Решение задачи малых поперечных колебаний неоднородной прямоугольной мембраны

Kaк было показано в публикации [4, 5], плоско-пространственная задача МКЭ в теории упругости эквивалентна задаче антиплоского сдвига или антиплоской деформации, удовлетворяющей дифференциальному уравнению в частных производных:

(4.11)

где – функция прогибов, – объёмная сила и – модуль сдвига.
С другой стороны, как известно [2], дифференциальное уравнение прогибов мембраны записывается в виде:

(4.12)

где – давление на единицу площади мембраны, а – растягивающее усилие, приходящееся в каждом сечении мембраны на единицу его длины.
Нетрудно заметить, что между дифференциальными уравнениями (4.11) и (4.12) устанавливается аналогия на основе следующих тождеств [4]:



Следовательно, при отсутствии массовых сил, т.е. при , обе вышеотмеченные задачи совпадают, поскольку они обе удовлетворяют следующему гармоническому дифференциальному уравнению:



или, в лаконичной форме записи,

(4.13)
Поперечные колебания неоднородной прямоугольной мембраны

Пусть имеется неоднородная прямоугольная мембрана, четверти которой состоят из четырых разных материалов: I, II, III и IV (рис. 3). Путем надлежащего разбиения прямоугольной области мембраны на треугольные конечные элементы можно добиться представления матричного уравнения (4.10) в виде:

(5.1)

Для плоско-пространственной задачи матрица масс треугольного конечного элемента определяется по формуле [5]:

(5.2)

где – площадь конечного элемента, – плотность, а – его толщина.


Рис. 3

Принимая во внимание выражение для матрицы масс конечного элемента (5.2), представляется возможным переформулировать уравнение свободных колебаний однородной прямоугольной мембраны (2.2) в дискретном эквиваленте для неоднородной прямоугольной мембраны:

(5.3)

где – натяжение, по-прежнему не зависящее от переменных x, y и t. Любопытно при этом заметить, что свойство постоянства натяжения сохраняется и для неоднородной мембраны, что нетрудно доказать.
Для вынужденных колебаний (5.3) принимает вид:

(5.4)

Заключение

Итак, задача численного определения малых поперечных колебаний неоднородной прямоугольной мембраны доступно формулируется в свете новой модификации МКЭ – плоско-пространственной задачи МКЭ. Полученная в итоге дискретная математическая модель двумерного волнового уравнения служит наглядным подтверждением справедливости этого утверждения.


Литература

Араманович И.Г., Левин В.И. Уравнения математической физики. М.: Наука, 1969. – 288 с.

Тихонов А.Н., Самарский А.А. Уравнения математической физики. М.: Наука, 1977. – 735 с.

Геворкян Г.А. Плоско-пространственная задача метода конечных элементов // Механика машин, механизмов и материалов. – 2014. – № 1 (26). – С. 49 – 52.
Геворкян Г.А. Трактовка геометрического смысла конечных разностей и производной функции на основе использования аппарата МКЭ // Механика машин, механизмов и материалов. – 2016. – № 2 (35). – С. 95 – 98.
Геворкян Г.А. Тривиальный метод конечных элементов. – Саарбрюкен (Германия), LAP LAMBERT Academic Publishing, 2016, 202 с.












14