Задачи по методам оптимизации

Задача 3. Выбор оптимального ассортимента продукции
Производственная фирма может выпускать любые из четырех видов продукции. Технологии их выпуска, цены реализации продукции в предстоящем временном периоде представлены в следующей таблице.
  Прод. 1 Прод. 2 Прод. 3 Прод. 4 Объем ресурса Сырье, кг a11 a12 a13 a14 b1 Труд, чел.-час a21 a22 a23 a24 b2 Цена, руб. c1 c2 c3 c4 - Учитывая собственные запасы и поставки смежников, фирма предполагает иметь в предстоящем периоде сырье в обьеме
Трудовые ресурсы фирмы будут составлять b2 чел. час.
Требуется:
1. Составить математическую модель расчета оптимального ассортимента на данный временной период, обеспечивающего максимум выручки после реализации выпущенной продукции.
2. Записать двойственную задачу и определить оптимальные двойственные оценки графическим способом.
3. Используя условия "дополняющей нежесткости", найти оптимальный ассортимент выпуска продукции.
4. Найти диапазон изменения трудовых ресурсов, при котором найденный ассортиментный набор продуктов сохраняется (т.е. безубыточные виды продукции остаются безубыточными, а убыточные - убыточными). Дать пояснения.
5. Установить насколько изменится выручка фирмы при:
а) сокращении трудовых ресурсов на d1 чел.-час.;
б) росте трудовых ресурсов на d2 чел.-час.
Дать пояснения.
a11= a12= a13= a14= a21= a22= a23= a24= c1= c2= c3= c4= b1= b2= d1= d2= 5 6 10 13 14 12 6 5 680 780 600 576 396 456 72 112 Решение
Обозначим xi – количество произведенной продукции i-го типа.
Тогда целевая функция записывается в виде:

При ограничениях:
По сырью:

По труду:

Неизвестные xi должны быть целыми и неотрицательными.
Напишем задачу, двойственную данной:


Решим задачу графическим способом:

Рисунок 4 – Графический способ решения задачи
Черная линия - линия градиента целевой функции. Получили, что точка пересечения находится в месте пересечения ограничений:

Решаем систему:

Получаем значение целевой функции равно 396*30+456*50=34680
Используя условия "дополняющей нежесткости", найдем оптимальный ассортимент выпуска продукции.



Решаем систему:

Получаем, что надо производить продукт 2 в количестве 26 ед., продукт 3 в количестве 24 единицы.
Произведем анализ изменения диапазонов ресурсов, в которых оптимальным ассортиментным планом останутся продукты 2 и 3. Фактически это означает, что будет выбрана другая целевая точка в графическом решении задачи. При этом условие перехода в другую точку - это то, что линия градиент будет параллельна зеленой линии для одного ресурса и синей линии для другого ресурса. Решим эти задачи:
- ограничение синей линии
Коэффициент для линии градиента равен 12/6=2
Тогда для того, чтобы линия градиента была параллельна синей линии, надо, чтобы у нее были коэффициенты 396 и 396*2=792
Тогда для того, чтобы линия градиента была параллельна синей линии, надо, чтобы у нее были коэффициенты 456/2=228 и 456
- ограничение зеленой линии
Коэффициент для линии градиента равен 10/6=1,667
Тогда для того, чтобы линия градиента была параллельна зеленой линии, надо, чтобы у нее были коэффициенты 396 и 396/10*6=237,6, округлим до 238.
Тогда для того, чтобы линия градиента была параллельна зеленой линии, надо, чтобы у нее были коэффициенты 456*10/6=760 и 456.
Получаем, что ограничение по ресурсу труд будем изменяться в интервале от 238 до 792 чел. часов для сохранения исходного ассортимента.
Получаем, что ограничение по ресурсу сырье будем изменяться в интервале от 228 до 760 кг. для сохранения исходного ассортимента.
Сокращаем трудовые ресурсы на 72 чел. часа, получаем, что целевая функция уменьшится на 72*y2=72*50=3600 руб.
Увеличиваем трудовые ресурсы на 112 чел. часа, получаем, что целевая функция увеличится на 112*y2=112*50=5600 руб.



Заключение
Задачи линейного программирования - распределительная задачи исследования операций, связанных с распределением ресурсов по работам, которые необходимо выполнить, с целью минимизации общих затрат на выполнение комплекса работ либо максимизации общего дохода, ожидаемого от выполнения этих работ.
В результате проделанной работы были получены практические навыки в решении задач экономико-математического моделирования. Была решены задача оптимального распределения ресурсов и задача построение оптимального плана производства. Также была решена задача на чувствительность ресурсов, задача динамического распределения ресурсов.
Полученные навыки, безусловно, помогут в дальнейшем при решении более сложных задач математического моделирования и задач принятия управленческих решений.




Литература
Бурков В.Н. Основы математической теории систем. – М., 2005. –212 c.
Волкова В.Н. Емельянова А.А. Теория систем : Учебник – М.: Финансы и статистика, 2006, 848 c.
Турунтаев Л.П. Системный анализ : Учебное пособие. Томск. ТМЦДО 2004. – 128 c.
Турунтаев Л.П. Терия принятия решений : Учебное пособие. Томск. ТМЦДО 2005. – 192 c.
Федоренко Н.П. Методы прогнозирования – М., 2006. – 278 c.














9