Цепи постоянного и переменного тока

Определяем необходимое количество уравнений по первому и по второму закону Кирхгофа. Число ветвей в схеме рис.2.2 p=3, число узлов q = 2.Количество необходимых уравнений по первому закону n1 = q-1 = 1, количество необходимых уравнений по второму закону n2 = p-q+1 = 2.Таким образом, система уравнений будет содержать три уравнения.Уравнение по первому закону Кирхгофа для узла а: 1- 2 + 3 =0.Уравнение по второму закону Кирхгофа для контура 1, j*XL1, j*XL2 , -j*XC2:1* j*XL1 + 2* j*XL2 - 2*j*XC2 = 1.Уравнение по второму закону Кирхгофа для контура 3, R3, j*XL2 , -j*XC2:2* j*XL2 - 2*j*XC2+3* R3 = 3.Подставим численные значения в уравнения и объединим их в систему.1- 2 + 3 = 01* j*XL1+ 2*j*(XL2 - XC2) = 12*j*(XL2 - XC2)+3* R3 = 31- 2 + 3 = 01* 7, 98*+ 2*20*+ 0*3=49, 851*0*1 + 2*20*+3* 35 = 59, 821*Матрицакоэффициентовлевыхчастейуравнений:1-11Z =7, 98* 20* 0 0 20* 35 Матрицакоэффициентовправыхчастейуравнений:0 = 49, 851*59, 821*Вектор-столбец токов ветвей определяется функцией инверсии квадратной матрицы сопротивлений помноженной на вектор-столбец эдс:>> = inv (Z)*5, 21017* = 4, 50406*1, 15271*1 = 5, 21017*= 1, 76291+ j*4, 90286 A.2 = 4, 50406*= 0, 7034+ j*4, 44879 A.3 = 1, 15271* = -1, 05951- j*0, 454071 A.Проверяем выполнение первого закона Кирхгофа:1- 2 + 3 == (1, 76291+ j*4, 90286) – (0, 7034+ j*4, 44879) + (-1, 05951- j*0, 454071) == -6, 66134*10-16 – j*1,16573*10-15 → 0.Проверим баланс мощностей.Комплексная мощность источника 11 = 1*1 = 49, 851*5, 21017* = 259, 732*== 87, 8827 –j*244, 413 ВА.Комплексная мощность источника 33 = 3*3 = 59, 821**1, 15271* = 69, 0714*== -41, 3769+ j*55, 3065ВА.Активная мощность источников:PE = Re (1) + Re (3) = 87, 8827 - 41, 3769 = 46, 5058 Вт.Реактивная мощность источников:QE = Im (1) + Im (3) = -244, 413 + 55, 3065 = -189, 1065ВАр.Активная мощность, потребляемая цепью:PR = I32 *R3 = 1, 152712*35 = 46, 5059 Вт.Реактивная мощность, потребляемая цепью:QX = I12*XL1 + I22*XL2 – I22*XC2 = = 5, 210172*7, 98+4, 504062*19, 98 - 4, 504062*39, 98 = = 216, 624 + 405, 325 – 811, 057 = -189, 108 Вар.Погрешность очень мала, баланс мощностей сошёлся.Применение системы компьютерной алгебры позволяет увеличить точность расчётов и уменьшить затраты времени на работу.Приложение.1 m-файл к задаче 1.% К задаче 1.1>>J=0.8 E21=24 E3=30 R1=19.5 R2=17.5 R3=3 R4=22 R5=16.5 R6=22.5 R61=30 R62=90>>E22 = R2*J E2 = E21- E22 R4= R41+R42 >> R6 = (R61*R62) / (R61+R62)>>I5-I2-I4 >> I3-I5-I6>>I1+I2-I3 >>I1*R1- I2*R2+I4*R4 = E2>>I3*R3+I6*R6+I1*R1 = E3>>I2*R2+I3*R3+I5*R5 = E3-E2>>R=[0,-1,0,-1,1,0;0,0,1,0,-1,-1;1,1,-1,0,0,0;R1,-R2,0,R4,0,0;R1,0,R3,0,0,R6;0,R2,R3,0,R5,0]>>E=[E2,E3,E3-E2]>>I=inv(R)*E% Кзадаче 1.2>>J1*(R2+R3+R5)-J2*R2+J3*R3=E3-E2>>-J1*R2+J2*(R1+R2+R4)=E2>>J1*R3+J2*R1+J3*(R1+R3+R6)=E3>>R=[R2+R3+R5,-R2,R3;-R2,R1+R2+R4;R3,R1,R1+R3+R6]>>E=[E3-E2,E2,E3]>>J=inv(R)*E>>I1= J2+J3>>I2= J1-J2>>I3= J1+J3>>I4 = J2 >>I5 = J1 >>I6 = J3 % К задаче 1.3>>g1=1/R1 g2=1/R2 g3=1/R3 g4=1/R4 g5=1/R5 g6=1/R6>>J1=E2*g2 J2=E3*g3>>gbb=g2+g4+g5 gaa=G1+g4+g6 gcc=g3+g5+g6>>φb*gbb-φa*g4-φc*g5 = J1>>φa*gaa-φb*g4-φc*g6 = 0>>φc*gcc-φa*g6-φb*g5 = J2>>G=[gaa,-g4,-g6;-g4,gbb,-g5;-g6,-g5,gcc]>>J=[J1,0,J2]>>U=inv(G)*J>>I1= φa / R1 >>I2 = (φb - E2) / R2>>I3 = (E3 - φc) / R3 >>I4 = (φb - φa) / R4 >>I5 = (φc - φb) / R5 >>I6 = (φc - φa) / R4 % К задаче 1.4>>R46 = R4+R6+ (R4*R6)/R1>>R41 = R4+R1+(R4*R1)/R6>>R16 = R1+ R6 + (R1*R6)/R4>>R24 = R2*R41 / (R2+R41) >>R13 = R3*R16 / (R3+R16) >>R26 = R24 + R13 >>Rг = R26*R46 / (R26+R46) >>gb = g2+g4 ga = g1+g4+g6 gc = g3 +g6 >>φb*gb - φa*g4 = J1>>φa*ga - φb*g4 - φc*g6 = 0>>φc*gc - φa*g6 = J2>>I5 = (φc -φb)/ (R5+Rг)>>UR1 = I1*R1 UR2 = I2*R2 UR3 = I3*R3 UR4 = I4*R4 UR5 = I5*R5 UR6= I6*R6 >>PE = -E21*I2 + UR2*J +E3*I3>>PR = UR1 * I1+ UR2 * I2+ UR3 * I3++ UR4 * I4+ UR5 * I5+ UR6 * I6>>dP = PE – PR.Приложение 2.m-файл к задаче 2.% К задаче 2>>L1 = 1.27*10-3 L2= 3.18*10-3 C2 = 3.98*10-6 R3= 25+10 = 35 >>e12 (t) = 10*sin (ω*t) ;e3 (t) = 84, 6*sin (ω*t - pi/6)>>w = 2*pi*f >>XL1 = ω*L1 XL2 = ω*L2 > XC2 = 1/ (ω*C2)>>ZL1 = j*XL1 ZL2 = j*XL2 ZC2 = -j*XC2 >>e11= 80.5*cos (ω*t + 3*pi/4) = 80.5*sin (ω*t)>>E11 = 0.707*80.5 = 56.922*e^ (j0)>>e12= 10*sin (ω*t) >>E12 = 0.707* 10*e^ (j0)>>e3= 84.6*sin (ω*t - pi/6)>>E1 = E11 - E12 >>I1- I2 + I3=0>>I1* j*XL1 + I2* j*XL2 - I2*j*XC2 = E1>>I2* j*XL2 - I2*(j*XC2 + I3* R3 = E3>>Z= [1,-1, 1;j*XL1,j*(XL2-XC2),0;0,I2*(j*XL2-j*XC2)]>>E= [0, E1, E3]>>inv (Z)*E>>S1 = E1*I1 S3 = E3*I3>> PE = Re (S1) + Re (S3)>>QE = Im (S1) + Im (S3)>>PR = I32 *R3 >>QX = I12*XL1 + I22*XL2 - I22*XC2.