Законы сохранения в механике

В этом заключается объяснение потери механической энергии в системах, где действуют диссипативные силы. Этот процесс получил название диссипации энергии.
Замкнутые консервативные системы являются идеализированной моделью для упрощенного рассмотрения реальных физических процессов. Практически все реальные системы являются диссипативные. Следовательно, закон сохранения полной механической энергии в природе не выполняется. Но исчезновение механической энергии всегда компенсируется эквивалентным количеством энергии другого вида. Поэтому, справедливо следующее утверждение: энергия никогда не исчезает и не появляется вновь, но превращается из одного вида в другой, и переходи от одного тела к другому. При этом запас энергии остается неизменным. Теоретические расчеты и экспериментальные результаты показывают, что при отсутствии диссипативных сил суммарная кинетическая и потенциальная энергия системы остается постоянной. В этом заключается основная суть закона сохранения энергии.
Закон сохранения механической энергии является частным случаем общего закона сохранения энергии в замкнутой системе. Стоит отметить, что деление энергии на потенциальную и кинетическую имеет смысл только в механике и не распространяется на другие формы энергии.
Для незамкнутых систем закон сохранения полной механической энергии означает, что изменение энергии системы равно работе, совершаемой системой (энергия системы уменьшается), или работе, совершаемой над системой внешними силами (энергия системы увеличивается).
Рассмотрим условие устойчивого равновесия тел. Пусть некоторое тело покоится в замкнутой системе, и его энергия является минимальной. Допустим, это будет покоящийся шарик на дне лунки. Шарик может двигаться только в том случае, если его скорость отлична от нуля. Поскольку система замкнута, то для увеличения кинетической энергии необходима, чтобы потенциальная энергия:

(2.30)

Но так как потенциальная энергия шарика минимальна, то она не может уменьшиться. Следовательно, шарик не может двигаться под действием внутренних сил. Такое положение равновесия шарика называется устойчивым. Таким образом, в замкнутой системе равновесие тел является устойчивым, если потенциальная энергия минимальна.
В заключении, проанализируем связь между законом сохранения энергии и однородностью времени. Закон сохранения энергии является следствием однородности времени, которое состоит в равнозначности всех моментов времени, т.е. замена некоторого момента времени на момент времени без замены координат и скоростей частиц, не изменяет свойства механической системы. Следовательно, координаты и скорости частиц в момент времени имеют такое же значение, как и в момент времени .
Пусть на некоторую -ую частицу действует сила , компоненты которой определяются соотношениями:

(2.31)

В общем случае, для незамкнутой системы потенциальная энергия зависит и от времени: . Поэтому, полный дифференциал потенциальной энергии будет включать и производную по времени:

(2.32)

Конечное приращение потенциальной энергии при переходе из состояния (1) в состояние (2) находится интегрированием:

(2.33)

Рассмотрим работу сил по перемещению тела из точки (1) в точку (2):

(2.34)

Для того, чтобы можно было воспользоваться выражением (2.33), необходимо, чтобы в (2.34) стоял полный дифференциал. Для этого добавим и вычтем частную производную по времени:

(2.35)

Cуммируя элементарные работы для всех частиц, получаем:

(2.36)

Перепишем выражение (2.36) следующим образом:

(2.37)

Однородность времени заключается в том, что в любой момент времени события происходят одинаково, т.е потенциальная энергия не зависит от времени:

(2.38)


Тогда из выражения (2.37) получаем закон сохранения энергии:

(2.39)

Итак, в данной главе мы подробно проанализировали такие физические понятия как работа, энергия, кинетическая и потенциальная энергия, а также закон сохранения полной механической энергии.
Показано, что закон сохранения энергии является следствием однородности времени.
















3 Закон сохранения момента импульса
Пусть имеется замкнутая система частиц, на которую действуют внутренние и внешние силы. Согласно определению, момент импульса равен:

(3.1)

Поскольку на систему действуют внутренние и внешние силы, то суммарный момент всех сил, действующих на частицы систему, равен:

(3.2)

Тогда, в соответствии с равенством (3.2):

(3.3)

Cуммарный момент, действующий между всеми частицами системы, равен нулю:

(3.4)

Закон сохранения момента импульса есть нечто иное как частный случай теоремы о скорости изменения момента импульса: Скорость изменения момента количества движения относительно любой оси равна моменту внешних сил относительно этой же оси (см 3.4).


В случае, если система замкнута, внешние силы отсутствуют. Поэтому, момент внешних сил равен нулю. Отсюда следует, что вектор остается постоянным во времени. Это и есть закон сохранения момента импульса.
Таким образом: момент сил замкнутой системы частиц (тел) остается постоянным во времени.
Момент импульса также будет постоянным вдоль любой оси системы координат. Если момент внешних сил, действующих на систему вдоль некоторой оси, равен нулю, то момент импульс вдоль этой оси сохраняется (Рис. 10):

(3.5)

Закон сохранения момента импульса справедлив и для незамкнутых систем, если сумма моментов внешних сил равна нулю.
В качестве примера рассмотрим вращающийся волчок. Если волчок буде вращаться достаточно долгое время при малой силе трения, то момент импульса вдоль вертикальной оси будет сохраняться. Тогда моменты сил тяжести и реакции опоры равны нулю, что позволяет сохранять волчку устойчивое положение.
Теорема о центре масс. Существует определенная математически средняя точка, которая при любой комбинации внешних сил, действующих на тело, получает ускорение под действием суммарной силы так. будто в этой точке сосредоточена вся масса тела.
Пусть дано множество частиц (атомов). Обозначим номер некоторой частицы как . Тогда сила, действующая на -ю частицу, равна:

(3.6)



Рис. 10. Момент силы относительно точки и его проекция на выделенную ось.


Или

(3.7)

Суммируем все силы:

(3.8)

Далее, пусть - суммарная масса всех объектов. Определим вектор :

(3.9)

Поскольку , то

(3.10)

Отсюда получаем:

(3.11)

Таким образом, внешняя сила, действующая на систему тел, равна произведению суммарной массы всех частиц системы на ускорения некоторой точки, находящейся в середине вектора . Это точка называется центром масс.
Покажем связь между изотропией пространства и законом сохранения момента импульса. В основе сохранения момента импульса лежит идея изотропии пространства, т.е. свойства пространства одинаковы по всем направлениям. Если осуществить поворот системы частиц без изменения расположения и скоростей частиц, то подобный поворот не изменит механических свойств системы. Движение частиц относительно друг друга останутся таким же, как и до того, как поворот был осуществлен.
Как было показано выше, для замкнутой системы момент внешних сил равен нулю - (Рис. 11). Повернем систему на некоторый угол . Из изотропии пространства следует:

(3.12)

Поскольку угол поворота произвольный, то сумма моментов внутренних сил равна нулю:


Рис. 11. Поворот системы на некоторый угол .


(3.13)

Из (3.13) следует закон сохранения момента импульса:

(3.14)

Таким образом, мы показали, что закон сохранения момента импульса является следствием изотропии пространства.
Итак, в данной главе нами был рассмотрен закон сохранения момента импульса.
Показана связь между законом сохранения импульса и изотропией пространства.






Заключение
Во всей истории физики законы сохранения оказались практически единственными законами, справедливыми для всех физических теорий.
Фундаментальное значение законов сохранения состоит в том, что эти законы тесно связаны с симметрией пространства и времени. Согласно теореме Нетер, каждому свойству пространству и времени соответствует определенная сохраняющаяся величина.
Так, закон сохранения импульса есть следствие однородности пространства. Закон сохранения энергии выражает однородность времени, т.е. равнозначность всех его моментов. Закон сохранения момента импульса отражает свойство изотропии пространства.
Законы сохранения импульса и момента импульса справедливы для замкнутых систем, т.е. для таких систем, сумма внешних сил и моментов сил которых равна нулю. Для закона сохранения энергии условие замкнутости системы недостаточно. Для того, чтобы выполнялся закон сохранения энергии необходимо еще адиабатическая изолированность тела, т.е. тело не должно участвовать в теплообмене.
Фундаментальность законов сохранения состоит в их универсальности. Законы сохранения справедливы для любы физических процессов: механических, тепловых, электромагнитных, квантовых, и т.д. Они одинаково применимы при изучении макроскопических систем, где используются классические представления, и микроскопических, для которых необходимо учитывать квантовые эффекты, а также для релятивистского и нерелятивистского движения.
В процессе человеческой деятельности законы сохранения неоднократно подвергались сомнению. Так было при изучении диссипативных процессов, распада за счет слабого взаимодействия (β-распад), и т.д. Но во всех выше указанных случаях закон сохранения энергии выдержал проверку, поскольку якобы безвозвратному исчезновению части энергии всегда находилось объяснение.
Список литературы
1. Логунов А.А., Фоломешкин В.Н. Проблема энергии-импульса и теория гравитации // ТМФ. – 1977. – Т. 32:3. – С. 291-325.
2. Декарт Р. Сочинения / Р. Декарт. – М.: Наука. – 2015. – 654 с.
3. Ньютон И. Математические начала натуральной философии / И. Ньютон. – М.: ЛКИ. – 2014. – 704 с.
4. Ландау, Л.Д. Механика / Л.Д. Ландау, Е.М. Лившиц. – Т. 1. – М.: ФИЗМАТЛИТ. – 2017. – 224 с.
5. Перкинс Д. Введение в физику высоких энергий / Д. Перкинс. – М.: Мир. – 1975. –С. 94.
6. Широков, В.М. Ядерная физика / В.М. Широков, Н.П. Юдин. – М.: Наука. – 1972. – 670 с.
7. Фейман Р.Ф. Феймановские лекции по физике. Современная наука о природе. Законы механики / Р.Ф. Фейман. – Вып. 1. – М.: Едиториал УССР. – 2004. – 440 с.
8. Ферми Э. Квантовая механика / Э. Ферми. – М.: Мир. – 1968. – 367 с.
9. Егоров Г.В. О роли законов сохранения в физике. – Режим доступа: https://cyberleninka.ru/article/n/o-roli-zakonov-sohraneniya-v-fizike/viewer (дата обращения 27.10.2020).
10. Жирнов Н.И. Классическая механика / Н.И. Жирнов. – М.: Просвещение. – 1980. – 303 с.
11. Рахштадт Ю.А. Физика: физические основы механики: учебное пособие / Ю.А. Рахштадт. – Ч. 1. – М.: Изд. Дом МИСиС. – 2009. – 174 с.








































































































6