Методы оптимизации проектирования

Иногда в задачах необходимо, чтобы обеспечивалась вероятность попадания решения в допустимую область не ниже заданной, такие задачи называются задачами с вероятностными ограничениями.Целевой функцией этих моделей являются обычно математическоеожидание реализаций показателя качества решения задачи оптимизацииили вероятность превышения случайным значением показателя качестванекоторого фиксированного порога.− динамическое программирование (особый вид задачи оптимизации, где вне зависимости от конкретного вида целевой функции и ограничений поиск оптимального решения представляется в виде многошагового процесса).В динамическом программировании исследуются задачи оптимизации дискретных многостадийных (многошаговых) процессов, в которыхкритерий оптимальности задаётся в виде аддитивной или мультипликативной функций критериев оптимальности отдельных стадий.Согласно принципу оптимальности Беллмана, каждая точка оптимальной стратегии обладает тем свойством, что отрезок траектории, начинающийся из этой точки, тоже оптимален. Другими словами, оптимальное поведение обладает тем свойством, что каково бы ни было первоначальное поведение процесса, последующие решения должны бытьоптимальными относительно уже реализовавшегося состояния. Применение этого принципа позволяет вывести функциональные уравнения Беллмана, лежащие в основе алгоритмов решения задач динамического программирования.По существу, этот метод даёт возможность последовательно определять оптимальные стратегии управления на всех стадиях процесса, начиная с последней. При этом управления на каждой стадии находят, решая спомощью методов нелинейного программирования частные задачи оптимизации, значительно менее сложные, чем исходная задача оптимизации.Благодаря этому достигается серьёзный выигрыш во времени решениязадачи.Ограничения на переменные учитываются при решении частных задач оптимизации, причём ограничения типа равенств позволяют уменьшать размерность этих задач с помощью метода множителей Лагранжа.Частным случаем выпуклого программирования является квадратичное программирование, а частным случаем того и другого – линейное программирование.Многокритериальная оптимизацияМногокритериальные (векторные) задачи возникают, когда необходимо одновременное выполнение нескольких критериев, зачастую противоречивых. На первый взгляд, возможность оценки того или иного решения по нескольким различным критериям кажется противоестественной.Однако, поскольку задачи такого рода возникают, то требуется найти разумный компромисс между несколькими критериями. Поскольку здесьимеет место экстремальная задача, в которой целевая функция являетсявектором, то изменяется само понятие оптимальности решения.Принцип оптимальности по Парето представляется наиболее естественным в том смысле, что соответствует интуитивным представлениям о наилучших значениях этих функций. Главным становится достижение некоторой области компромисса (множество Парето), состоящей из эффективных, оптимальных по Парето точек. При этом часто множество эффективных точек оказывается весьма обширным, что затрудняет выбор конкретного решения, и это требует введения некоторых «вторичных» принципов оптимальности.Во многих случаях, когда критерии соизмеримы, векторная задачасводится к задаче со скалярным критерием, т.е. производится свёрткафункций (взвешенная сумма, минимальная компонента). При несоизмеримости критериев соответствующий принцип оптимальности может быть выработан аксиоматически.Прежде чем искать экстремум векторной функции, обычно задаютотношение порядка, т.е. правило сравнения двух векторов, благодаря чемуможно сделать вывод о том, какой из векторов является лучшим.Вариационное исчислениеДля решения задач оптимизации, в которых критерием оптимальности является функционал, а искомыми переменными – неизвестные функции, используют методы вариационного исчисления, которые сводят решение исходной оптимальной задачи к интегрированию некоторой системы дифференциальных уравнений Эйлера. Уравнения, число которыхравно числу неизвестных функций, являются нелинейными дифференциальными уравнениями второго порядка с граничными условиями, заданными на обоих концах интервала интегрирования. Искомые функции определяются в результате интегрирования системы.Уравнения Эйлера выводятся как необходимые условия экстремумафункционала. Поэтому полученные интегрированием системы дифференциальных уравнений функции должны быть проверены на экстремумфункционала.При наличии ограничений типа равенств, имеющих вид функционалов, применяют множители Лагранжа, что даёт возможность перейти отусловной задачи к безусловной.Наиболее значительные трудности при использовании вариационныхметодов возникают в случае решения задач с ограничениями типа неравенств.Прямые методы решения задач поиска экстремума функционаловобычно позволяют свести исходную вариационную задачу к задаче нелинейного программирования, решить которую иногда проще, чем краевуюзадачу для уравнений Эйлера.При решении вариационных задач с подвижными границами используют так называемые условия трансверсальности.Оптимальное управлениеДля решения задач оптимизации процессов, описываемых системамидифференциальных уравнений, применяют принцип максимума Понтрягина. Достоинством этого математического аппарата является то, что решение может определяться в виде разрывных функций, что невозможно ввариационном исчислении.Нахождение оптимального решения сводится к задаче интегрирования системы дифференциальных уравнений процесса и сопряжённойсистемы для вспомогательных функций при граничных условиях, заданных на обоих концах интервала интегрирования, т.е. к решению краевойзадачи. На область изменения переменных могут быть наложены ограничения.Принцип максимума для процессов, описываемых дифференциальными уравнениями, при некоторых предположениях является и достаточным условием оптимальности. Поэтому дополнительной проверки на оптимум получаемых решений в этих случаях не требуется.Для дискретных процессов принцип максимума в той же формулировке, что и для непрерывных процессов, вообще говоря, несправедлив. Однако условия оптимальности, получаемые при его применении для многостадийных процессов, позволяют найти достаточно удобные алгоритмы.ЗаключениеВ данной работе были рассмотрены и описаны методы, которые применяются при решении задач оптимизации технологических процессов на производстве.Эти методы часто комбинируют между собой при решении сложных задач оптимизации, разбивая таким образом задачу на части и используя при решении каждой части тот или иной метод.Список использованной литературыИнтернет; Д. Ю. Муромцев, В. Н. Шамкин. Методы оптимизации и принятие проектных решений. Тамбов 2015 г. – 79 с.