Уравнения математической физики

Продифференцируем дважды полученное выражение по каждой переменнойи подставим в волновое уравнение:Получили, что левая часть равенства зависит только от , а правая от пространственных переменных и . Это равенство может быть соблюдено лишь в том случае, если ни левая, ни правая части не зависят от переменной, то есть равны константе: Пусть Так как то каждое из слагаемых должно быть равно некоторой постоянной:Учитывая нулевые граничные условия, получаем две задачи Штурма-Лиувилля для отыскания функций и и задачу для функции Как было показано в случае со струной, общие решения задачи Штурма-Лиувилля для и имеют вид:Подставим краевые условия в общее решение первой задачи:Чтобы получить ненулевое решение, нужно, чтобы не равнялось нулю. Тогда и Аналогично, дляиз краевых условий получаемМы определили собственные числа и, соответствующие номерам и , теперь запишем собственные функции для каждого собственного числа:Уравнение для примет вид:Его решения:собственные частоты колебаний мембраны.Подставляя найденные функции в произведениедля каждой пары номеров и будем иметь решение: и пробегают целые положительные значения 1, 2, 3, … независимо друг от друга.. Общее решение записывается в виде суммы двойного ряда:Используя начальные условия, получим коэффициенты и Подставим в ряд и приравняем к первому начальному условию затем продифференцируем ряд в точке и приравняем ко второму начальному условию Полученные выражения представляют собой разложения функций и в двойные ряды Фурье по системе собственных функций Коэффициенты разложений определяются по формулам:Данное выражение для определяет смещение мембраны в любой точке области для любого момента времени . Система функций ортогональна в области , то есть при , в ином случае интеграл равен Рассмотрим малые поперечные колебания круглой мембраны, вызванные начальным отклонением и начальной скоростью . Математическая постановка задачи будет иметь вид:Используя метод разделения переменных, решение будем искать в виде:зависит только от переменной , а - только от. Подставим это выражение для в уравнение тогда получимДля выполнения равенства ряды должны быть равны почленно:Разделяя переменные, находим:левая часть зависит только от , а правая – только от . В этом заключается метод разделения переменных. Приравняем обе части уравнения к константе:уравнение Бесселя нулевого поядка. Для функции получим задачу Штурма-Лиувилля (задачу на собственные значения):Положительные собственные числа задачи Штурма-Лиувилля и соответствующие им собственные функции имеют вид:где - корни уравнения .Функции и разлагаются в ряд Фурье:коэффициенты разложений и находятся по формулам:Задача Коши для функции:Решая дифференциальное уравнение, общее решение задачи запишем в виде:Используя начальные условия и , получаем значения констант:Таким образом, решение имеет вид:Учитывая, что , запишем общее решение дляв виде суммы ряда:где коэффициенты:Таким образом, получили решение задачи о колебаниях круглой мембраны с начальным смещением и начальной скоростью.3.3 Пример задачи Квадратная мембрана со стороной закреплена по контуру. Начальное отклонение в каждой точке имеет вид:Начальная скорость равна нулю:Найти закон колебаний мембраны Решение. Будем решать задачу методом Фурье. Общее решение определяется двойным рядом:с коэффициентами В нашем случае Тогда при любых , а коэффициенты определяются соотношениями:В силу ортогональности системы собственных функций Таким образом, интегралтолько при в остальных случаях он обращается в ноль. Это значит, что из всех коэффициентов только :Собственные частоты при При Подставляя полученные значения в выражение для, имеем окончательное решение:Пусть Построим графики колебания мембраны для разных моментов времени.Для Для ЗаключениеВ данной курсовой работе были рассмотрены основные излучатели звуковых колебаний: струна и мембрана. Эти излучатели обеспечивают звучание таких музыкальных инструментов, как скрипка и барабан. Разница в звучании этих инструментов обусловлена разными собственными частотами и тембром, который, в свою очередь, зависит от способа извлечения звука, формы и размера резонатора и т. д. Колебания как струны, так и мембраны описываются волновым уравнением. Начально-краевая задача для волнового уравнения была решена методом разделения переменных, или методом Фурье.ЛитератураТихонов А. Н., Самарский А. А. Уравнения математической физики. – М.: Наука, 1977. – 735 с.Владимиров В. С. Уравнения математической физики. – М.: Наука, 1981. – 512 с.Владимиров В. С. Сборник задач по уравнениям математической физики. – М.: Физматлит, 2003. – 288 с.Мартинсон Л. К., Малов Ю. И. Дифференциальные уравнения математической физики. – М.: Издательство МГТУ им. Баумана, 2011. – 367 с.Демьянов Ю. А, Малашин А. А. Почему звучат струнные музыкальные инструменты? // Природа. – 2008. – №8.Будак Б. М. Самарский А. А., Тихонов А. Н. Сборник задач по математической физике. – М.: Гостехиздат, 1956. – 683 с.Куликов Г. М., Нахман А. Д. Метод Фурье в уравнениях математической физики.– Тамбов: Тамбовский государственный технический университет, 2000. – 155 с.Ландсберг Г. С. Элементарный учебник физики. Т.3. Колебания и волны. Оптика. Атомная и ядерная физика. – М.: Наука, 1985. – 656 с.Кошляков Н. С., Глинер Э. Б., Смирнов М. М. Уравнения в частных производных математической физики. – М.: Высшая школа, 1970. – 712 с.АрамановичИ. Г., Левин В. И. Уравнения математической физики. – М.: Наука, 1969. – 228 с. Емельянов В. М., Рыбакина Е. А. Уравнения математической физики. Практикум по решению задач. – СПб.: Издательство Лань, 2008. – 224 с.