Прикладные аспекты дифференциальное исчисления функции одного переменного

Задача 2.Требуется доказать неравенство: [5]Решение:, пусть Неравенство , при любыхx верно. Значит неравенство верно. Рассмотрим следующую теорему: Пусть функцияy=f(x) непрерывна напромежутке (a,b) и дана точка с из (a,b), что на(a, c) и на(c, b). Тогда при любом хЄ(a, b)справедливо неравенство причем равенство имеет место лишь приx=c.[2]Задача 3. Требуется проверить, справедливо ли следующее неравенство:при всех действительных значениях х.[4]Решение:Найдем производную функции и определим промежутки монотонности функции.Получаем:Видно, что на и на Следовательно, в силу теоремы, т.е. неравенство справедливо, причем равенство имеет место лишь при .4.2. Производнаяи доказательство тождествДоказательства тождества можно достигнуть иногда, если воспользоваться одним очевидным замечанием: если на некотором интервале функция тождественно равна постоянной, то ее производная на этом интервале постоянно равна нулю:Задача 1. Доказать или опровергнуть тождество:[5]Решение:Рассмотрим функцию вида:Далее вычислим ее производную (по х):Так как. Следовательно, , что равносильно исходному тождеству.4.3. Производнаяи упрощение алгебраических и тригонометрических выраженийПрием использования производной для преобразования алгебраических и тригонометрических выражений основан на том, производная иногда имеет значительно более простой вид, чем исходная функция, благодаря чему, она легко интегрируется, что и позволяет найти искомое преобразование исходного выражения:Задача 1.Упростить выражение:[5]Обозначив данное выражение f(a), будем иметь:Таким образом, заданное выражение равно . 4.4.Производнаяи разложение выражения на множителиЗадача 1. Требуется разложить на множители выражение: [6]Решение: Пусть x- переменная, аyи z- постоянные (параметры), обозначим заданное выражение через f(x), будем иметь:Поэтому, где - постоянная, т.е. в данном случае - выражение, зависящее от параметровyи z. Для нахожденияс в равенствах положим x=0 тогда4.5. Производной и вопросы существования корней уравненийС помощью производной можно определить, сколько корней имеет уравнение. Основную роль здесь играют исследование функций на монотонность, нахождение её экстремальных значений. Кроме того, используется свойство монотонных функций:если функцияf возрастает или убывает на некотором промежутке, то на этом промежутке уравнениеf(x)=0 имеет не более одного корня.Задача 1.Требуется найти решение уравнения [6]Решение: Область определения данного уравнения – промежутокПоложим Тогда, Таким образом, функцияf- возрастающая, так что данное уравнение не может иметь более одного решения.ЗаключениеРассмотренные методы дифференциального исчисленияоткрывают новый подход к многим преобразованиям в математике, которые стандартным путём трудно разрешимы или разрешимы, но громоздкими способами. Рассмотренные подходы нестандартного характера являются новыми и необыкновенными, что позволяет расширить кругозор учащихся и повыситьих интерес к изучению производной.В результате проведенного исследования вдном реферате можно сделать следующие выводы: геометрический смысл производной: производная функции в точке x0 равна угловому коэффициенту касательной к графику функции, проведенной в точке с абсциссой x0;физический смысл производной: производная функции y = f(x) в точке x0 - это скорость изменения функции f (х) в точке x0;экономический смысл производной: производная выступает как интенсивность изменения некоторого экономического объекта (процесса) по времени или относительно другого исследуемого фактора;производная находит широкое приложение в физике для нахождения скорости и ускорения, для нахождения наибольших и наименьших величин;производная является важнейшим инструментом экономического анализа, который позволяет углубить геометрический и математический смысл экономических понятий, а также выразить ряд экономических законов с помощью математических формул;наиболее актуально использование производной в предельном анализе, то есть при исследовании предельных величин (предельные издержки, предельная выручка, предельная производительность труда или других факторов производства и т. д.); производная применяетсяв экономической теории, именно многие, в том числе базовые, законы теории производства и потребления, спроса и предложения оказываются прямыми следствиями математических теорем;знание производной позволяет решать многочисленные задачи по экономической теории, физике, алгебре и геометрии.В ходе написания работы были использованы такие ключевые понятия дифференциального исчисления как производная, геометрический и физический смысл производной, касательная к графику функции и многое другое, которые используются для решения прикладных задач в математике, физике, экономике.Таким образом, поставленные цель и задачи достигнуты в полном объеме.ЛитератураБаврин И.И. Основы высшей математики. - М.: Высшая школа, 2013.Башмаков М.И. Математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия. – М.: Издательский центр «Академия», 2016Богомолов Н.В., Самойленко И.И. Математика. - М.: Юрайт, 2015.Богомолов Н.В. Практические занятия по математике. - М.: Высшая школа, 2013.Богомолов Н.В. Сборник задач по математике. - М.: Дрофа, 2013.Виноградов Ю.Н., Гомола А.И., Потапов В.И., Соколова Е.В. Применение производной в различных областях науки– М.:Издательский центр «Академия», 2010Григорьев В.П., Дубинский Ю.А, Элементы высшей математики. - М.: Академия, 2014.Рыбников К.А. История математики, «Издательство Московского университета», М, 1960.Ресурсы сети Интернет:https://ru.wikipedia.org/wikihttp://dic.academic.ru/http://urokmatem.ruwww:egetutor.rumatematika-na5.norod.ru