Динамика

Окончательная форма уравнения вынужденных колебаний: (2.19)Общее решение дифференциального уравнения (2.16) при:. (2.20)Продифференцировав уравнения (2.20) по времени, получим: (2.21)Подставив в (2.20) и (2.21) значения начальной координаты и скорости найдём:.Из этих уравнений находим:Постоянные С1 и С2 находят из начальных условий. Первые слагаемые в этих уравнениях с течением времени стремятся к нулю, и ими можно пренебречь. В дальнейшем движение системы будет определяться только вторым слагаемым этих уравнений, т. е. вынужденными колебаниями.2.3 Исследования амплитуды вынужденныхколебанийРазделим числитель и знаменатель правой части формулы (2.18) на k2: (2.22)где – коэффициент расстройки; – относительный коэффициент затухания.Обозначим: т.е. А0 представляет собой изменение координаты q под действием статического усилия Н – статическая деформация. Отношение называют коэффициентом динамичности.Исследуем подкоренное выражение формулы (2.22):Проанализируем первый корень: .. Следовательно, амплитуда минимальна: Проанализируем второй корень: т.е. .Следовательно, амплитуда максимальна – . Таким образом, максимальная амплитуда имеет место при.Тогда ;Таким образом, максимальная амплитуда:.Из полученной формулы следует, что максимальное значение амплитуды вынужденных колебаний достигается при. По мере увеличения сопротивления амплитуда уменьшается. Анализ вынужденных колебаний позволяет сделать выводы:1. Вынужденные колебания при наличии сопротивления происходят с частотой возмущающей силы.2. Амплитуда вынужденных колебаний не зависит от времени и начальных условий. В отличие от свободных вынужденные колебания не затухают. Приамплитуда вынужденных колебаний остаётся конечной и притом не самой большой из возможных её значений для данной системы. Амплитуда достигает максимума при , т.е. до наступления резонанса.3. При вынужденных колебаниях с сопротивлением всегда имеет место сдвиг фазы колебаний по сравнению с фазой возмущающей силы. Величина этого сдвига определяется из формулы Максимальное значение сдвига имеет место при.Пример 2.1На пружине жесткостью с = 19,6 Н/м подвешен магнитный стержень массой 50 г, проходящий через соленоид, и медная пластинка массой 50 г, проходящая между полюсами магнита (рис. 19.8). По соленоиду течет ток , который развивает силу взаимодействия с магнитным стержнем .Сила торможения медной пластинки вследствие вихревых токов равна , где и V – скорость пластинки в м/с.Определить вынужденные колебания пластинки.РешениеРисунок 2.3 Расчетная схема1. Выведем пластинку из положения равновесия на малую величину х.2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. ,10. Ответ:.Пример 2.2.Материальная точка массой m = 2 кг подвешена к пружине, жёсткость которой 4 кН/м. На точку действуют возмущающая сила и сила сопротивления движению, пропорциональная первой степени и равная Н.Чему равно наибольшее значение Аmax амплитуды вынужденных колебаний? При какой частоте р амплитуда вынужденных колебаний достигает наибольшего значения?РешениеОтвет:Рисунок 2.4Пример 2.3.Тело массой 2 кг, прикреплённое пружиной к точкеА, движется по гладкой наклонной плоскости, образующей угол α с горизонтом, под действием возмущающей силы и силы сопротивления  Н, жёсткость пружины с = 5 кН/м (рис. 2.4). В начальный момент тело находится в покое в положении статического равновесия. Найти уравнение движения тела, периоды Т свободных и Т1 вынужденных колебаний, сдвиг фаз вынужденных колебаний и возмущающей силы.Решение1. Выведем тело из положения равновесия на малую величину х. 2. 3. 4. 5. 6. .7. м/с2.8. .9. с, с.Ответ:с, с.3 Принцип Даламбера для материальной точкии механической системыПринцип Даламбера заключается в том, что в любой момент времени активные силы, приложенные к точкам рассматриваемой механической системы, реакции связей и силы инерции точек механической системы образуют уравновешенную систему сил.В случае материальной точки уравнение имеет вид:где сумма активных сил, сумма сил реакций, сила инерции.Сила инерции материальной точки – векторная величина равная произведению массы точки на ее ускорение и направленная противоположно этому ускорению:.Для твердого тела определяются главный вектор и главный момент сил инерции Для механических систем принцип Даламбера принимает вид:где главный вектор активных сил, главный вектор сил инерции. главный момент активных сил; главный момент сил инерции.Главный вектор и главный момент сил инерции точек системы следует определять отдельно для каждого твердого тела, которое входит в имеющуюся механическую систему.Если твердое тело совершает поступательное движение, то силы инерции имеют равнодействующую, приложенную в центре масс тела.Силы инерции тела, вращающегося вокруг неподвижной оси, проходящей через центр масс, имеют главный вектор равный нулю, так как , поэтому силы инерции приводятся к паре сил, момент которой относительно оси вращения (z):.знак «минус» показывает, что и имеют противоположные направления.Пример 3.1. Механическая система состоит из колес 1 и 2, центры тяжести которых лежат на оси вращения, и груза 3. К ведущему колесу приложена движущая сила Р = Р(t). Время отсчитывается от некоторого момента , когда угловая скорость колеса 1 равна: . Момент сил сопротивления, приложенных к ведомому колесу, равен Мс. Другие силы сопротивления движению системы не учитывать.Дано:,Найти уравнение вращательного движения колеса 2, окружное усилие S в точке касания колес 1 и 2 и натяжение нити в момент t1 = 3сРешение:Рассматриваемую механическую систему разделим на две части: I – колесо 1; и II – колесо 2 и груз 3.Применим к колесу 1 принцип Даламбера: приложим к нему все активные силы, реакции связей и силы инерции и получим уравновешенную систему сил. Составим условия равновесия плоской системы для первой части:Рисунок 3.1 Расчетная схемаУчитывая, что,получим:Рассмотрим часть II механической системы, к которой также применим принцип Даламбера. .Составим уравнения равновесия:,а также , Имеем следующую систему уравнений движения тел:Выразим Sиз уравнения 2:ТогдаУмножим обе части на R1:;Окружное усилие.Тогда.Из третьего уравнения системы найдем .Приt= 3с: .Ответ: ЗаключениеИзвестные особенно в последнее время ошибки, и даже катастрофы, в исполнении технических проектов (строительство, ракетная техника, транспортные системы), во многом связаны с недостаточной квалификацией специалистов в области механики. Поэтому изучение теоретической механики студентами технических направлений и специальностей является одной из актуальных задач подготовки инженеров. Поэтому выполнения данной курсовой работы позволило закрепить и углубить знания по разделам динамики.Список использованной литературы1. Добронравов, В.В. Курс теоретической механики/ В.В. Добронравов, Н.Н. Никитин, А.Л. Дворников. – М.: Высш. шк., 2013. – 270 с.2. Дронг, В.И. Курс теоретической механики: учебник для вузов/ В.И. Дронг, В.В. Дубинин, М.М. Ильин и др.; под общей ред. К.С. Колесникова. – М.: Изд-во МГУ им. Н.Э. Баумана, 2015. – 365 с.3. Мещерский, И.В. Сборник задач по теоретической механике/ – М.: Наука, 1982. – 448 с.4. Пятницкий, Е.С., Сборник задач по аналитической механике/ Е.С. Пятницкий, Н.М. Турхан, Ю.И. Ханукаев, Г.Н. Яковенко. – М., 2010. – 320 с.5. Тарг, С.М. Краткий курс теоретической механики/– С.М. Тарг, М.: Наука, 2012. – 422 с.6. Яблонский, А.А. Курс теоретической механики/ А.А. Яблонский, В.М. Никифоров. – М.: Высш. шк., 2016. – 367 с.