Основы математического моделирования экономических систем

Таблица №6.1


Как нужно действовать фермеру, чтобы получить максимальную прибыль? Решить графоаналитическим методом.

Решение
В терминах матричной игры задачу можно оформить в виде следующей таблицы:

Таблица №6.2
Игроки B1 B2 B3 B4 B5 B6 А1 133 132 100 33 200 233 А2 125 150 200 250 75 100 А3 80 80 60 20 120 140
Первый игрок A (фермер) выбирает свою стратегию так, чтобы получить максимальный выигрыш, а второй игрок B (погодные условия) выбирает свою стратегию так, чтобы минимизировать выигрыш игрока A.
Таблица №6.3
Игроки B1 B2 B3 B4 B5 B6 a = min(Ai) А1 133 132 100 33 200 233 33 А2 125 150 200 250 75 100 75 А3 80 80 60 20 120 140 20 b = max(Bi) 133 150 200 250 200 233  

Согласно табл.№6.3 нижняя цена игры
a = max(ai) = 75
и верхняя цена игры
b = min(bj) = 133
Цена игры , таким образом, лежит в пределах

Найдем решение рассматриваемой матричной игры в смешанных стратегиях:
,
где – вероятность принятия первым игроком стратегии , – вероятность принятия вторым игроком стратегии . Нас интересует только первый игрок (фермер). Отметим, что

Прежде всего проверим платежную матрицу в табл.№6.2 на доминирующие строки и столбцы. Стратегия A1 доминирует над стратегией A3 (все элементы строчки 1 больше или равны значениям 3-й строчки), следовательно, исключаем 3-ю строчку матрицы. Вероятность p3 = 0.

Игроки B1 B2 B3 B4 B5 B6 А1 133 132 100 33 200 233 А2 125 150 200 250 75 100 А3 80 80 60 20 120 140 
С позиции проигрышей игрока В стратегия B5 доминирует над стратегией B6 (все элементы столбца 5 меньше элементов столбца 6), следовательно, исключаем 6-й столбец матрицы. Вероятность q6 = 0.

Игроки B1 B2 B3 B4 B5 B6 А1 133 132 100 33 200 233 А2 125 150 200 250 75 100 А3 80 80 60 20 120 140
Итак, исходная игра сведена к игре :

Игроки B1 B2 B3 B4 B5 А1 133 132 100 33 200 А2 125 150 200 250 75
Решим задачу геометрическим методом, который включает в себя следующие этапы:
1. В декартовой системе координат по оси абсцисс откладывается отрезок, длина которого равна 1. Левый конец отрезка (точка х = 0) соответствует стратегии A1, правый – стратегии A2 (x = 1). Промежуточные точки х соответствуют вероятностям некоторых смешанных стратегий S1 = (p1,p2).
2. На левой оси ординат откладываются выигрыши стратегии A1. На линии, параллельной оси ординат, из точки 1 откладываются выигрыши стратегии A2.
Решение игры () проводим с позиции игрока A, придерживающегося макси-минной стратегии. Доминирующих и дублирующих стратегий ни у одного из игроков нет.
Выделяем нижнюю границу выигрыша B1NB4. Макси-минной оптимальной стратегии игрока A соответствует точка N, лежащая на пересечении прямых B1B1 и B4B4, для которых можно записать следующую систему уравнений:


Рис.6.1

y = 133 + (125 - 133)p2y = 33 + (250 - 33)p2
откуда
, 
т.е.
(6.1)
Цена игры:



Заключение
В настоящей курсовой работе на примере решения нескольких задач были рассмотрены наиболее важные с практической точки зрения разделы такой дисциплины, как «Основы математического моделирования экономических систем». А именно: (1) балансовый анализ межотраслевой экономики в рамках модели Леонтьева, (2) задача линейного программирования низкой размерности (два), (3) задача линейного программирования высокой размерности (четыре), (4) транспортная задача, (5) задача сведения матричной игры к задаче линейного программирования, (6) задача теории игр.




















Литература
1. Бездудный Ф.Ф., Павлов А.П. Математические методы и модели в планировании текстильной и легкой промышленности: Учебник для вузов. – М.: Легкая индустрия, 1979.
2. Бережная Е.В., Бережной В.И. Математические методы моделирования экономических систем: Учебное пособие. – М.: Финансы и статистика, 2006.
3. Васильков Ю.В., Василькова И.Н. Компьютерные технологии в математическом моделировании: Учебное пособие для вузов. – М.: Финансы и статистика, 2006.
4. Ашманов С.А. Математические модели и методы в экономике. – М.: Наука, 1979.
5. Багриновский К.А., Матюшок В.М. Экономико-математические методы и модели. – М.: ИРУНД, 1999.
6. Замков О.О., Толстопятенко А.В. Математические методы в экономике. – М.: ДИС, 1997.
7. Колемаев В.К. Математическая экономика. – М.: ЮНИТИ, 1998.
8. Кулинич Е.И. Эконометрия. – М.: Финансы и статистика, 1999.
9. Федосеев В.В. Экономико-математические методы и модели в маркетинге. – М.: ЮНИТИ, 2001.
10. Бережная Е.В., Бережной В.И. Математические методы моделирования экономических систем. – М.: Финансы и статистика, 2001.
11. Жданов С.А. Математические модели и методы в управлении. – М.: Дело и Сервис, 1998.
12. Иванов Ю.П., Лотов А.В. Математические модели в экономике. – М.: Наука, 1979.
13. Солодовников А.С. Математика в экономике. – М.: Финансы и статистика, 1999.












9