки перегиба. Следовательно, С(0;0) – точка перегиба графика функции.График исследуемой функции показан на рис.7.2.Рисунок 7.2Список использованной литературыБаврин, И. И. Высшая математика: учебник по естественно–научным направлениям и специальностям / И. И. Баврин. – Москва: Академия, 2010. – 611 с.Выгодский, М. Я. Справочник по высшей математике / М. Я. Выгодский. – Москва: АСТ: Астрель, 2010. – 703 с.Высшая математика / А. И. Астровский, Е. В. Воронкова, О. П. Степанович: учебно-методический комплекс. – Минск: Издательство МИУ, 2009. – 383 с.Высшая математика: учебник / К. В. Балдин, В. Н. Башлыков, А. В. Рукосуев. – Москва: Флинта: МПСИ, 2010. – 359 с.Высшая математика для экономистов: курс лекций / П. С. Геворкян [и др.]. – Москва: Эконом, 2009. – 351 с.Высшая математика: учебник для студентов высших технических учебных заведений / Г. Л. Луканкин [и др.]. – Москва: Высшая школа, 2009. – 583 с.Краткий курс высшей математики: учебник / К. В. Балдин [и др.]. – Москва: Дашков и Кº, 2012. – 510 с.Кундышева, Е. С. Математика: учебник / Е. С. Кундышева. – Москва: Дашков и Кº, 2011. – 561 с.Малыхин, В. И. Высшая математика: учебное пособие / В. И. Малыхин. – Москва: Инфра-М, 2010. – 363 с.