Решение конструкторско-технологических задач с использованием вероятностно-статистических методов

По таблице Стьюдента находимtкрит(n-m-1;α/2) = (20;0.025) = 2.086. Поскольку tнабл > tкрит, то отклоняем гипотезу о равенстве 0 коэффициента корреляции. Другими словами, коэффициент корреляции статистически - значимРассчитаем наблюдаемые значения t-статистики для ryx2 по формуле:Поскольку tнабл < tкрит, то принимаем гипотезу о равенстве 0 коэффициента корреляции. Другими словами, коэффициент корреляции статистически - не значим.Рассчитаем множественный коэффициент корреляции (Индекс множественной корреляции).Тесноту совместного влияния факторов на результат оценивает индекс множественной корреляции.В отличии от парного коэффициента корреляции, который может принимать отрицательные значения, он принимает значения от 0 до 1.Поэтому R не может быть использован для интерпретации направления связи. Чем плотнее фактические значения yi располагаются относительно линии регрессии, тем меньше остаточная дисперсия и, следовательно, больше величина Ry(x1,...,xm).Таким образом, при значении R близком к 1, уравнение регрессии лучше описывает фактические данные и факторы сильнее влияют на результат. При значении R близком к 0 уравнение регрессии плохо описывает фактические данные и факторы оказывают слабое воздействие на результат.Связь между признаком Y и факторами Xi сильная. При этом коэффициент детерминацииR2 = 0.995. Чем ближе этот коэффициент к единице, тем больше уравнение регрессии объясняет поведение Y.Добавление в модель новых объясняющих переменных осуществляется до тех пор, пока растет скорректированный коэффициент детерминации.В результате расчетов было получено уравнение множественной регрессии: Y = -4.393 + 1.5352X1-0.00689X2. Возможна интерпретация параметров модели: увеличение X1 на 1 ед.изм. приводит к увеличению Y в среднем на 1.535 ед.изм.; увеличение X2 на 1 ед.изм. приводит к уменьшению Y в среднем на 0.00689 ед.изм. Наибольшее влияние на результат Y оказывает фактор X1. Статистическая значимость уравнения проверена с помощью коэффициента детерминации. Установлено также, что параметры модели статистически не значимы.ЗАДАНИЕ 4.2Построить регрессионную модель по экспериментальным данным зависимости производительности yоперации шлифования (шт/час) от содержания механических примесей x1 (мг/л), соды x2(г/л), нитрата натрия x3(г/л) в смазочно-охлаждающей жидкости, используемой при шлифовании.Таблица 12 - Исходные данныеyx1x2x3613091,81,8542204465905,65,6531005,15,1561567,56,6541106,97,6571406,58702006,49,2821356,78,357466,91,551408,51,968327,52Определим вектор оценок коэффициентов регрессии. Согласно методу наименьших квадратов, вектор s получается из выражения: s = (XTX)-1XTYК матрице с переменными Xj добавляем единичный столбец:Умножаем матрицы, (XTX)12157873.461.615782809828371.18605.373.48371.1484.68386.5461.68605.3386.54405.32В матрице, (XTX) число 12, лежащее на пересечении 1-й строки и 1-го столбца, получено как сумма произведений элементов 1-й строки матрицы XT и 1-го столбца матрицы X.Умножаем матрицы, (XTY)728964434457.43839.1Находим обратную матрицу (XTX)-1(X X) -1 =6,524-0,0166-0,80,124-0,01665,2E-50,00202-0,000518-0,80,002020,107-0,02310,124-0,000518-0,02310,0167Вектор оценок коэффициентов регрессии равенY(X) =6,524-0,0166-0,80,124-0,01665,2E-50,00202-0,000518-0,80,002020,107-0,02310,124-0,000518-0,02310,0167*728964434457,43839,1=57,947-0,00658-0,4471,231Уравнение регрессии (оценка уравнения регрессии)Y=57.9473-0.00658X1-0.4473X2 +1.2313X3Найдем парные коэффициенты корреляции.Таблица 13 - Вспомогательные расчетыПризнаки x и yДля y и x11578131.572860.667964438036.917Для y и x273.46.11772860.6674457.4371.45Для y и x361.65.13372860.6673839.1319.925Для x1 и x273.46.1171578131.58371.1697.592Для x1 и x361.65.1331578131.58605.3717.108Для x2 и x361.65.13373.46.117386.5432.212Дисперсии и среднеквадратические отклонения.Признаки x и yДля y и x16122.91775.38978.2498.683Для y и x22.97675.3891.7258.683Для y и x37.42675.3892.7258.683Для x1 и x22.9766122.9171.72578.249Для x1 и x37.4266122.9172.72578.249Для x2 и x37.4262.9762.7251.725Рассчитаем наблюдаемые значения t-статистики для ryx1 по формуле:где m = 1 - количество факторов в уравнении регрессии.По таблице Стьюдента находим tкрит(n-m-1;α/2) = (10;0.025) = 2.228Поскольку t < tкрит, то принимаем гипотезу о равенстве 0 коэффициента корреляции. Другими словами, коэффициент корреляции статистически - не значим.Рассчитаем наблюдаемые значения t-статистики для ryx2 по формуле:Поскольку t < tкрит, то принимаем гипотезу о равенстве 0 коэффициента корреляции. Другими словами, коэффициент корреляции статистически - не значим.Рассчитаем наблюдаемые значения t-статистики для ryx3 по формуле:Поскольку t < tкрит, то принимаем гипотезу о равенстве 0 коэффициента корреляции. Другими словами, коэффициент корреляции статистически - не значим.Рассчитаем Множественный коэффициент корреляции (Индекс множественной корреляции).Тесноту совместного влияния факторов на результат оценивает индекс множественной корреляции.В отличии от парного коэффициента корреляции, который может принимать отрицательные значения, он принимает значения от 0 до 1.Поэтому R не может быть использован для интерпретации направления связи. Чем плотнее фактические значения yi располагаются относительно линии регрессии, тем меньше остаточная дисперсия и, следовательно, больше величина Ry(x1,...,xm).Таким образом, при значении R близком к 1, уравнение регрессии лучше описывает фактические данные и факторы сильнее влияют на результат. При значении R близком к 0 уравнение регрессии плохо описывает фактические данные и факторы оказывают слабое воздействие на результат.Связь между признаком Y и факторами Xi не сильная. При этом коэффициент детерминацииR2=0.36262 =0.1315.В результате расчетов было получено уравнение множественной регрессии: Y = 57.9473-0.00658X1-0.4473X2 + 1.2313X3. Возможна интерпретация параметров модели: увеличение X1 на 1 ед.изм. приводит к уменьшению Y в среднем на 0.00658 ед.изм.; увеличение X2 на 1 ед.изм. приводит к уменьшению Y в среднем на 0.447 ед.изм.; увеличение X3 на 1 ед.изм. приводит к увеличению Y в среднем на 1.231 ед.изм. Статистическая значимость уравнения проверена с помощью коэффициента детерминации. Установлено, что в исследуемой ситуации 13.15% общей вариабельности Y объясняется изменением факторов Xj. Установлено также, что параметры модели статистически не значимы.ЗАКЛЮЧЕНИЕВ курсовой работе произведены расчеты основных статистических характеристик, а именно: дисперсия, математическое ожидание, среднеквадратическое отклонение и другие для заданной выборки. Также было определено, что выборка подчиняется нормальному закону распределения случайной величины по критерию согласия Пирсона. Определен 95 % доверительный интервал для математического ожидания и найдена относительная погрешность вычислений.Построены линейная и множественная модели регрессии для заданных вариантов значений выходных переменных. На основании модели линейной регрессии были рассчитаны значения выходной переменной, результат показал, что отклонения расчетных значений от экспериментальных минимальное. Для множественных моделей регрессии была произведена оценка значимости.