Диагностические фильтры для линейных дискретных динамических систем.

Условная плотность вероятностей p(yn+1|xn+1) по определению является функцией правдоподобия (ФП) и характеризует статистические процессы передачи информации по каналу связи. После подстановки (2.4) в выражение (2.3), а затем – в (2.2), интегрирование обеих частей этого выражения по x1,...,xn−1 получим

(2.5)

Представим соответствующие апостериорные вероятности в виде
(2.6)
(2.7)
Обозначим а отношение апостериорных вероятностей в момент времени tn


Из равенства следует
(2.8)
(2.9)
После подстановки (2.9) и (2.8) в (2.7) и (2.6), а затем в (2.5) и последующего интегрирования по xn, с учетом фильтрующих войств дельта-функции δ(xn) получим



(2.10)

где - апостериорная (условная) плотность вероятностей (АПВ) в момент времени tn, описывает поведение условного марковского процесса.
Учитывая, что отношение апостериорных вероятностей в момент времени tn+1


на основании выражения (2.10) получаем рекуррентный алгоритм отношения апостериорных вероятностей

Где
(2.11)

- экстраполированная плотность вероятностей в момент времени tn+1. Так как отношения правдоподобия (ОП) и апостериорных вероятностей связаны между собой соотношением приходим к рекуррентному алгоритму ОП


(2.11)

Для получения рекуррентного алгоритма фильтрации воспользуемся соотношением для условных плотностей вероятностей

(2.12)

Входящая в уравнение (2.11) экстраполированная плотность
вероятностей (xn+1) для момента времени tn+1 зависит от значения АПВ wn(xn), взятого на предыдущем моменте времени tn.
Нормировочная постоянная не зависит от состояния xn+1. Значение ОП и АПВ на первом шаге обнаружения и фильтрации зависят от начальных условий


Полученные рекуррентные алгоритмы позволяют поэтапно шаг за шагом формировать, начиная с априорных данных (начальных условий), оценки марковского процесса xn и статистики оптимального обнаружения lnΛn. При этом, если алгоритм оценивания оптимальный фильтрации (2.12) можно применять независимо от алгоритма оптимального обнаружения (2.10), то последний невозможно использовать без алгоритма (2.12). Таким образом, система, реализующая рекуррентные алгоритмы (2.10) и (2.12) в принципе решают задачу совместного обнаружения и фильтрации случайных процессов. Суть метода решения этой задачи заключается в разбиении области возможных значений оцениваемого сигнала xn на действительной оси на некоторое количество интервалов или каналов, вычисления значений АПВ для каждого из них и выбора такого канала (и соответственно значения xn), в котором АПВ имеет максимальное значение. Реализация этой процедуры для задаваемых в обобщенном виде наблюдаемого сигнала (2.1) и функции правдоподобия p(yn|xn) вызывает значительные трудности. В дальнейшем при конкретизации измерительной процедуры, уточнении функциональных зависимостей входящих в наблюдаемый процесс сигналов и помех и их статистических характеристик удается сложную задачу свести к ряду более простых задач. В частности, если сигналы и помехи можно аппроксимировать гауссовскими распределениями, наблюдаемый процесс и оцениваемый сигнал связаны линейной зависимостью, а помеха входит в уравнение наблюдения аддитивно, то можно достаточно просто получить точные решения задач обнаружения и фильтрации.
Обратим внимание на то, что, во-первых, наблюдаемый сигнал в рекуррентные выражения входит через ФП p(yn|xn). При конкретизации задач синтеза задание типа ФП определяется измерительной процедурой, которая в свою очередь, задается уравнением наблюдения. Во-вторых, ввиду того, что вероятность правильного обнаружения меньше единицы возникает возможность получать так называемые псевдооценки в отсутствие полезного сигнала.
Структурная схема оптимальной системы совместного обнаружения и фильтрации, описываемая алгоритмами (2.11) и (2.12), представлена на рис. 2.1.



Рисунок 4.1 – Структурная схема системы фильтрации

В связи с рекуррентным характером этих алгоритмов ряд блоков схемы охвачен обратной связью с задержкой на интервал дискретизации (БЗ). Устройство включения (УВ) в конечный момент времени tn определяемый алгоритмом обнаружения, пропускает вычисленную в блоке формирования отношения правдоподобия (БФОП) статистику lnΛm на пороговое устройство (ПУ). В нем в результате сравнения lnΛm с порогом в соответствии с алгоритмом выносится решение о наличии или отсутствии полезного сигнала. Величина порога зависит от типа оптимального обнаружителя. После превышения порога в ПУ (решение γ1) с выхода ключевого устройства (КУ) поступает из блока фильтрации (БФ) оценка (если γ1 верно) или псевдооценка (если γ1 ложно).





















ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Для осуществления автоматического управления техническим процессом создается система, состоящая из управляемого объекта и связанного с ним управляющего устройства.
В работе были детально проанализированы вопросы, связанные с формализацией понятия линейных динамических систем, их математического представления, рассмотрены вопросы построения возможности построения алгоритмов диагностической фильтрации, приведен алгоритм фильтрации, основанный на рекуррентных соотношениях




















ЛИТЕРАТУРА

1. Тихонов В.И. Статистическая радиотехника. М.: Сов.радио, 1976.
2. Колмогоров А.И. Интерполирование и экстраполирование стационарных случайных последовательностей. // Изв.АН СССР. Сер.мат.Т5, № 1, 1941.
3. Wiener N. The Extrapolation, Interpolation and Smoothing of Stationary Tume Series. Yohn. Wiley and Sons. Inc. New York, 1949.
4. Kalman R.E., Busy R. New Results in Limar Filtering and Prediction Theory.// ASMEY. Basic Eng, V83,-1961.
5. Стратонович Р.Л. К теории оптимальной нелинейной фильтрации // Теория вероятностей и ее применение. 2, 1959.
















5