Статистические модели макроэкономики. Модель Леонтьева.

Можно показать, что при выполнении этих двух условий матрица B = (E - A)-1 существует и если ее элементы неотрицательны. Говорят, что в этом случае матрица прямых затрат А является продуктивной.
Перепишем формулу:
X = BY, Матрица В носит название матрицы полных материальных затрат, а ее элементы bij называют коэффициентами полных материальных затрат. Коэффициент bij показывает, каков должен быть валовый выпуск i-й отрасли для того, чтобы обеспечить выпуск единицы конечного продукта j-й отрасли.
Можно показать, что
B = E + A + A2 + A3 + ... Умножим обе части на (E - A):
B(E - A) = (E + A + A2 + A3 + ...)(E - A),   B(E - A) = E + A + A2 + A3 + ..- A - A2 - A3 - ...,   B(E - A) = E,   B = E / (E - A),   B = (E - A)-1.   Из сотношения следует bij ≥ aij,     Таким образом, коэффициент полных материальных затрат bij, описывающий потребность в выпуске продукции i-й отрасли в расчете на единицу конечного продукта j-й отрасли, не меньше коэффициента прямых материальных затрат aij, рассчтываемого на единицу валового выпуска.
Кроме того, из соотношения для диагональных элементов матрицы B следует:
bii ≥ 1,     Взаимосвязь коэффициентов прямых и полных материальных затрат проще всего проследить на примере: пусть единицей выпуска хлебопекарной промышленности является хлеб (рисунок1).


Рисунок 1 - Взаимосвязь коэффициентов прямых и полных материальных затрат
Полные затараты электроэнергии для нашего примера складываются из прямых затрат и косвенных затрат всех уровней. Косвенные затраты высоких уровней являются незначительными и при практических расчетах ими можно принебречь.

Теория трудовой стоимости Маркса в модели Леонтьева

Предполагается, что труд выражается в единицах труда одинаковой степени сложности. Обозначим затраты живого труда в производстве j-го продукта через Lj, объем выпущенной продукции, как и прежде, Xj. Тогда коэффициент прямых затрат труда:
  Определим полные затраты труда, как сумму прямых затрат живого труда и затрат овеществленного труда, перенесенного на продукт через израсходованные средства производства.
Формирование полных затрат труда в модели происходит по схеме, представленной на рисунке 3.2.


Рисунок 3.2 - Порядок формирования полных затрат труда
где Tj - полные затраты труда на единицу j-го продукта;
tj - прямые затраты труда на единицу j-го продукта;
aijTi - затраты овеществленного труда, перенесенного на j-й продукт через i-е средство производства.
Таким образом:
    Иначе, если известны коэффициенты полных материальных затрат bij, можно записать:
    Более компактно соотношение можно записать в матричном виде:
T = tB,   где T = (T1, T2, ..., Tn) - вектор-строка коэффициентов полных затрат труда;
t = (t1, t2, ..., tn) - вектор-строка коэффициентов прямых затрат труда.

Аналогично трудовым затратам в межотраслевой модели могут быть учтены показатели фондоемкости изделий.

Практическое задание

Даны вектор непроизводственного потребления с, матрицы межотраслевого баланса А и А’.



Рассчитать матрицу В
Согласно первому критерию продуктивности, модель Леонтьева с матрицей А продуктивна тогда и только тогда, когда существует неотрицательная матрица В=(I-A)^(-1).
Найдем матрицу В:


1,6 0,8 B= 0,8 2,4
Найти вектор валового выпуска х, обеспечивающий данный вектор потребления.

Продуктивная модель Леонтьева позволяет произвести неотрицательный вектор потребления х для любого вектора потребления С.

8 х= 16
Рассчитать произведение вектора на матрицу Ах.
Экономика, характеризуемая матрицей А и векторами с и х, нахывается высокоэффективной, если Ах<=c.

В нашем случае Ах>C.
Рассчитаем х’.










21