уровнение плоскости

Для этого перейдем к их параметрическому заданию:
: и :
и разрешим систему

, ;
, , .
Итак, точкой пересечения прямых является точка .


























5. Взаимное расположение прямой и плоскости в пространстве
Допустим, что в пространстве заданы плоскость и прямая . Они могут быть
1) параллельны;
2) прямая может лежать в плоскости;
3) прямая и плоскость могут пересекаться в одной точке.
Определим, каким образом, имея «на руках» уравнения плоскости и прямой, выяснить их взаимную ориентацию.
Пусть
: и :.
В таком случае – нормальный вектор плоскости,
– направляющий вектор прямой.
Если плоскость и прямая параллельны или прямая полностью лежит в плоскости , то векторы и – перпендикулярны. Тогда
, (10)
или в координатной форме
. (11)
Если условие (10) (условие (11)) не имеет силы, то геометрически это равносильно тому, что прямая и плоскость пересекаются в одной точке.
Специальным случаем пересечения прямой
и плоскости в одной точке является перпендикулярность прямой и плоскости. В таком случае и будут параллельны, что аналитически эквивалентно следующему равенству

Далее, определим условие, которое разрешает проводить разделение между случаем параллельности прямой и плоскости и случаем, при котором прямая принадлежит плоскости. Допустим, что прямая лежит в плоскости . В таком случае произвольная точка прямой принадлежит плоскости и, таким образом, ее координаты удовлетворяют уравнению плоскости. Иными словами,
,
где – некоторая фиксированная точка прямой . Если же прямая параллельна плоскости, то она не имеет общих точек с плоскостью и, таким образом, для такой прямой
.
Итак, если прямая принадлежит плоскости, следовательно должны выполняться два условия:
и ;
если же прямая параллельна плоскости, то
, но ,
где – некоторая фиксированная точка прямой .
Резюмируя, обратимся снова к случаю, в котором прямая и плоскость пересекаются в одной точке, и определим формулу для нахождения угла между прямой и плоскостью.
ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Углом между прямой и плоскостью является угол между прямой
и ее проекцией на плоскость .
Из данного выше определения следует,
что угол между прямой и плоскостью не превышает
, т.е. угол острый.
Пусть – угол между прямой и плоскостью , – их точка пересечения. Через перпендикулярно плоскости проведем прямую . Для вектор является направляющим и, таким образом, острый угол между прямыми и можно найти по формуле
.
С другой стороны
,

есть формула для определения угла между прямой и плоскостью .





Литература
1. Александров П. С. Часть I. Аналитическая геометрия // Курс аналитической геометрии и линейной алгебры. – М.: «Наука», Главная редакция физико-математической литературы, 1979. – 512 с.
2. Аналитическая геометрия и линейная алгебра: учеб. пособие / А. E. Умнов. – 3-е изд., испр. и доп. – М.: МФТИ, 2011. – 544 с.
3. Беклемишев Д. В. Главы I-IV // Курс аналитической геометрии и линейной алгебры: Учеб. для вузов. – 10-е изд., испр. – М.: ФИЗМАТЛИТ, 2005. – 304 с.
4. Бортаковский, А.С. Аналитическая геометрия в примерах и задачах: Учеб. пособие / А.С. Бортаковский, А.В. Пантелеев. – М.: Высш. шк., 2005. –496 с.
5. Булатова, М.Г. Прямая на плоскости. Прямая и плоскость в пространстве: Методические рекомендации для самостоятельной работы студентов. – Троицк, 2010. – 36 с.
6. Веселов А. П., Троицкий Е. В. Лекции по аналитической геометрии. Учеб. пособие. – М.: Издательство Центра прикладных исследований при механико-математическом ф-те МГУ, 2002. – 160 с.
7. Воробейчикова О.В., Колесникова С.И. Высшая математика I. Основы векторной алгебры и аналитической геометрии. Линейная алгебра. Численные методы. Методическое пособие. – Томск, 2007.
8. Головизин В.В. Практические занятия по курсу «Алгебра и геометрия». Ч. 1: учеб.-метод. пособие. Ижевск: Изд-во «Удмуртский университет», 2010. – 151 с.
9. Ерусалимский Я.М., Чернявская И.А. Алгебра и геометрия // Южный федеральный университет. – Ростов-на-Дону: Издательство Южного федерального университета, 2012. – 360 с.
10. Ильин В.А., Позняк Э.Г. Аналитическая геометрия. М.: Наука, 2003.
11. Кадомцев С. Б. II. Аналитическая геометрия // Аналитическая геометрия и линейная алгебра. – М.: ФИЗМАТЛИТ, 2003.











21