Экстремальные задачи с экономическим уклоном

е.Если  то говорят, что спрос эластичен; если  то не эластичен; если же то спрос нейтрален.Перекрестная эластичность спроса по цене характеризует относительное изменение величины спроса на один товар или услуги при изменении цены на другие, замещающие или дополняющие на один процент.Положительный знак свидетельствует о замещаемости, а отрицательный – о дополняемости.Эластичность спроса q относительно дохода rПусть  – закон зависимости спроса от дохода. Тогда есть эластичность спроса относительно дохода, она показывает как изменится спрос на данный товар, если доход изменится на 1%.Аналогично можно определить эластичность предложения s относительно цены р или дохода r:Ценовая эластичность ресурсовХарактеризует относительное изменение величины спроса на какой-либо ресурс (например, труд) при изменении цены этого ресурса (зарплаты) на один процент.Эластичность замещения одного ресурса другимХарактеризует необходимое изменение величины одного ресурса, например, капиталапри изменении количества другого ресурса -труда на один процент с тем, чтобы выпуск при этом не сократился.Задача12: Функция спроса:Функция предложения: S = p + 0,5. Здесьр(руб) – цена товара, q(шт.) – количество покупаемого товара; S(шт.) – количество предлагаемого на продажу товара в единицах времени.Найти: а) равновесную цену: q= S; б) эластичность спроса и предложения для этой цены.Решение: а)  p = 2 руб.б)Следовательно изменение цены не приведет к резкому изменению спроса и предложения. При увеличении цены р на 1% спрос уменьшится на 0,3%, а предложение увеличится на 0,8%.Задача13: Функция спроса y от цены х продукта имеет вид. Найти коэффициент эластичности спроса при цене товараx=2  единицы.Решение. Коэффициент эластичности спроса равенПри x=2   получаемт.е. при повышении цены на 1% спрос на товар уменьшится на 0,25%. Так как , то спрос при цене x=2  единицы не эластичен.Задача № 14Джон производит джин и продает его днем в своем баре по цене 28 центов за кружку. Функция издержек Джона на производство джина задается уравнением TC(Q) = Q2,где Q— произведенное количество джина в количестве кружек. А ночью Джон вместе со своим приятелем Вайсемотдыхает и потребляет часть произведенного им чистого джина. Джон старается оставить на ночь как можно больше джина, поскольку за прибылью он не гонится, а деньги ему нужны только для оплаты факторов производства.В отличие от Джона,Вайс не любит чистый джин и готовит себе коктейль, тратя на ингредиенты для его приготовления 220центов.Коктейль готовится в пропорции: половина кружки- джин; треть кружки ром.Вайс покупает джин в лавке Джона, а ром — в другой лавке по 18 центов на кружку.Сколько рома и сколько джина потребляют на двоих за ночь Джон и Вайс?Решение:Пусть q1— количество джина, которое Джим производит для себя, а q2— для продажи на рынок. Тогда Q= q1+ q2,TC= (q1 + q1)2.Поскольку выручку он получает только от тех единиц продукции, которые проданы на рынок, TR= 28q2. Так как всю прибыль он тратит на производство для себя, выполняется равенство: 28q2-(q1+ q2)2= 0. При этом условии Джон максимизирует величину q1:28q2=(q1+ q2)2Джон выпивает за вечер 7 кружек джина.Вайс потребляет ром (R) и джин (G) в пропорции:Поскольку его бюджетное ограничение имеет вид 28G+ 18R= 220, 28G+ 12G= 220, решая систему, получаем G= 5,5, R= 11/3;Вайс выпивает за вечер 5,5 кружки джина и 11/3 кружки рома.Вместе выпивают 12,5 кружок джина и 11/3 кружок рома.Задача №15Владелец контрольного пакета акций ЗАО, являющегося монополистом на рынке продукции, ежеквартально проверяет, как идут дела в его фирме. Из последнего отчета, составленного главным менеджером фирмы, акционер узнал, что общие издержки производства продукции за последний квартал составили 134 тыс. руб., а прибыль несколько снизилась по сравнению с предыдущим кварталом и составила 66 тыс. руб.Владелец контрольного пакета акций, получивший отличное экономическое образование и знавший квартальную функцию издержек фирмыTC= Q2+ 3Q+ 4 (в тыс. руб), наоборот, ждал роста прибыли и потому стал сомневаться в правильности предоставленного ему отчета.После обстоятельной проверки выяснилось, что менеджер правильно отчитался об издержках фирмы в точке оптимума, но несколько занизил уровень прибыли, которая в действительности повысилась. Позднее выяснилось, скрытая часть прибыли была потрачена менеджером на собственные нужды.Какая часть прибыли потрачена менеджером на собственные нужды?Решение:Необходимо оценить минимальный размер прибыли, которую в оптимуме могла получить компания.Найдем сначала оптимальный выпуск фирмы:TC(Q*) = (Q*)2+ 3Q* + 4 = 134(Q*)2+ 3Q* - 130 = 0Q* = 10.Поскольку фирма является монополистом, то в оптимуме P>MC. MC(Q) = 2Q+ 3MC(Q) = TC´=2Q+3 =23P>MC(10) ;π= P∙Q- TC(Q) = 10P- 134 > 10 ∙ 23 - 134 = 96.Таким образом, в оптимуме фирма не могла получить прибыль, меньшую, чем 96 тыс. руб. Значит, менеджер на собственные нуждыпотратил 96 - 66 = 30 тыс. руб.Задача №16Известно, что спрос на журнал линейно убывает с ростом цены. При текущей цене 15 руб. распространяется 6000 экземпляров. Найти функцию спроса, если известно, что текущая эластичность равна –0,5. Определить, при какой цене издатель получит максимальную выручку. Решение:Определим, как изменится объем продаж, еслицена доупадет нуля, или на 100%:В результате получим, что объем продаж должен вырасти на (–0,5)×(–100%) = 50% и достичь 9000 экземпляров. Функция спроса имеет вид qD=9000-bp. Подставив в нее p=15и q=6000, получим, чтоb=200, qD =9000−200p. Максимизируем выручку, равную произведению цены и объема продаж: TR = pq =p∙(9000−200p)max. Найдем производную функции TR'=9000-400pПриравняв производную к нулю9000-400p=0найдем, что максимальная выручка будет при цене p=9000/400 = 22,5 руб.ВыводыЕсли имеется достаточно общий метод решения задач, приводящий к нахождению экстремумов функции одной переменной величины, то зачем рассматривать частные приёмы? На поставленный вопрос можно ответить словами Якоба Штейнера. Он говорил о двух методах решения таких задач: о синтетическом с применением частных приёмови с помощью производной и дифференциального исчисления. Надо знать и пользоваться как распространёнными частными приёмами, так и общими. Все задачи очень индивидуальны. Для одних из них применение общего метода может оказаться громоздким, в то время как частными приёмами эти задачи могут быть решены удивительно просто и красиво. Для других, наоборот, общий приём может оказатьсяочень удобным.Литература Нагибин Ф. Ф. Экстремумы. – М.: Просвещение, 1966. – 119с.Мордкович А. Г. Алгебра и начала анализа. 10-11 кл.: Методическое пособие для учителя. – М.: Мнемозина, 2000. – 144с.: ил.Решение прикладных задач по теме «Наибольшее и наименьшее значения функции»// Математика.- 2007.- №7.- С.11Экстремальные задачи по геометрии. — М.: Чистые пруды, 2007. — 32 с.: ил. Пискунов Н.С. Дифференциальное и интегральное исчисление для втузов. Т.1,2 М.:Наука, 1985г.Кремер Н.Ш. Высшая математика для экономистов: Учебник для вузов. – М.: ЮНИТИ, 2003. – 471 с.Кремер Н.Ш. Практикум по высшей математике для экономистов: Учебное пособие для вузов. – М.: ЮНИТИ-ДАНА, 2004. – 423 с.