Числовые функции тау, сигма, фи

Теорема 319 доказана.Так как пределпри N→∞то при больших Nполучаем асимптотическое равенство:~lnN.Это значит, что при больших Nна долю каждого из первых Nнатуральных чисел в среднем приходится lnNделителей.Свойство 11 (Теорема 320, [1, c.325]). Среднее значение функции σ(n), выражающей сумму делителей n на сегменте [1; N] равно:.Доказательство:Так как вместе с dвеличина δ=n/dтакже пробегает все положительные делители числа n,то . (1)Заменяя nчерез sd, видим, что, когда nпробегает значения, кратные dи меньшие, чем N, величина sпробегает целые значения от 1 до наибольшего целого числа, не превосходящего N/d, т.е. до [N/d], и, таким образом: . (2)Из (1) и (2) получаем: .[N/d]≤N/d<[N/d]+1, так что [N/d] и [N/d]+1 отличаются отN/dна величину, по модулю меньшую, чем 1, т.е.[N/d] = N/d + O(1), [N/d] + 1 = N/d + O(1),где каждое O(1) по модулю меньше чем 1.= ,(3)так как по теореме 54.Заметим, что,так что. (4)Из равенств (3) и (4) получаем:, (5)Так что среднее значение функции σ(n), выражающей сумму делителей n на сегменте [1; N] равно:.Теорема 320 доказана.Заметим, что при больших Nполучаем асимптотическое равенство:~.Для первых Nнатуральных чисел средняя величинаделителей примерно равна .Свойство 12 (теорема 321, [1, c.326]). Среднее значение функции Эйлера φ(n) на сегменте [1; N] равно:.Доказательство:Следствием теоремы 317 (Мёбиус) об обращении функций является формула (11) из главы 33 [1, c.320],где: d|nопределяетdкак делитель n, μ(d) – функция Мёбиуса[1, c.319].Тогда:.При доказательстве теоремы 320 было получено тождество (2) ,так что .Заменяя, как и в теореме 320, и наимеем: (6).Здесь использовалась оценка [1, c.52] из теоремы 52 и то, что | μ(d) |≤1:,а также оценка (4) (см. доказательство теоремы 320 выше):,А согласно теореме 318 [1, c.322] о дзета-функции Римана ζ(n)Деля полученное выражение (6) для суммы Nфункций Эйлера на N, приходим к выражению:.Теорема 321 доказана.Вывод. Свойства 10-12 дают оценку средних значений функций τ(n), σ(n) и φ(n), запишем эти оценки рядом:;;.ЗаключениеНесколько слов о применимости теории чисел. В книге [1], изданной в 1966 году, об этом не сказано ни слова. Например, о криптографии.Криптография, или тайнопись, известна с незапамятных времен. Нужда в ней возникала всякий раз, когда людям приходило в голову, что-либо скрыть. От противников, обычно, скрывали военные или государственные секреты, а от непосвященных тайные истины и обряды.Криптографию часто путают с ее сестрой – теорией кодирования. Если мы, просматривая страницу Интернета, случайно, поставим в браузере какой-нибудь экзотический шрифт, то на экране увидите знаменитые «кракозябры», выглядящие как шифртекст. Однако это не криптография. Тот, кто узнает, что означает каждый из экзотических символов, тоже сможет читать «шифртекст» так же, как и мы.Кодирование можно использовать для сокрытия тайны сообщения, но очень ограниченное время, пока способ кодирования не станет общеизвестным. В кодировании сокрытие информации обеспечивается секретностью алгоритма кодирования. В криптографии же тайна обеспечивается секретностью некоторого параметра алгоритма, называемого ключом. Этот параметр может изменяться и его всегда нужно держать в секрете.Поскольку шифровать приходится тест, звук, изображение, а не просто набор цифр и символов, то, кажется, что чистая математика, а тем более ее самый абстрактный раздел теория чисел, в этом деле может помочь очень мало. К счастью для математиков, и, к сожалению, для потребителей, это совсем не так. В конечном счете, все сводится к математике, к алгебре, к теории чисел.Все современные крипто-алгоритмы используют важные понятия алгебры – векторные пространства, линейные преобразования, неприводимые многочлены, конечные поля, расширения полей и колец, конечные группы, перестановки, эллиптические кривые, признаки простоты простых чисел и т.д.Список литературы1 Бухштаб А.А. Теория чисел. М.: Изд-во «Просвещение», 1966. – 384с.