Задачи, приводящие к линейным обыкновенным дифференциальным уравнениям второго порядка
Заказать уникальный реферат- 13 13 страниц
- 3 + 3 источника
- Добавлена 10.02.2020
- Содержание
- Часть работы
- Список литературы
- Вопросы/Ответы
ВВЕДЕНИЕ 3
1 Линейное однородное дифференциальное уравнение (ЛОДУ) 4
2 Нахождение фундаментальной системы решений и общего решения ЛОДУ 6
3 Задачи, приводящие к линейным обыкновенным дифференциальным уравнениям второго порядка 8
СПИСОК ИСПОЛЬЗУЕМЫХ ИСТОЧНИКОВ 14
Подстановкой x=et, данное уравнение приводится к линейному уравнению с постоянными коэффициентами. При этом:,.Уравнение вида:, где A0, A1, A2, a и b — постоянные коэффициенты, приводятся к уравнению с постоянными коэффициентами подстановкой: .Пример 4. Распределение температуры в продольном ребре параболического сечения.Найти распределение температуры в продольном ребре жесткости параболического профиля изображенного на Рисунке 1. Условия работы: тепловой поток постоянный, то есть температура в любой точке ребра жесткости не изменяется с течением времени; материал ребра однородный и теплопроводность постоянная; коэффициент передачи теплоты сплошной гранью поверхности ребра постоянный; температура окружающей жидкости постоянная; не имеется других источников теплоты, кроме самого ребра; отсутствуют температурные градиенты поперек ширины ребра.Рисунок 1 - Продольное ребро жесткости параболического профиляРешение. Здесь профиль определяется уравнением: , так что площадь поперечного сечения задана на единицу длины в виде функции (14):. (14)Разница между входящим в элемент dx и выходящим их него количеством теплоты:, должна быть равной количеству выходящей из ребра теплоты путем конвекции (так же на единицу длины):, так что: . Подставляя в это уравнение 0=T-Ts и dθ=dT, приводим его к виду:, и используя равенство (14) для определения A(x) и её производной после преобразований получаем:, (15).Уравнение (15) является уравнением Эйлера. Оно решается подстановкой x=etили t= ln(x).Тогдаи .При этих условиях (15) принимает вид:, или после сокращений членов:.Это однородное дифференциальное уравнение имеет решение:, и возвращаясь снова к независимой переменной x, получаем:, где .Тогда общее решение примет вид:, можно заметить, что при x=0 избыток температуры будет неограниченным, если не принять С2=0. Следовательно, общее решение окончательно имеет вид: . Излишек температуры у основания при x=b составляет , поэтому постоянная интегрирования:. Подставляя найденное значение С1 в уравнение получаем искомый закон распределения температуры: .Пример 5. Линейное однородное уравнение с рациональными коэффициентами.Линейное однородное уравнение второго порядка с рациональными коэффициентами имеет вид (16):, (16)где p(x) и q(x) - рациональные функции x.Его общее решение имеет вид:, где y1и y2 — частные линейно независимые решения уравнения (16). Если известно одно решение, то можно определить второе по формуле: , где A — произвольное постоянное.СПИСОК ИСПОЛЬЗУЕМЫХ ИСТОЧНИКОВ1. Пономарев К. К. Составление дифференциальных уравнений. - Минск: Вышейная школа. 1973.2. Самойленко А. М., Кривошея С. А., Перестюк Н. А. Дифференциальные уравнения: примеры и задачи. - М.: Высшая школа. 1989.3. Амелькин В. В. Дифференциальные уравнения в приложениях. - М.: Наука. 1987.
1. Пономарев К. К. Составление дифференциальных уравнений. - Минск: Вышейная школа. 1973.
2. Самойленко А. М., Кривошея С. А., Перестюк Н. А. Дифференциальные уравнения: примеры и задачи. - М.: Высшая школа. 1989.
3. Амелькин В. В. Дифференциальные уравнения в приложениях. - М.: Наука. 1987.
Вопрос-ответ:
Какие задачи могут привести к линейным обыкновенным дифференциальным уравнениям второго порядка?
Линейные обыкновенные дифференциальные уравнения второго порядка часто возникают при моделировании физических явлений, таких как колебания, волны, теплопроводность. Они могут описывать движение маятника, гармонические колебания пружины, распространение звука или теплопроводность в материале.
Что такое линейное однородное дифференциальное уравнение (ЛОДУ)?
Линейное однородное дифференциальное уравнение - это уравнение, в котором отсутствует свободный член и все коэффициенты при производных являются постоянными. Такое уравнение имеет вид a(x)y'' + b(x)y' + c(x)y = 0, где y - неизвестная функция, a(x), b(x) и c(x) - заданные функции.
Как найти фундаментальную систему решений и общее решение линейного однородного дифференциального уравнения (ЛОДУ)?
Для нахождения фундаментальной системы решений ЛОДУ необходимо решить уравнение, получив его общее решение. Общее решение ЛОДУ образуется из линейной комбинации фундаментальных решений, которые являются линейно независимыми. Фундаментальная система решений состоит из двух функций, так как уравнение второго порядка имеет два линейно независимых решения.
Какие еще задачи могут привести к линейным обыкновенным дифференциальным уравнениям второго порядка?
Линейные обыкновенные дифференциальные уравнения второго порядка могут возникать при моделировании электрических цепей, движении жидкостей и газов, гармонических колебаний электромагнитных систем, собственных колебаний многих механических систем и других физических процессов.
Что происходит при подстановке x = et в данное уравнение?
При подстановке x = et в данное уравнение, где x - неизвестная функция, t - независимая переменная, оно приводится к линейному уравнению с постоянными коэффициентами. Такая замена позволяет упростить уравнение и сделать его решение более удобным.
Какие задачи могут приводить к линейным обыкновенным дифференциальным уравнениям второго порядка?
Линейные обыкновенные дифференциальные уравнения второго порядка могут возникать в различных задачах физики, экономики, биологии и других науках. Например, они могут моделировать колебания в механических системах, электрические цепи, гармонические осцилляторы и т.д.
Что такое линейное однородное дифференциальное уравнение (ЛОДУ)?
Линейное однородное дифференциальное уравнение (ЛОДУ) - это уравнение, в котором все его члены образуют линейную комбинацию неизвестной функции и её производных. Такое уравнение всегда имеет нулевое решение и любая его линейная комбинация также является решением.
Как найти фундаментальную систему решений и общее решение линейного однородного дифференциального уравнения (ЛОДУ)?
Для нахождения фундаментальной системы решений и общего решения ЛОДУ необходимо решить его характеристическое уравнение, которое получается заменой функции на экспоненту. После решения характеристического уравнения, полученные корни подставляются в формулу для фундаментальной системы решений. Общее решение ЛОДУ получается с помощью линейной комбинации фундаментальных решений.
Какие еще задачи могут приводить к линейным обыкновенным дифференциальным уравнениям второго порядка?
Линейные обыкновенные дифференциальные уравнения второго порядка могут возникать в задачах нахождения траекторий движения частиц, описании колебаний в электронных системах, моделировании популяционной динамики и многих других.
Каким образом уравнение приводится к линейному уравнению с постоянными коэффициентами?
Для приведения уравнения к линейному уравнению с постоянными коэффициентами, можно сделать подстановку вида x = e^t, где x - неизвестная функция, t - новая переменная. При такой подстановке уравнение примет вид линейного уравнения, а коэффициенты в нем станут постоянными.
Что такое линейное однородное дифференциальное уравнение (ЛОДУ)?
ЛОДУ - это дифференциальное уравнение, в котором все слагаемые образуют линейную комбинацию искомой функции и ее производных. Например, уравнение вида y'' + a*y' + b*y = 0, где a и b - постоянные коэффициенты, является линейным однородным дифференциальным уравнением второго порядка.