Исследование методов нелинейной динамики и разработка информационной системы анализа природно-экономических систем

В разделе «Мультифрактальный анализ флуктуаций с детерминированными временными рядами» MFDFA получается путем расширения q-порядка всей RMS. Среднеквадратичное отклонение q-порядка может различать сегменты с небольшими и большими колебаниями. Степенное соотношение между среднеквадратичным значением q-порядка численно идентифицируется как показатель Херста q-порядка. В разделе «Мультифрактальный спектр временных рядов» несколько мультифрактальных спектров вычисляются из показателя Херста q-порядка. В разделе «Прямая оценка мультифрактального спектра» представлена ​​альтернативная версия MFDFA, которая вычисляет мультифрактальный спектр непосредственно из локальных флуктуаций без полного среднеквадратического значения q-порядка.Шум и случайное отклонение, как изменение во временном рядуКрасные следы на рисунке 1 показывают обычное случайное блуждание (нижняя панель), монофрактальное случайное блуждание (средняя панель) и мультифрактальное случайное блуждание (верхняя панель). Свойство фрактала этих случайных блужданий отражается в их сходстве «картинка в картинке», как показано на верхней панели рисунка 1. Небольшие «холмы» и «долины» с похожей структурой появляются при увеличении больших «холмов» и «долиныслучайногоблуждания. DFA используется для временных рядов со структурой, подобной случайному блужданию. Тем не менее, большинство временных рядов имеют колебания, которые больше похожи на приращения случайных блужданий (Синийцвет на рисунке 3.1). Если временной ряд имеет шумоподобную структуру голубых следов на рисунке 1, он должен быть преобразован в случайный ход, подобный временному ряду, перед использованием DFA. Шумы могут быть преобразованы в случайные прогулки путем вычитания среднего значения и интегрирования временного ряда. Временные ряды: whitenoise, monofractal, и multifractal - это шумоподобные временные ряды и преобразуются в случайные блуждания, подобные временным рядам, с помощью кода Matlab 1 ниже:Matlab code 1:RW1=cumsum(whitenoise-mean(whitenoise));RW2=cumsum(monofractal-mean(monofractal));RW3=cumsum(multifractal-mean(multifractal));Рис. 3.1. Мультифрактальный временной ряд (верхняя панель), монофрактальный (средняя панель) и белый шум (нижняя панель) показаны синим цветом. Это примеры шумов, таких как временные ряды, используемые в настоящем руководстве. Все временные ряды содержат 8000 выборок данных, в каждой из которых номера выборок обозначены горизонтальной осью. Matlabcode 1 преобразует шумы (синие следы) в случайные блуждания (красные следы), которые имеют сходство «картинка в картинке» (подзаговор в верхней панели). Обратите внимание, что мультифрактальный временной ряд имеет отчетливые периоды с небольшими и большими колебаниями в отличие от временных рядов монофрактальных и белых. Целью этого раздела является введение MFDFA, который количественно определяет структуру колебаний в периоды с небольшими и большими колебаниями.Вычисление среднеквадратичного изменения временного рядаТрадиционный анализ вариаций в временных рядах состоит в том, чтобы вычислить среднее отклонение в виде RMS. Читатель может использовать код 2 Matlab ниже для вычисления RMS для временного рядаwhitenoise, monofractal, and multifractal:Matlab code 2:RMS_ordinary=sqrt(mean(whitenoise.^2));RMS_monofractal=sqrt(mean(monofractal.^2));RMS_multifractal=sqrt(mean(multifractal.^2));На рисунке 3.2 показано, что средняя амплитуда вариации (то есть среднеквадратичное отклонение) одинакова для всех трех временных рядов: белого, монофрактального и мультифрактального, даже если они имеют совершенно разные структуры. Рисунок 3.2. Мультифрактальный  multifractalвременной ряд (верхняя панель), монофрактальный monofractal(средняя панель) и белый цвет whitenoise (нижняя панель) с нулевым средним (красные пунктирные линии) и ± 1 среднеквадратичным значением (красные сплошные линии). Все временные ряды имеют одинаковую RMS = 1, но совершенно разную структуру. RMS чувствительна только к различиям в амплитуде вариации, а не к различиям в структуре вариации. Обратите внимание на различное масштабирование для вертикальной оси мультифрактального временного ряда.Локальное среднеквадратичное изменение во временном рядуВременные ряды мультифракталов в верхней панели имеют локальные флуктуации как больших, так и малых величин. Среднеквадратическое значение в коде Matlab 2 может быть вычислено для сегментов временного ряда, чтобы различать величины локальных колебаний. Простая процедура состоит в том, чтобы разрезать временной ряд на непересекающиеся сегменты одинакового размера и вычислить локальное RMS для каждого сегмента. Это может быть сделано с помощью кода Matlab 3 ниже и является основной процедурой MFDFA:Matlab code 3:X=cumsum(multifractal-mean(multifractal));X=transpose(X);scale=1000;m=1;segments=floor(length(X)/scale);for v=1:segments  Idx_start=((v-1)*scale)+1;  Idx_stop=v*scale;  Index{v}=Idx_start:Idx_stop;  X_Idx=X(Index{v});  C=polyfit(Index{v},X(Index{v}),m);  fit{v}=polyval(C,Index{v});  RMS{1}(v)=sqrt(mean((X_Idx-fit{v}).^2));endПервая строка кода 3 Matlab преобразует шум, подобный временному ряду, мультифракталуmultifractal, в случайное блуждание, подобное временному ряду X (т.е. код Matlab 1). В третьей строке кода 3 Matlab задается масштаб параметраscale, который определяет размер выборки неперекрывающихся сегментов, в которых вычисляются локальные среднеквадратичные среднеквадратичные значения RMS{1}{1}. Пятая строка - это количество сегментовsegments, на которые можно разделить временной ряд X, где длина (X) - это размер выборки временного ряда X. Таким образом, сегменты segments= 8, когда длина (X) length(X)= 8000 и масштаб scale = 1000. Шестая до четырнадцатой строки - цикл, который вычисляет локальную среднеквадратичную среднеквадратичную величину вокруг соответствия тренда {v} fit{v} для каждого сегмента путем обновления индекса времени Index(см. красные аргументы vв коде Matlab 3). В первом цикле v = 1 v = 1индекс {1} Index{1}переходит от выборки 1 к выборке 1000. Во втором цикле v = 2 v = 2индекс {2} Index{2}переходит от выборки 1001 к выборке 2000. В последнем цикле v = 8 v = 8Индекс {8} Index{8}идет от выборки 7001 до 8000.Локальный детрендинг временного рядаМедленно изменяющиеся тренды присутствуют во временных рядах, и поэтому для количественного определения масштабно-инвариантной структуры изменения этих тенденций требуется изменение тренда сигнала.В коде Matlab 3 подгонка полиномиального тренда {v} подгоняется к X внутри каждого сегмента v (Синие командные строки в коде Matlab 3). Первая синяя командная строка - это параметр m, который определяет порядок полинома. Полиномиальный тренд линейный, когда m = 1, квадратичный, когда m = 2, и кубический, когда m = 3 (см. Рисунки 3A – C). Первая синяя командная строка в цикле определяет полиномиальные коэффициенты C, используемые для создания соответствия полиномиального тренда {v} каждого сегмента (см. Пунктирные красные линии на рисунке 3). Затем вычисляется локальное отклонение RMS {1} (v) для остаточного отклонения X (Index {v}) - fit {v} в каждом сегменте v. Местное отклонение RMS {1} (v), На рисунке 3 показано расстояние между красными пунктирными линиями и красными сплошными линиями.Рисунок 3.3. Вычисление локальных флуктуаций, RMS {1}, вокруг линейных (A), квадратичных (B) и кубических трендов (C) по коду Matlab 3 (m = 1, m = 2 и m = 3 соответственно). Красная пунктирная линия - это подогнанная тенденция, подгонка {v}, в восьми сегментах выборки размером 1000. Расстояние между красной пунктирной тенденцией и сплошными красными линиями составляет ± 1 RMS {1}. Локальное отклонение, RMS {1}, вокруг трендов является основным «строительным блоком» анализа отклоненных колебаний.3.4. Монофрактальный анализ флуктуацийВ DFA изменение локального RMS {1} количественно определяется по общему RMS (F) в коде Matlab 4 ниже:Matlab code 4:F=sqrt(mean(RMS{1}.^2));Быстро меняющиеся флуктуации во временном ряду X будут влиять на общую среднеквадратичную величину F для сегментов с небольшими размерами выборки (то есть с малым масштабом), в то время как медленно меняющиеся флуктуации будут влиять на F для сегментов с большим размером выборки (то есть с большим масштабом). Следовательно, функция масштабирования F должна рассчитываться для нескольких размеров сегментов (то есть для нескольких масштабов), чтобы подчеркнуть как быстрые, так и медленные развивающиеся флуктуации, которые влияют на структуру временного ряда. Функция масштабирования F (ns) может быть рассчитана для нескольких масштабов путем включения кодов Matlab 3 и 4 в новый цикл, помеченный как красные командные строки и аргументы ns ниже:Matlab код 5 часть 1 Matlabcode 5  X=cumsum(multifractal-mean(multifractal));X=transpose(X);scale=[16, 32, 64, 128, 256, 512, 1024];m=1;for ns=1:length(scale), segments(ns)=floor(length(X)/scale(ns)); for v=1:segments(ns),  Idx_start=((v-1)*scale(ns))+1;  Idx_stop=v*scale(ns);  Index{v,ns}=Idx_start:Idx_stop;  X_Idx=X(Index{v,ns});  C=polyfit(Index{v,ns},X(Index{v,ns}),m);  fit{v,ns}=polyval(C,Index{v,ns});  RMS{ns}(v)=sqrt(mean((X_Idx-fit{v,ns}).^2)); end F(ns)=sqrt(mean(RMS{ns}.^2));endВ первой красной командной строке читатель задает вектор с несколькими размерами сегментов (то есть масштабами). Во второй красной командной строке запускается цикл, в котором код 3 Matlab вычисляется от наименьшего к наибольшему масштабу. Размер выборки сегмента, масштаб (нс) scale(ns), обновляется красным индексом нс ns. Локальная флуктуация, RMS {ns} RMS{ns}, представляет собой набор векторов, где каждый вектор имеет длину, равную количеству сегментов [то есть сегментов (ns) segments(ns)]. В первом цикле для ns = 1 ns = 1среднеквадратическое значение локальной флуктуации {1} RMS{1}представляет собой вектор локальных среднеквадратичных значений, вычисленных для 500 сегментов [т.е. сегментов (1) segments(1)], каждый из которых содержит 16 выборок [т.е. масштаб (1) scale(1)]. В последнем цикле для ns = 7ns = 7 среднеквадратическое значение локальной флуктуации {7} RMS{7}представляет собой вектор с локальными среднеквадратичными значениями, вычисленными для семи сегментов [то есть сегментов (7) segments(7)], каждый из которых содержит 1024 выборки [то есть масштаб (7) scale(7)]. В последней командной строке функция масштабирования (т. Е. Общее среднеквадратическое значение) F (ns) F(ns)вычисляется для нескольких масштабов с помощью кода Matlab 4. На рисунке 3.4 показаны локальные флуктуации RMS {ns} RMS{ns}и общее среднеквадратичное значение F ( нс)F(ns), для нескольких шкал.Рисунок 3.4. Локальные флуктуации, RMS {ns}RMS{ns}  (синие линии), вычисленные с помощью кода 5 Matlab для сегментов с несколькими размерами сегментов (т.е. масштаб). Функция масштабирования F {ns} - это общее среднеквадратическое значение (красная линия) среднеквадратичного отклонения {ns}RMS{ns} . Обратите внимание, что F {ns} уменьшается в меньших масштабах.DFA идентифицирует монофрактальную структуру временного ряда как отношение степенного закона между всей среднеквадратической среднеквадратичной величиной (т.е. F в коде 4 Matlab), вычисленной для нескольких масштабов (то есть масштаб scale в коде 5 Matlab). Степенная зависимость между среднеквадратическим средним показателем определяется наклоном (H) линии регрессии (RegLineRegLine), рассчитанной по коду Matlab 6 ниже:Matlab код 6: часть 2 DFAMatlab code 6:  Part 2 of DFAC=polyfit(log2(scale),log2(F),1);H=C(1);RegLine=polyval(C,log2(scale));Наклон H линии регрессии RegLine называется показателем Херста (Hurst, 1951). Показатель Херста определяет монофрактальную структуру временных рядов тем, насколько быстро растет общее среднеквадратичное значение F локальных флуктуаций (среднеквадратичное значение) с увеличением размера выборки сегмента (то есть масштаба). На рисунке 3.5 показано, что общее среднеквадратическое значение F локальных флуктуаций (среднеквадратичное отклонение) растет быстрее с размером выборки сегмента для временных рядов монофрактальных и мультифрактальных значений по сравнению с временными рядами белого цвета. Рисунок 3.5. График общего среднеквадратичного значения (т. е. F в Matlab code5) в зависимости от размера выборки сегмента (т. е. масштаб в Matlab code5), где F и масштаб представлены в лог-координатах. Отношение инварианта масштаба обозначается наклоном H линий регрессии RegLine, вычисленным с помощью Matlabcode6. Наклон H, является степенным показателем степени, называемым показателем Херста, потому что F и масштаб представлены в лог-координатах. Как монофрактальный, так и мультифрактальный временные ряды имеют более явные медленные флуктуации по сравнению с белым шумом, на который указывает более высокая амплитуда мягкого общего среднеквадратичного значения в больших масштабах.Больший показатель Херста, H, визуально рассматривается как более медленно развивающиеся вариации (то есть, более устойчивая структура) во временных рядах монфракталов и мультифракталов по сравнению с белым шумом. На рисунке 3.6 показано, что показатели Херста определяют континуум между шумом, подобным временному ряду, и случайным ходом, подобным временному ряду. Показатель Херста будет в интервале от 0 до 1 для шума, подобного временному ряду, тогда как выше 1 для случайного блуждания, подобного временному ряду. Временной ряд имеет зависимую от дальнего расстояния (т.е. коррелированную) структуру, когда показатель Херста находится в интервале 0,5–1, и антикоррелированную структуру, когда показатель Херста находится в интервале 0–0,5.Рисунок 3.6. Показатели Херста определяют континуум между шумом временного ряда, и случайным ходом временному ряду3.5.Многофрактальный флуктуационный анализ временных рядовСтруктура временных рядов (monofractal)монофракталов и мультифракталов различна, даже если они имеют схожую общую среднеквадратичную величину и наклоны H как на рисунке 3.5. Мультифрактальные временные ряды имеют локальные флуктуации как с экстремальными малыми, так и большими величинами, которые отсутствуют во временных рядах монофракталов. Отсутствие флуктуаций с экстремально большими и малыми величинами приводит к нормальному распределению временных рядов монофракталов, где изменение описывается вторым порядком –только статистический момент (т. е. дисперсия). Монофрактальные DFA - это повторные данные, основанные на статистике второго порядка всей RMS (т. е. F в коде Matlab 4). В мультифрактальных временных рядах локальные флуктуации,RMS {ns} (v), будет чрезвычайно большой величиной для сегментов v в течение периода времени мягких колебаний и экстремально малой величины для сегментов v в периоды времени малых колебаний. Следовательно, мультифрактальные временные ряды не имеют нормального распределения, и следует учитывать все статистические моменты q-порядка. Таким образом, необходимо расширить общее среднеквадратичное значение в монофрактальном DFA (т. Е. F в Matlabcode4) до следующего q-порядка RMS мультифрактального DFA (Fq в Matlabcode7 ниже):Matlabcode7:q=[-5,-3,-1,0,1,3,5];for nq=1:length(q),qRMS{1}=RMS{1}.^q(nq);Fq(nq)=mean(qRMS{1}).^(1/q(nq));endFq(q==0)=exp(0.5*mean(log(RMS{1}.^2)));Первая командная строка в Matlabcode7 определяет набор q-порядков от −5 до 5. Вторая строка запускает цикл, который вычисляет общее среднеквадратичное значение q-порядка Fq (nq) от отрицательного до положительного q (см. Красные аргументы nq ). Q-порядок взвешивает влияние сегментов с большими и малыми флуктуациями, RMS {1}, как показано на рисунке 7. Fq (nq) для отрицательных q (т. Е. Nq = 1–3) - это влияние сегментов v с малым среднеквадратическим значением {1} (v). Напротив, на Fq (nq) для положительных q (т.е. nq = 4–6) влияют сегменты v с большим среднеквадратическим значением {1} (v). Локальные колебания RMS {1} с большими и малыми величинами градуируются по величине отрицательного или положительного q-порядка соответственно.На Fq для q = −3 и 3 больше влияют сегменты v с наименьшим и наибольшим среднеквадратическими значениями {1} (v), соответственно, по сравнению с Fq для q = -1 и 1 (см. рисунок 7). Средняя точка q = 0 нейтральна к влиянию сегментов с малым и большим среднеквадратичным значением {1}. Обратите внимание, что последняя строка Matlabcode7 переопределяет специальный случай q (nq) = 0, потому что 1/0 уходит в бесконечность [т. е. 1 / q (q == 0) = inf в Matlab]. Нужно убедиться, что Fq (q = = 2) равны статистике второго порядка F в Matlab code4, потому что sqrt (x) = x∧ (1/2) в Matlab. Монофрактальный DFA в Matlabcode 5 теперь можно расширить до MFDFA, просто изменив Matlabcode4 на Matlabcode7 в последней строке Matlabcode5.ЗаключениеБританский гидролог Хёрст показал, что большинство природных явлений, таких как солнечные пятна, речные стоки, осадки, следуют смещенному случайному блужданию, т.е. тренду с шумом. Оценкой устойчивости тренда и уровня шума может служить изменение нормированного размаха (Rescaled range) – R/S анализ.Фрактальная размерность (D) двух типов самоаффинных сигналов оценивалась с помощью четырех методов анализа сложности фракталов.Методы оценки фрактальной размерности включали в себя:метод Хигучи (Higuchi) для вычисления фрактальной размерности; оценку спектрального затухания (β);обобщенный показатель Херста (H);анализ отклоненных детрендированныхфлуктуаций. Наиболее необъективные результаты были получены спектральным методом. Метод Хигучи и обобщенный показатель Херста были наиболее успешными.Разработана программа MatLabдля оценки показателя Херста методом Хигучи (Higuchi).Список использованной литературыКумратова А. М. Выявление свойств прогнозируемости методами классической статистики / А. М. Кумратова // В сборнике: Актуальные проблемы социально-экономических исследований сборник материалов 6-й Междунар. научно-практ. конф. НИЦ «Апробация». – 2014. – С. 99-101.Кумратова А. М. Исследование тренд-сезонных процессов методами классической статистики / А.М. Кумратова // Политематический сетевой электронный научный журнал КубГАУ. – 2014. – № 103. – С. 312-323.Mandelbrot, B. B. (1983). The fractal geometry of nature, W. H. Freeman,San Francisco.Кумратова А. М. Методы искусственного интеллекта для принятия решений и прогнозирования поведения динамических систем / А. М. Кумратова //Политематический сетевой электронный научный журнал КубГАУ. – 2014. – № 103. –С. 324-341.Перепелица В.А., Попова Е.В. Математические модели и методы оценкирисков экономических, социальных и аграрных процессов. – Ростов н/Д: Изд-во Рост. Ун-та, 2002. –202с.Петерс Э. Хаос и порядок на рынках капитала. Новый аналитический взгляд на циклы, цены и изменчивость рынка / Э. Петерс. - М.: Мир, 2000. - 333 с.Петерс Э. Фрактальный анализ финансовых рынков: Применение теорииХаоса в инвестициях и экономике. – М.: Интернет-трейдинг, 2004. – 304с.Попова Е. В. Методы моделирования поведения экономических систем наоснове анализа временных рядов / Е. В. Попова, А. М. Кумратова, М. И. Mandelbrot B . B. 1985. Self-affine fractals and fractal dimension o Phys. Scr., 32:257-260Mandelbrot B . B. 1987. Fractional Brownian motions, fractional noises andapplications. SIAM Review, 1 0:422-437Попова // Экономическое прогнозирование: модели и методы. Материалы X междунар. научно- практ. конф. – Воронеж. - 2014. - С. 200-206.Попова Е. В. Управление рисками в вопросах безопасности инвестиций вАПК / Е. В. Попова, А. М. Кумратова // Экономическое прогнозирование: модели и методы. Материалы X междунар. научно-практ. конф. - Воронеж, - 2014. - С. 194-200.Сигэл Э. Практическая бизнес-статистика. – М.: Издательский дом«Вильямс», 2004. -1056с.Федер Е. Фракталы. – М.: Мир, 1991. - 260 с.Янгишиева А. М. Моделирование экономических рисков методаминелинейной динамики. Автореферат диссертации на соискание ученой степеникандидата экономических наук / Ставропольский государственный университет.Ставрополь, 2005. – 24 с.Кумратова А. М. Методы многокритериальной оптимизации и классической статистики для оценки риск-эктремальных значений / А. М. Кумратова, Е. В. Попова, Н. В. Третьякова // Известия КубГУ. Естественные науки. 2014. № 1. С. 55-60.Кумратова А. М. Методы нелинейной динамики как основа построениядвухуровневой модели прогноза / А. М. Кумратова // В сборнике: Экономическое прогнозирование: модели и методы материалы X международной научно-практической конференции. Воронеж, 2014. С. 169-174.Кумратова А. М. Оценка и управление рисками: анализ временных рядовметодами нелинейной динамики: монография / А. М. Кумратова, Е. В. Попова. – Краснодар: КубГАУ, 2014. – 212 с.Кумратова А. М. Прогноз динамики экономических систем: клеточный автомат / А. М. Кумратова. – Краснодар: КубГАУ, 2015. – 241 с.Кумратова А. М. Прогнозирование и выявление сезонных компонент временного ряда туристского потоками /А. М. Кумратова, Е. В. Попова, М. И. Попова // В сборнике: Актуальные проблемы социально-экономических исследований сборник материалов 6-й Международной научно-практической конференции. НИЦ «Апробация». 2014. С. 89-98.Кумратова А. М. Сопоставительный анализ прогноза урожайности для зонрискового земледелия / А. М. Кумратова // Экономическое прогнозирование: модели и методы: Материалы X междунар. научно-практ. конф. Воронеж. – 2014. – С. 174-179.Кумратова А. М. Точный прогноз как эффективный способ сниженияэкономического риска агропромышленного комплекса / А.М. Кумратова //Политематический сетевой электронный научный журнал КубГАУ. – 2014. – № 103. –С. 293-311.Кумратова А. М. Экономико-математическое моделирование риска в задачах управления ресурсами здравоохранения / А. М. Кумратова, Е. В. Попова, А. З. Биджиев. – Краснодар: КубГАУ, 2014. – 168 с.