Принятие решения в условиях риска, конечные матричные игры, бескоалиционные игры

Рисунок 3 – Решение с помощью геометрического подходаОтвет: Цена игры: y = 18/5, векторы стратегии игроков: P(3/10, 0, 7/10, 0, 0, 0), Q(1/5, 4/5)3. Бескоалиционные игрыДано:А№1№2В№1№2№1-99№1-5-3№22-9№2-1-7Примите решение: 1. Используя геометрический подход. 2. Как игра матрицы балансовой суммы с двумя игроками.Решение:Решите биометрическую задачу, представленную в форме стола как матричная игра балансовая сумма с двумя игроками:B1B2А1-412А23-2Элементы данной матрицы игры, где – элементы платежной матрицы игрока А, – элементы платежной матрицы игрока В.Мы предполагаем, что первый игрок А выбирает свою стратегию получить максимальную победу, и второй игрок Б выбирает свою стратегию минимизировать победу игрока А:ИгрокиB1B2a = min(Ai)А1-412-4А23-2-2b = max(Bj)312Гарантированный выигрыш определяется нижней ценой игры a = max(ai) = -2которая указывает на максимальную чистую стратегию A1. Верхняя цена игры b = min(bj) = 3Итак, поскольку a ≠ b, в игре отсутствует седловая точка, а цена игры -2 ≤ y ≤ 3Мы находим решение игры в смешанных стратегиях.Запишем систему уравнений.Для игрока I-4p1+3p2 = y 12p1-2p2 = y p1+p2 =1 Для игрока II -4q1+12q2 = y 3q1-2q2 = y q1+q2 =1 Решая эти системы методом Гаусса (решение см. ниже), находим: y = 11/3 p1 = 5/21 (вероятность применения 1-й стратегии).p2 = 16/21 (вероятность применения 2-й стратегии).Оптимальная смешанная стратегия игрока I: P = (5/21; 16/21)q1 = 2/3 (вероятность применения 1-й стратегии).q2 = 1/3 (вероятность применения 2-й стратегии).Оптимальная смешанная стратегия игрока II: Q=(2/3; 1/3) Цена игры: y = 11/3 Мы решаем проблему геометрическим методом, который включает следующие шаги: 1. В Декартовской системе координат сегмент положен вдоль абсциссы, длина которой равняется 1. Левый конец сегмента (пункт x=0) соответствует стратегии A1, праву - к стратегии A2 (x = 1). Промежуточное звено указывает, что x соответствуют вероятностям некоторых смешанных стратегий S1 = (p1, p2).2. На левой оси ординат победы стратегии A1. На линии, параллельной оси ординаты, выгоду стратегии A2 показывают от пункта Мы решаем игру (2x2) от положения игрока А, который следует стратегии Максимина. Ни у одного из игроков нет доминирующих и двойных стратегий.Ассигнованный нижний предел завоевания B1NB2. Максимальная оптимальная стратегия игрока А соответствует пункту N, который находится на перекрестке B1 B1 линий и B2, для которого может быть написана следующая система уравнений:y=-4+(3-(-4))p2 y=12+(-2-12)p2 Откуда p1 = 5/21 p2 = 16/21 Цена игры, у = 4/3Теперь Вы можете найти минимаксную стратегию игрока B, сочиняя соответствующую систему уравнений-4q1+12q2 =y 3q1-2q2 =y q1+q2 =1 или -4q1+12q2 = 4/3 3q1-2q2 = 4/3 q1+q2 =1 Решая эту систему, находим: q1 = 2/3. q2 = 1/3. Рисунок 1 – Решение с помощью геометрического подходаОтвет: y = 4/3, векторы стратегии игроков: Q(2/3, 1/3), P(5/21, 16/21) .3. Решить, как матричные игрыA159211B4245872382391618111516182124211213917162131922Мы предполагаем, что первый игрок А выбирает свою стратегию получить максимальную победу, и второй игрок Б выбирает свою стратегию минимизировать победу игрока А:B1B2B3B4a = min(Ai)A111-1516-7-15A2-27-1012-10A3312-3-10-10A411-4-2-6-6b = max(Bi)11121612Мы находим гарантированный выигрыш, определяемый более низкой ценой игры a = max (ai) = -6,что указывает на максимальную чистую стратегию А4. Максимальная цена игры:b = min (bj) = 11. Это указывает на отсутствие седловой точки, так как a ≠ b, то цена игры находится в пределах -6 ≤ y ≤ 11. Мы находим решение игры в смешанных стратегиях. Запишем систему уравнений. Для игрока I11p1-2p2+3p3+11p4 = y -15p1+7p2+12p3-4p4 = y 16p1-10p2-3p3-2p4 = y -7p1+12p2-10p3-6p4 = y p1+p2+p3+p4 = 1 Дляигрока II 11q1-15q2+16q3-7q4 = y -2q1+7q2-10q3+12q4 = y 3q1+12q2-3q3-10q4 = y 11q1-4q2-2q3-6q4 = y q1+q2+q3+q4 = 1 Решая эти системы методом Гаусса (решение см. ниже), находим: y = 19830/13783 p1 = 6285/13783 (вероятность применения 1-ой стратегии). p2 = 7208/13783 (вероятность применения 2-ой стратегии). p3 = 4287/13783 (вероятность применения 3-ой стратегии). p4 = -571/1969 (вероятность применения 4-ой стратегии). Вероятность получилась отрицательная. Следовательно, данный метод не применим при решении игры для исходных данных. Необходимо решать симплекс-методом. q1 = 5309/13783 (вероятность применения 1-ой стратегии). q2 = 3477/13783 (вероятность применения 2-ой стратегии). q3 = 2276/13783 (вероятность применения 3-ой стратегии). q4 = 2721/13783 (вероятность применения 4-ой стратегии). Оптимальная смешанная стратегия игрока II: Q = (5309/13783; 3477/13783; 2276/13783; 2721/13783)