Понятие статистической гипотезы, виды гипотез.

Длина одного интервала равна

В табл.№6 представлены результаты расчетов «координат» концов и середин интервалов , частот , относительных частот и величин значений эмпирической функции распределения

На рис.3 представлены гистограмма распределения с.в. и выборочная функция распределения , построенные на основе данных табл.№6.
Выборочное среднее значение:

Выборочная дисперсия:


Таблица №6

концы интервалов
1 0,5 1,5 1,0 21 0,2100 0,2100 2 1,5 2,5 2,0 4 0,0400 0,2500 3 2,5 3,5 3,0 20 0,2000 0,4500 4 3,5 4,5 4,0 12 0,1200 0,5700 5 4,5 5,5 5,0 0 0,0000 0,5700 6 5,5 6,5 6,0 11 0,1100 0,6800 7 6,5 7,5 7,0 32 0,3200 1,0000





Рис.3. Верхний – гистограмма, нижний – нормированная выборочная
функция распределения
Несмещенная оценка дисперсии:

Выборочное среднеквадратическое отклонение:


Закон распределения
Проверим с помощью -критерия Пирсона гипотезу о соответствии -закона, данного в табл.№2, смоделированным данным табл.№2 (или табл.№6). Итак, выдвинем две гипотезы:
-закон – не является функцией распределения
смоделированной с.в.
-закон – является функцией распределения
смоделированной с.в.
Параметр :

где – эмпирические частоты (см. табл.№6), – теоретические частоты

В табл.№7 представлены результаты промежуточных расчетов. Складывая элементы последнего столбца табл.№7, получаем

В нашем случае число степеней свободы

где – число параметров функции распределения. Используя таблицу значений , для уровня значимости имеем:



Таблица №7
1 1 21 0,15 15 2,4000 2 2 4 0,05 5 0,2000 3 3 20 0,20 20 0,0000 4 4 12 0,12 12 0,0000 5 5 0 0,05 5 5,0000 6 6 11 0,13 13 0,3077 7 7 32 0,30 30 0,1333 Сумма         8,0410




Рис.4


Как видно, для с.в. имеет место . Итак, на уровне значимости гипотеза отвергается, а конкурирующая гипотеза о -законе распределении смоделированной с.в. принимается.
На рис.4 представлен график, на котором изображены эмпирическое распределение частот и теоретическое распределение, соответствующие -закону, данному в табл.№2.























Практическое задание
Дано:
Таблица №8
1 3 9 2 2 6 3 4 12 4 1 3
где – i-е значение факторной переменной , – i-е значение результирующей переменной . Объем выборки .

Решение
В табл.№9 представлены результаты расчетов, выполненных на основе данных табл.№8. Согласно табл.№9 имеем следующее.
Выборочные средние значения:
,

Выборочные дисперсии:


Выборочные среднеквадратические отклонения:




Таблица №9
1 3 9 27 0,25 2,25 2 2 6 12 0,25 2,25 3 4 12 48 2,25 20,25 4 1 3 3 2,25 20,25 Сумма 10 30 90 5,00 45,00 Ср. знач. 2,50 7,50 22,50 1,25 11,25

Коэффициент корреляции (Пирсона):

так что связь между исследуемыми переменными и положительная и (по шкале Чеддока) весьма высокая (полная).
Проверим значимость коэффициента корреляции, для чего выдвинем две гипотезы:


где – истинное (неизвестное) значение коэффициента корреляции. Наблюдаемое значение -критерия Стьюдента:

где – число факторных переменных. В свою очередь, – критическое значение коэффициента Стьюдента для уровня значимости и числа степеней свободы . Поскольку , на выбранном уровне значимости гипотеза отвергается, а конкурирующая гипотеза принимается. Иными словами, полученное значение коэффициента корреляции статистически значимо.

Заключение
Как правило, смысл проверки гипотезы о законе распределения выборки состоит в следующем. Имеется выборка заданного объема и выбран или известен вид закона распределения генеральной совокупности. Задача заключается в оценке по этой выборке параметров закона, определении степени согласия выборки и рассматриваемого закона распределения, в котором параметры замещены их выборочными значениями. Далее рассматривается вопрос проверки согласия теоретического и эмпирического распределений с использованием выбранного статистического критерия.
При проверке гипотез о законе распределения нужно учитывать, что слишком хорошее совпадение с выбранным законом распределения может быть связано с некачественным проведением эксперимента или предвзятой предварительной обработкой результатов («правка» выборки, при которой отбрасывается «плохая» часть экспериментальных данных, а также слишком грубое округление данных).
Выбор статистического критерия для проверки гипотезы в значительной степени произволен. Различные критерии могут давать разные выводы о верности гипотезы. В таких случаях окончательные выводы делаются на основе «внешних» (неформальных) соображений. Аналогично, нет определенных рекомендаций по выбору уровня значимости.
Рассмотренный подход к процедуре проверки статистических гипотез, базирующийся на использовании специальных таблиц критических точек распределения, сформировался в эпоху «ручной» обработки данных, когда наличие подобных таблиц сильно упрощало процесс вычислений. В наши дни целый ряд математических пакетов включает в себя процедуры расчета стандартных функций распределений, что существенно облегчает проверку гипотез.



Литература
1. Гмурман, В.Е. Теория вероятностей и математическая статистика: Учебное пособие для бакалавров / В.Е. Гмурман. – М.: Юрайт, 2013. – 479 c.
2. Горлач, Б.А. Теория вероятностей и математическая статистика: Учебное пособие / Б.А. Горлач. – СПб.: Лань, 2013. – 320 c.
3. Калинина, В.Н. Теория вероятностей и математическая статистика: Учебник для бакалавров / В.Н. Калинина. – М.: Юрайт, 2013. – 472 c.
4. Колемаев, В.А. Теория вероятностей и математическая статистика: Учебник / В.А. Колемаев, В.Н. Калинина. – М.: КноРус, 2013. – 376 c.
5. Кочетков, Е.С. Теория вероятностей и математическая статистика: Учебник / Е.С. Кочетков, С.О. Смерчинская, В.В. Соколов. – М.: Форум, НИЦ ИНФРА-М, 2013. – 240 c.
6. Краснов, М.Л. Вся высшая математика. Т.5. Теория вероятностей. Математическая статистика. Теория игр: Учебник / М.Л. Краснов, А.И. Киселев, Г.И. Макаренко [и др.]. – М.: ЛКИ, 2013. – 296 c.
7. Семенов, В.А. Теория вероятностей и математическая статистика: Учебное пособие / В.А. Семенов. – СПб.: Питер, 2013. – 192 c.
8. Спирина, М.С. Теория вероятностей и математическая статистика: Учебник для студ. учреждений сред. проф. образования / М.С. Спирина, П.А. Спирин. – М.: ИЦ Академия, 2013. – 352 c.












22