Неявные функции. Приложения теории неявных функций.

Каждое из равенств (14), в которых положено: умножим соответственно множители и результаты почленно сложим с равенством (13). Мы получим равенство: …………………………………………………….. ………………………………………………………. (15)Так как числа произвольные, выберем их так, чтобы в точке соответствующей условному экстремуму функции (3), в равенстве (15) суммы, стоящие в скобках, обратились в нуль, т. е. выберем значения так, чтобы в точке имели место соотношения:Это сделать можно, так как определитель системы, составленной из уравнений (16), по условию отличен от нуля. При выбранных значениях множителей равенство (15) примет вид:Таким образом, если функция (3), аргументы которой связаны условиями (4), имеет в точке экстремум, то в этой точке выполняются равенства:Учитывая далее, что координаты точки М0 удовлетворяют и уравнениям связи (4), мы получим следующую систему уравнений: (18)относительно неизвестных: координат точки и вспомогательных множителей .Итак, при выполнении условий наших предположений 1) и 2) в каждой точке, в которой функция (3) имеет условный экстремум, удовлетворяются уравнения (18). Решив систему (18), мы, таким образом, найдем все точки М в которых функция (3) может иметьусловный экстремум.Определить является ли найденная по способу Лагранжа точка действительно точкой условного экстремума (и каков характер этого экстремума), можно с помощью вспомогательных функций.Для определения первых уравнений системы (18),составим вспомогательную функциюгде f– исследуемая функция (3); – левые частиуравнений (4), а – некоторые неопределенные множители (параметры). Мы видим, что левые части первых уравнений системы (18) частные производные вспомогательной функции по переменным Таким образом, если аргументы функции (3) связаны уравнениями (4), то (в условиях 1 и 2) координаты возможных точек условного экстремума функции (3) можно найти так: 1) составить вспомогательную функцию согласно (19), найти все еепервые частные производные и приравнять их нулю. 2) к полученным уравнениям присоединить уравнений связи (4); 3) из составленной таким образом системы уравнений исключить параметров и найти значения неизвестных – координаты точки, подозрительной на экстремум (правило множителей Лагранжа).Применим это правило к решению задачи.Пусть, например, требуется из всех треугольников данного периметра найти тот, который имеет наибольшую площадь. Тогда, если стороны треугольника обозначить через , то его площадь S по формуле Герона выразится так: (1)где величины как стороны треугольника, должны удовлетворять условиям:Исследуем на максимум функцию (1) при условии:(20)Посколькупри постоянном произведение представляет собой непрерывную функцию в замкнутой области (2), то , а с ней и имеет наибольшее значение, т. е. треугольник с наибольшей площадью существует. На границе области определения (2) функции , т. е. там, где хотя бы одно из соотношений (2) превращается в равенство, функция (площадь) повсюду имеет значение нуль. Следовательно, наибольшее значение функция принимает во внутренней для (2) точке. Так как наибольшее значение соответствует наибольшему значению и так как множитель – постоянная положительная величина, то задача, таким образом, состоит в разыскании внутренней для (2) точки, в которой функция достигает наибольшего значения, при условии (20).Составим вспомогательную функцию:Найдем все ее первые частные производные и приравняем их нулю:К этим трем уравнениям присоединим уравнение связи (20). Полученную таким образом систему четырех уравнений (21) и (20) решим совместно относительно .Определяя из каждого уравнения (21) и приравнивая друг другу найденные выражения, получим:По смыслу задачи . В этих пределах из (22) находим: . Приняв еще во вниманиеуравнение связи (20), получим: Это единственное решение системы уравнений (21) и (20) определяет внутреннюю точку области (2).Так как треугольник с наибольшей площадью существует и система уравнений (21) и (20) имеет только одно решение, то оно и доставляет функции , аследовательно, и функцииS функции максимум. Решение показывает, что искомый треугольник равносторонний.2.3. Примеры и задачиЗадача №1Найти производную функции в точке по любому направлению Решение. Как легко убедиться, данная функция не дифференцируема в точка .Поэтому будем искать непосредственно . Здесь Следовательно, Ответ: Задача № 2Показать, что уравнение задает неявную функцию в окрестности точки Найти Решение: Имеем и дифференцируема, причем Так какТо в некоторой окрестности точки существует единственная неявная функциятакая, что она дифференцируема в указанной окрестности и Задача №3Найти частные производные функции заданной неявно уравнением Решение:Обозначим Вычислим производные Теперь найдем требуемые производные:Ответ: Задача № 4Применяя метод Лагранжа, найти условные экстремумы функции при ограничении Решение. Запишем функцию ЛагранжаСоставим системуВ нашем случае имеет вид Так как при полученная система несовместна, мы можем выразить и из первого и второго уравнений соответственно: и подставив эти выражения в третье уравнение и упростив, получим Отсюда получаем два значения и две точки и Заметим теперь, что криваяявляется эллипсом. Точки и разбивают его на две дуги. При этом иТак как других критических точек нет, при движении по эллипсу от точки по любой из дуг значение функции должно возрастать. Следовательно, – точка условного максимума, а – точка условного минимума.Ответ: – точка условного максимума, а – точка условного минимума.Задача № 5Функция задана неявно:Найти Если независимые переменные, а функция задана неявно:То РешениеНайдем полную производную функции  по переменной , считая  независимой переменной, – неизвестной функцией от  , и учитывая то, что функция  тождественно равна нулю, следовательно, и любая ее производная тоже равна нулю.Отсюда Ответ: ЗАКЛЮЧЕНИЕВ большинстве практических задач принятия решения требуется принять решение – определить экстремум критерия оптимальности при условии, что на независимые переменные наложены ограничения, имеющие вид равенств. Типичными примерами подобных задач служат задачи, в которых требуется оптимальным образом распределить заданное количество ресурсов, чтобы принятая оценка эффективности процесса имела при этом максимальное или минимальное значение.Для решения таких задач в классическом анализе используется метод неопределенных множителей Лагранжа. Сами задачи получили название задач на условный экстремум.В данной работе были рассмотрены понятия неявных функций одной и нескольких переменных, понятие производной неявной функции, были доказаны теоремы существования дифференцируемой неявной функции с одной и несколькими переменными.Так же познакомились с некоторыми приложениями теории неявных функций: относительными экстремумами и способами нахождения необходимых условий экстремума; методом неопределенных множителей Лагранжа (правилом множителей Лагранжа) и применением этого метода при решении задач. Условный экстремум – минимальное или максимальное значение, достигаемое данной функцией (или функционалом) при условии, что некоторые другие функции (функционалы) принимают значения из заданного допустимого множества.Метод множителей Лагранжа состоит в том, что для отыскания условного экстремума составляют функцию Лагранжа: (параметр называют множителем Лагранжа). Необходимые условия экстремума задаются системой уравнений, из которой определяется стационарные точки:В данной курсовой работе были изучены методы решения задач дифференциального исчисления неявных функций нескольких переменных. При этом были выполнены такие задачи: изучены теоретические основы неявных функций, познакомились с понятиями производной и дифференциала неявных функций. Выявлено значение неявных функций как объекта научной деятельностиВ работе более детально рассмотрены приложения неявных функций нескольких переменных, вычисление их производных, приведены практические решения заданий по данной тематике. СПИСОК ИСПОЛЬЗОВАННОЙ ЛИТЕРАТУРЫГармаш А.Н. Математические методы в управлении: учеб.пособие/ А.Н. Гармаш, И.В. Орлова; ВЗФЭИ. - М.: Вузовский учебник,2012. -272 с.Математический анализ: Гурьянова К.Н. ,Алексеева У.А. Бояршинов В.В. "Издательство Уральского университета" 2014. -332 с.Демидович Б.П. Сборник задач и упражнений по математическому анализу. М.:Аст,2003. -558 с.Колмогоров А.Н., Фомин С.В. Элементы теории функций и функционального анализа. М. : Физматлит,2012. -570 с.Лихтарников, Леонид Моисеевич. Математическая логика : курс лекций : задачник-практикум и решения : учебное пособие для вузов / Л.М. Лихтарков, Т.Г.Сукачева. - СПб.: Лань,2008. -276 с.Высшая математика: [учебник для студентов тех. вузов/ Г.Л. Луканкин и др.] ; под ред. д-ра физ.-мат. наук, проф. Г.Н.Яковлева. – Изд. 3-е,стер..- М.: Высш. шк., 2009. с. 565-574. Люстерик Л.А., Соболев В.И.. Элементы функционального анализа. М: Лань,2009. -272 с.Теория аналитических функций. Начало теории Том(часть)1:Учебник - 3-е изд.,стер - "Учебники для вузов. Специальная литература","Классическая учебная литература по математике", Маркушевич А.И.2009. -496 с.Спирина М. С. Теория вероятностей и математическая статистика: учебник / М. С. Спирина, П. А. Спирин. - М :Академия,2007. -352 с.Курс Математического анализа : учебное пособие для педагогических институтов : [в 2 т.]. Т. 1 / И. М. Уваренков, М. З. Маллер. - Москва : Просвещение, 1966. - 640 с.:ил.Фихтенгольц Г.М. Курс Дифференциального и интегрального исчисления. М.:Лань.Т.1-3,2009. -656 с.Фихтенгольц Г.М. Основы математического анализа. Часть 2. 7-е изд.,стер. - СПб.:Издательство "Лань", 2005. - 464 с. - (Учебники для вузов Специальная литература).Лекции по математическому анализу : учебное пособие для студентов [физических, математических и инженерных специальностей] вузов : [в 3ч.] Ч.2 / Г.Н.Яковлев. - [2-е изд.. перераб. и доп.]. - М. : Физматлит, 2004. - 332 с.:ил.http://mathprofi.ru/proizvodnye_neyavnoi_parametricheskoi_funkcii.htmlhttp://edu.alnam.ru/book_f_math1.php?id=207