Диофантовы Уравнения

Из равенств (3), (6), (9), (12), (15) путем последовательных подстановок можно найти следующие выражения для х и у уравнения (1):Учитывая ограничения, приведённые ниже00несложно утверждать, что единственным решением уравнения является = 0, a = 26, b = 3.Ответ:Следовательно, дата мероприятия: 26.03то есть 26 марта.Пример 2.Найти два числа, если разность произведений второго на 79 и первого на 23 равна 1. Решение:Возьмем за a – первое число, за b – второе число, тогда нам требуется решить уравнение следующего вида: 79b – 23a = 1.Осуществим деление с остатком: и перепишем исходное уравнение к следующему виду:.Левая составляющая последнего уравнения кратна 23, поэтому должна быть кратна и правая составляющая: или , где cZ – новое неизвестное.Полученное новое уравнение по типу точно такое же, как и исходное уравнение. Тем не менее коэффициенты при неизвестных в нем уменьшились по модулю (измельчились). Повторим процедуру уменьшения коэффициентов еще раз: где uZ – новое неизвестное. Повторим процедуру уменьшения коэффициентов в последний раз:где vZ . Осталось выразить a и b через v. Поскольку посколько:1.2. 3. Ответ: (), где v – целое число.4) решение с помощью цепных дробейПример 1.Для перевозки немалого количества контейнеров по 170 кг и по 190 кг выделены машины с грузоподъёмностью 3 тонны. Возможно ли ими загружать машины полностью? [15]Решение.Пусть a и b – количество контейнеров по 170 и 190 кг соответственно, тогда имеем уравнение 170a190b 3000. После сокращения на 10 уравнение выглядит так: 17a19b 300 . Для нахождения частного решения воспользуемся разложением дроби в цепную дробьСворачиваем предпоследнюю подходящую к ней дробь в обыкновенную Частное решение данного уравнения имеет вид:А общее задается формулой Откуда получаем условие на параметр l:Т.е. l=142, a=2, b=14.Ответ: Да, можно. Потребуется 2 контейнера по 170 кг и 14 по 190 кг.Пример 2.Решите в целых числах уравнение:Решение.Преобразуем отношение коэффициентов при неизвестных. Главным образом, выделим целую часть неправильной дробиПравильную дробь заменим равной ей дробью В целом получаем Повторяя те же самыевышеупомянутые рассуждения для дроби , получим Выделив целую часть дроби , придем к такому результату:Мы получили выражение, которое называется конечной цепной или непрерывной дробью. Отбросив последнее звено этой цепной дроби – одну пятую, превратим получающуюся при этом новую цепную дробь в простую и вычтем ее из исходной дробиПриведем полученное выражение к общему знаменателю и отбросим его, тогда 1279 – 5222 + 1 = 0. Из сравнения полученного равенства с уравнением 127a – 52b + 1 = 0 следует, что a = 9, b = 22 является частным решением этого уравнения. Все решения будут содержаться в формулах:Ответ:5) решение уравнений высших степенейПример 1.Решить в целых числах уравнениеРешение.Преобразуем данное уравнение к следующему виду:Так как , то необходимо рассмотреть несколько систем уравнений, а именно 4 системы уравнений:1) 2) 3) 4) Решая каждую из 4 систем уравнений, мы получаем следующие решения:1) т.е. пара (1;5),2) т.е. пара (7;-97),3) т.е. пара (-1;-9),4) т.е. пара (-7;-99).Ответ:(1;5), (7; -97), (-1;-9), (-7;-99).Пример 2.Решить в целых числах уравнение:Применяя формулы сокращенного умножения, получаем:Из-за того, что и , то решение возможно лишь в том случае, когда при и , это соответствует следующей системе уравнений, которая приведена ниже:Решение первого уравнения в вышеупомянутой системы . Решение второго уравнения Ответ:Пример 3.Решить в натуральных числах квадратное уравнениеРешение.1) Решим квадратное уравнение относительно переменной k:Так как, kи (2m-7) – целые числа (k иm – натуральные числа по условию), то – является целым числом.Пусть L – целое число. Тогда:2) Решим полученное квадратное уравнение относительно переменной m.Преобразуем уравнение к следующему виду:В итоге получим следующие значения корней уравнения:В виду того, что 4m– натуральное число (m – натуральное по условию), то – является целым числом.Пусть – целое число. Тогда , откуда следует, что Найдя решение этого уравнения в натуральных числах методом разложения на множители, получим L=25; N=17; k=9; m=9.Ответ.k=9; m=9.ЗАКЛЮЧЕНИЕЦель курсовой работы – это исследовать Диофантовые уравнения.Для достижения цели были решены следующие задачи:1) изучить историю диофантовых уравнений;2) изучить основные понятия, определения и теоремы, связанные с диофантовыми уравнениями.3) продемонстрировать примеры решений диофантовых уравнений.В ходе исследования каждой задаче была посвящена отдельная глава курсовой работы.Для полного понимания, о чем будет идти речь в данной курсовой работе. В первой главе мы исследовали историческую часть вопроса. Мы узнали кто такой Диофант и какой главный труд остался после него. Так же было выяснено, что Диофант представляет собой одну из наиболее трудных загадок в истории науки. И многие известные ученые занимались изучением Диофанта и его основного труда – «Арифметика» Диофанта.После ознакомления с историей уравнений Диофанта, было дано определение объекту нашего исследования. В последствии были приведены основные способы решения уравнений Диофанта. Каждый из этих методов был подробно разобран во второй главе курсовой работы.Но для более четкого понимания нам не хватало практики. Поэтому вся третья глава была посвящена практической части вопроса. В ней мы ознакомились с примерами задач по теме и были приведены типовые решения этих примеров. Примеры были приведены в соответствие с классификацией, приведенной во второй главе. Таким образом, можно сделать вывод, что существуют различные методы и методы решения диофантовых уравнений, которые условно можно разделить на две группы:1. методы решения неопределенных уравнений первой степени с двумя переменными;2. методы решения уравнений высших степеней в целых числах. Целочисленные задачи всегда считались одной из самых сложных задач, предлагаемых учащимся старших классов.Это связано с отсутствием универсального метода решения таких уравнений. Решая Диофантовы уравнения, вы должны уметь думать, охватить всю проблему и, как говорят шахматисты, «рассчитать несколько шагов вперед». Большое внимание при обучении решению диофантовых уравнений уделяется знанию концепции диофантовых уравнений, их типов, методов и решений и, что наиболее важно, умению применять эти знания на практике.СПИСОК ИСПОЛЬЗУЕМОЙ ЛИТЕРАТУРЫ1. Башмакова, И.Г. ДИОФАНТ И ДИОФАНТОВЫ УРАВНЕНИЯ / И.Г. Башмакова / Наука. М:. – 1972. 68 стр.2. Абакумова, С. И. Диофантовы уравнения / С. И. Абакумова, А. Н. Гусева // Фундаментальные и прикладные исследования в современном мире. – 2014. – Т. 1, №6. – С. 133–137.3. Diophantine equations. URL:https://encyclopediaofmath.org/wiki/Diophantine_equations. Датаобращения: 14.06.2020.4. Хамов, Г. Г. Использование теории многочленов для составления и решения диофантовых уравнений / Г. Г. Хамова, Л. Н. Тимофеева // Ярославский педагогический вестник, 2014. – Т. 2, №4. – С. 36–40.5. Башмакова, И. Г. Диофант и диофантовы уравнения / И. Г. Башмакова. – Москва : Наука, 1972. – 68 с.6. Кожаев, Ю. П. Греческий математик Диофант и диофантовыуравнения : материалы IV Всероссийской научно – практической конференции «Культура и общество: история и современность» / Ю. П. Кожаев, Ю. О. Новицка – Ставрополь : АГРУС. – 2015. – С. 150–154.7. Мельников, Р. А. Краткий обзор этапов развития диофантовых уравнений : материалы международной научно-практической конференции «Математика: фундаментальные и прикладные исследования и вопросы образования» / Р. А. Мельников. – Рязань : издательство РГУ им. С. А. Есенина, 2016. – С. 429–435.8. Жмурова, И. Ю. Диофантовы уравнения: от древности до наших дней / И. Ю. Жмурова, А. В. Ленивова // Молодой ученый. – 2014. – №9. – С. 1–5.9. Кордемский, Б. А. Этому виду задач более 1600 лет / Б. А. Кордемский // Квант. – 1973. – №4. – С. 38 – 41.10. Садовничий, Ю. В. ЕГЭ 2017 по математике. Профильный уровень: задание 19. Решение задач и уравнений в целых числах / Ю. В. Садовичий. – Москва: ЭКЗАМЕН, 2017. – 129 с.11. Бухштаб, А. А. Теория чисел: учебник для пед. вузов / А. А. Бухштаб. – Москва: Лань, 2008. – 384 с.12. Корянов, А. Г. Задачи на целые числа (от учебных задач до олимпиадных) : пособие по решению заданий типа С6 / А. Г. Корянов, А. А. Прокофьев. – Брянск, Москва : Просвещение, 2012. – 66 с.13. Кирин, К. И. Цепные (непрерывные) дроби и диофантовыуравнения : материалы XXII Всероссийской (с международным участием) научно-практической конференции «Инновации. Интеллект. Культура» / К. И. Кирин. – Тюмень : издательство Тюменского индустриального университета, 2015. – С. 279–281.14.Корянов, А. Г. Задачи на целые числа (от учебных задач до олимпиадных) : пособие по решению заданий типа С6 / А. Г. Корянов, А. А. Прокофьев. – Брянск, Москва : Просвещение, 2012. – 66 с.15. Александров, В. А. Задачник – практикум по теории чисел: для студентов заочников физ. – мат. фак. пед. ин – тов / В. А. Александров, С. М. Горшенин. – Москва : Просвещение, 1972. – 80 с.