Классический метод сеток

Графически это можно представить так: Рис. 3.1. Схема узлов сетки с учетом замены бигармонического уравнения конечными разностями.Глава 4Моделирование МТ-поля в двумерной среде методом конечных разностейДанный тип моделирования широко распространен и, поэтому, будет рассмотрен подробнее.Как было указано выше, необходимо представить непрерывную область дискретной. В данном случае, в качестве последней используется аномальное пространство , в котором некоторым образом распределена электропроводность, и три нормальных (электропроводность постоянна только в горизонтальных). Область контактирует с непроводящей атмосферой ( и ). Для данной задачи, а именно расчет значений продольного и поперечного импедансов на поверхности , с учетом, , следует отметить возбуждение плоской E-поляризованной или H-поляризованной электромагнитной волной, которая попадает на . Будет рассмотрено решение для E-случая. (Для H-волны решение будет схожим)В первую очередь, следует поставить краевую задачу, то есть поставить граничные условия. Для этого можно воспользоваться формулой (4.1). (4.1)Для данной задачи в качестве граничных условий берутся значения устанавливаемой функции. Также можно задавать граничные условия, но они более сложные по виду, исходя из интегральных свойств, то есть учет особенностей электромагнитного поля с аномалиями и асимптотические – учет асимптотики аномального поля далеко от неоднородных участков. Самым эффективным методом задания боковых условий служит использование как одних, так и других методов.Конечно-разностная аппроксимацияДля аппроксимации уравнения (4.1) наложена сетка (рис. 4.2).Рис. 4.2. Сетки, используемые при конечно-разностной аппроксимацииДля данной задачи требуется добавления побочной сетки:После некоторых преобразований получено уравнение 3.3, решение которого будет дано ниже., (4.3)Данное уравнение представляет собой систему линейных уравнений, которую можно решить матричным методом.Если внимательно взглянуть на сетку и уравнение и записать это уравнение для всех узлов, то получится система из разностных уравнений, которую выглядит так в матричном виде:,где - столбец значений электрического поля, которые неизвестны и распределены поглавной сетке , - матрица коэффициентов системы, - столбец свободных членов.Чтобы решить систему, можно применить либо прямые, либо итерационные методы. В результате прямых методов должно быть получено точное решение за некую последовательность действий, а в результате итерационных - методичное уточнение аппроксимированного решения. Логично, что прямые являются более надежными, но они требует большого объема вычислительных ресурсов, чего не скажешь о вторых. Поэтому востребованы как одни, так и другие. Заключительным вычислительным этапом является расчет импеданса по формуле.Более подробное описание, а также касательно точности моделирования, указано в [6].На этом применение МКР не заканчивается, существует огромное количество литературы, примером которой могут являться [7,8].ЗаключениеГеология, как и любая другая наука требовательна к четкому выполнению последовательных действий, алгоритмов, шагов и, помимо этого, к чуткому пониманию сложности структур, особенностей геологических объектов, процессов. В данном случае проводилось изучение сеточного метода, его основ и применения, ниже представлены тезисы, полученные в результате проделанной работы.Суть МКЭ заключается в аппроксимации объектов математической физики в дискретную форму, что позволяет найти их решение и наглядно представить.Задействовать МКЭ – значит, в основном, представить исследуемое пространство, а вместе с ним и рельеф – в виде набора стандартных форм геометрии. МКЭ отличается от МКР тем, что в нем не задействуется сеточное разбиение, так как происходит процедурная разбивка на отдельные составляющие, то есть элементы. Исходя из этого, можно сказать, что МКР – частный случай МКЭ. МКР обладает разнообразными приемами для решения геологических задач. Эти приемы выбираются исходя из выбранных задач, затрат требуемых ресурсов и задаваемой точности.Таким образом, исследователь, занимающийся математическим моделированием, должен понимать физику процессов, владеть математическим аппаратом и обладать навыком это все перенести на ЭВМ, без которой невозможно само математическое моделирование.Список литературы1. Даугавет И.К. Теория приближенных методов. Линейные уравнения. СПб., 2006.2. Мудров А. Е. Численные методы для ПЭВМ на языках Бейсик, Фортран и Паскаль. - Томск: МП "РАСКО", 1991. - с. 145.3.Демидович Б.П. и Марон И.А. Основы вычислительной математики. - М.,Изд. Москва, 1966. – с.589.4. Фаддеев Д.К., Фаддеева В.Н. Вычислительные методы линейной алгебры. СПб., 2002. – с. 204-256.5. Плавник А.Г., Сидоров А.Н., Шутов М.С. Задача построения карт с точки зрения метода конечных элементов. //«Вестник недропользователя Ханты-Мансийского автономного округа». № 12. 2002.6. Практикум по электроразведке. Моделирование МТ-поля в двумерной среде методом конечных разностей. / Под ред. МГУ им. М.В. Ломоносова.7. Ярошевский А.А. Применение математики в геохимии: некоторые типы и задач и методы решения. // Соровский образовательный журнал. №7. 1996.8. Михайлов И.В.Глинских В.Н.Никитенко М.Н.Суродина И.В.Двумерная инверсия данных электромагнитного каротажа на основе метода конечных разностей и нелинейной минимизации. // Интерэкспо ГЕО-Сибирь-2015. XI Междунар. науч. конгр. (г. Новосибирск, 13-25 апреля 2015 г.): Междунар. науч. конф. "Недропользование. Горное дело. Направления и технологии поиска, разведки и разработки месторождений полезных ископаемых. Геоэкология" Т.2. 2015. С. 156-160