модальный регулятор

В уравнении X (t) = AX(t) + BU(t) матрицу А и вектор В представим в блочной форме:где A11 – матрица размера m× m, A12 – матрица размера m× (n – m), A21 – матрица размера (n – m) × m, A22 – матрица размера (n – m) × (n – m), вектора В1 и В2 имеют размер m и n – m. Тогда уравнение состояния можно переписать следующим образом:Этим уравнениям соответствует структурная схема, приведенная на рис.8.1:Рис. 8.1. Система с измеряемым выходомИдея синтеза редуцированного наблюдающего устройства заключается в следующем. Допустим, что вектор выхода Y(t), его производная и входной сигнал U(t) доступны для измерения. Тогда согласно можно вычислить вектор:Рассмотрим затем 2-е уравнение состояния. Его можно считать моделью объекта с вектором состояния W(t):Слагаемое в скобке будем рассматривать в качестве внешнего воздействия. Основной теоретической базой для синтеза редуцированного наблюдателя является утверждение: «Если система A, C обладает свойством наблюдаемости, то свойствами наблюдаемости обладает и подсистема A22, A12». Таким образом, описан динамический объект:Первое из этих уравнений описывает динамику объекта, а второе является уравнением выхода (рис. 8.2).Рис.8.2. Структура динамического объектаДля того, чтобы получить математическую модель редуцированного наблюдающего устройства воспользуемся общим уравнением наблюдающего устройства полного порядка, записав его в виде:Для редуцированного наблюдающего устройства матрице A будет соответствовать A22, матрице C – A12. Матрице N будет соответствовать матрица L, содержащая коэффициенты обратных связей редуцированного наблюдающего устройства. Выходу объекта соответствует Z(t).Таким образом, получаем оценку вектора состояния динамического объекта:Структурная схема редуцированного наблюдающего устройства показана на рис. 8.3.Рис. 8.3. Структура наблюдателя пониженного порядкаДля того, чтобы избавится от операции дифференцирования, перепишем оценку вектора состояния динамического объекта в виде:Введем обозначения:Тогда из последнего уравнения получаем: Введем обозначения:Таким образом, получаем:Это уравнение редуцированного наблюдателя (наблюдателя минимального порядка).Оценка всего вектора состояния получается следующим образом:Или:Получившаяся структура системы с редуцированным наблюдателем показана на рис. 8.4.Рис.8.4. Система с наблюдателем пониженного порядкаРассмотрим синтез системы управления с наблюдателем полного порядка в MatLab Simulink (рис. 8.5).Рис. 8.5. Система с редуцированным наблюдателемПри расчете регулятора был задан вектор полюсов желаемой замкнутой системы из п.5.2.:>> AA = -2.5000 -1.0000 -1.0000 1.0000 0 0 0 1.0000 0>> BB = 1 0 0>> P=[-1.71 -0.645+3.93i -0.645-3.93i];K=acker(A,B,P) K = 0.5000 17.0668 26.1222Расчет масштабирующего коэффициента:>> sys=ss(A-B*K,B,C,0); >> dcgain(sys) ans = 0.0369>> km=1/anskm =27.1222Рассмотрим матрицы наблюдателя пониженного порядка. Поскольку для этого объекта y = x1, порядок наблюдателя будет равен 2:>> A11=-2.5;>> A12=[-1 -1];>> A21=[1;0];>> A22=[0 0;1 0];>> B10=1;>> B20=[0;0];Пусть полюса наблюдателя должны располагаться в точке: λ1 = λ2 = –10. Рассчитаем коэффициенты обратных связей наблюдателя:>> P1=[-10 -10];>> N1=acker(A22',A12',P1);>> L=N1' L = -100 80Далее рассчитаем матрицы наблюдателя:>> A1=A22-L*A12A1 = -100 -100 81 80>> B1=A1*L+A21-L*A11B1 = 1751 -1500>> F1=B20-L*B10F1 = 100 -80>> C1=[0 0; 1 0; 0 1]C1 = 0 0 1 0 0 1>> D1=[1; L]D1 = 1 -100 80После запуска схемы можно убедиться, что переходный процесс (рис.8.6) полностью соответствует рис. 5.5, поскольку начальные состояния объекта и наблюдателя совпадают.Рис.8.5. Переходная характеристика системы с редуцированным наблюдателем и регуляторомКак видим, синтезированная система отвечает заданным требования (σ=10%, tп=4,41 с, eст=0).Переходный процесс будет отличаться от эталонного в двух ситуациях: 1. Если задать на интеграторе вектор начальных отклонений по состоянию:Рис. 8.6. Переходные характеристики системы с редуцированным наблюдателем и регулятором с разными значениями начальных отклонений по состоянию: а) 0; b)1; c)10Как видим изрис.8.6, при увеличении значения начальных отклонений по состоянию на интеграторе увеличивается время переходного процесса. 2. Если сложить сигнал, поступающий на вход наблюдателя, с белым шумом (блок Band-Limited White Noise) заданной интенсивности.Рис. 8.7. Переходные характеристики системы с редуцированным наблюдателем и регулятором с разными значениями интенсивности белого шума: а) 0; b)1; c)100Как видим изрис.8.7, при увеличении значения интенсивности белого шума на входе наблюдателя значительно искажается переходная характеристика. Однако система с редуцированным наблюдателем оказалась более устойчивой к белому шуму, чем система с полным наблюдателем.Модальный синтез дискретной системыДискретное представление в пространстве состояний необходимо при компьютерной реализации системы управления. Дискретизация входного сигнала с шагом Т означает, что входной сигнал изменяется через промежуток времени Т, а внутри этого интервала остается постоянным.Дискретная система в пространстве состояний описывается структурой, приведенной на рис. 9.1:Рис. 9.1. Дискретная форма уравнений состоянияСинтезируем дискретную систему.Для преобразования описания системы к дискретному виду с шагом дискретизации Т используются команда:>> wd = c2d(w1,0.1, 'zoh') a = x1 x2 x3x1 0.7744 -0.09293 -0.08833x2 0.08833 0.9952 -0.004604x3 0.004604 0.09984 0.9998b = u1x1 0.08833x2 0.004604x3 0.0001567c = x1x2 x3y1 0 0.14 1d = u1 y1 0На рис. 9.2 показано сравнение выходных сигналов непрерывной и дискретной системы.Рис. 9.2. Сравнение выходов непрерывной и дискретной системыМетодика синтеза цифровых модальных регуляторов принципиально не отличается от методики синтеза непрерывных модальных регуляторов. При этом следует учитывать соотношение между λ - полюсами непрерывной системы и λd - полюсами дискретной системы:>> Pd=[exp(-1.71*0.1) exp((-0.645+3.93i)*0.1) exp((-0.645-3.93i)*0.1)]Pd = 0.8428 0.8661 + 0.3590i 0.8661 - 0.3590i>> Kd=acker(wd.a,wd.b,Pd);Дискретная система создается командой вида:>> sys=dss(wd.A-wd.B*Kd,wd.B,wd.C,0,[],0.1); >> step(sys) Получившийся график переходного процесса приведен на рис. 9.3.Рис. 9.3. Переходный процесс в замкнутой дискретной системеМожно убедиться, что характер переходного процесса соответствует рис. 5.3.Введем масштабирующий коэффициент:>> dcgain(sys) >> km=1/ans km = 26.1085Синтезируем наблюдатель. Зададим для наблюдающего устройства полюса, обеспечивающие большее быстродействие:>> Pd1=[exp(-3.42*0.1) exp((-1.29+7.86i)*0.1) exp((-1.29-7.86i)*0.1)]Pd1 = 0.7103 0.6212 + 0.6219i 0.6212 - 0.6219i>> N=acker(wd.A',wd.C',Pd1)N = 5.5739 4.6064 0.1719На рис. 9.4 показана структура дискретного модального регулятора.Рис. 9.4. Блок-схема цифрового модального регулятора с наблюдателемНа выходе системы имеем переходную характеристику, приведеную на рис. 9.5.Рис. 9.5. Переходная характеристика дискретной системы Как видим, синтезированная система отвечает заданным требования (σ=10%, tп=4,41 с, eст=0).ЗаключениеВ данной работе была исследована заданная САУ в пакете Matlab: была получена модель системы в пространстве состояний, а также проанализированы её управляемость и наблюдаемость. Кроме того, для данной САУ были синтезированы модальный регулятор, с помощью которого удалось улучшить показатели качества системы. Далее были синтезированы наблюдатели двух видов: полного и редуцированного порядков. Как показали результаты, система с наблюдателем редуцированного порядка лучше отрабатывает изменение начальных условий интегратора, а также белый шум на входе наблюдателя. Была получена дискретная система с модальным регулятором с наблюдающим устройством. Получилось, что синтезированная система отвечает заданным требования (σ=10%, tп=4,41 с, eст=0).