Математическое моделирование и его особенности

Проверка независимости проводится на основе вычисления корреляционного момента. В общем случае корреляционный момент случайных величин ξ и η с возможными значениями xi и yj определяется по формулегде Рij – вероятность того, что (ξ, η) принимает значение (xi, yj), а М[ξ], М[η] – математические ожидания случайных величин.Если случайные числа независимы, то Kξη = 0. Независимость элементов последовательности {х} может быть проверена путем введения в рассмотрение последовательности {yr} такой, что {yr} = {хг+τ}, где τ – величина сдвига последовательностей.Иногда вместо корреляционного момента удобней использовать коэффициент корреляции ,где σξ и ση − среднеквадратические отклонения величин ξ и η.Возможные значения коэффициента корреляции лежат в пределах от 0 (полная независимость) до 1 (жесткая функциональная связь).При любом для достаточно больших N с доверительной вероятностью β справедливо соотношение.Если вычисленное экспериментальным путём ρ лежит в этих пределах, то с вероятностью β можно утверждать, что последовательность корреляционно независима.При проведении оценок коэффициента корреляции на ЭВМ удобно для вычисления использовать следующее выражение:,где,.Определение длины периода и длины отрезка апериодичностиПри статистическом моделировании с использованием программных генераторов псевдослучайных квазиравномерных последовательностей важными характеристиками качества генератора является длина периода Р и длина отрезка апериодичности L. Длина отрезка апериодичности L псевдослучайной последовательности {хг}, заданной уравнением, xi=Xi/M,есть наибольшее целое число, такое, что при событие P(xi = xk) не имеет места. Это означает, что все числа xi в пределах отрезка апериодичности не повторяются.Очевидно, что использование при моделировании систем последовательности чисел {х}, длина которой больше отрезка апериодичности L, может привести к повторению испытаний в тех же условиях, что и раньше, т. е. увеличение числа реализаций не дает новых статистических результатов.Способ экспериментального определения длины периода Р и длины отрезка апериодичности L сводится к следующему. 1)Запускается программа генерации последовательности чисел {хг} с начальным значением x0 на V значений, фиксируется xv (обычно полагают);2) Запуск программы генерации с x0 и фиксируется i1 и i2, такие, что в первый и во второй раз выполняется условие xi1=xv и xi2=xv. Вычисляется длина периода последовательности Р=i2-i1.3) Запускается программа генерации с начальными значениями x0 и xp и фиксируется минимальный номер i3, для которого справедливо xi3=xi3+p. Вычисляется длина отрезка апериодичности L=i3+p.Теоретически при использовании мультипликативного метода длина периода не может быть больше чем 2n, где n − разрядность ЭВМ. Для увеличения длины периода прибегают к специальным приемам. При запуске программы в блоке генерации данных создаются данные и отправляются на вход блока стохастических преобразований данных (с выбором какой алгоритм проверяем), там данные обрабатываются, и после этого отправляются на блок анализа данных, где зашифрованные данные сравниваются с изначальными по критериям оценки качества стохастических преобразований. И выдается отчет по алгоритму, затем отчет сохраняется, для сравнения со следующей проверкой другого алгоритма.2. Практическая часть2.1 Описание функционирования моделиРассмотрим имитационную модель системы управления, для которой необходима генерация случайных чисел. Случайные наборы необходимы для тестирования нормального функционирования системы. Основная особенность цифровых систем управления состоит в том, что в их структура обладает элементами квантования внутреннего сигнала и преобразования его в цифровой вид для последующей работы на ЭВМ. Квантование сигнала производят как по времени, так и по уровням. Квантование по времени оказывает существенное влияние на динамические характеристики цифровых систем.Рисунок 3. Изображение структурной схема для одноканальных замкнутых дискретных систем управленияСтруктурную схему анализируемой в лабораторной работе системы приведем на рисунке 1, где V входное задающее воздействие;  - погрешности системы; Y выходные координаты; U* функция дискретного управления.Вид дискретного управление на выходе из импульсного элемента (ИЭ) будет изменяться в строго заданные моменты времени, которые связаны с величиной шага квантования Т, а всё оставшееся время будет постоянным. Такой импульсный элемент называют фиксатор (экстраполятор) нулевого порядка. Дискретная модель линейных объектов управления с фиксатором нулевого порядка на входе можно создать, найдя решение дифференциального линейного уравнения, которое описывает данный объект: Разностное уравнение для такого объекта задается соотношением:где , (при выполнении условия )(3)Для вычисления матриц A и B применяется разложение значения матричной экспоненты в ряд:, Матрицы и C будут совпадать.Дискретная передаточная функция с фиксатором нулевого порядка находится по формуле:Дискретная математическая модель линейных непрерывных объектов, которые имеют передаточную функцию W0(p) и фиксатор нулевого порядка на входе, может быть получена при использовании Z-преобразования:2.2 Результаты имитационного моделирования.ТестированиеТесты n-серий. При проведении данного теста проверялось, насколько удовлетворяет полученная последовательность выбранному закону распределения.Последовательности, полученные в результате работы генератора, разбивают на пары. Далее по целой последовательности вычисляется число совпадения данных пар с определенными парами чисел - , и проводится проверка статистики теста. Необходимая величина последовательности для проведения данного теста:, , . Уровень значимости составляет .Проведение обобщенного статистического теста. Этот тест необходим для того, чтобы показать, насколько полученные последовательности случайны. Для упрощения проведения вычислений при проведении теста, а именно вычисление параметров теста , были выбраны следующие значения для параметров:Тогда, получаем: . При таком выборе параметров для корректного проведения теста необходимо осуществить генерирование последовательности с достаточно большой длиной: .Вычисление критерия серий. В данном случае проверялась случайность и независимость полученных последовательностей. Серия, в случае данной реализации теста, - это всякая последовательность единиц или нулей, ограниченная противоположенными величинами или находящаяся в начале или конце набора.Проводилось сравнение алгоритмов по параметрам:t - время работы;K = 1/T - где T - период полученных последовательностей; - характеристика для i-ого теста = , где - значение определенной статистики, а - величина границ критической области соответствующих критериев на использовании данного уровня значимости.Назначение первых двух параметров понятно, что касается третьего, то он должен показать насколько хорошим образом те или иные генераторы проходят данные статистические тесты. Чем меньшим будет значение zi, тем на большем удалении располагается значение статистик выборки от критических областей, то есть тем надежнее работает выбранный генератор.ЗаключениеСтатистическое моделирование – метод исследования сложных систем, основанный на описании процессов функционирования отдельных элементов в их взаимосвязи с целью получения множества частных результатов, подлежащих обработке методами математической статистики для получения конечных результатов. В основе статистического моделирования лежит метод статистических испытаний – метод Монте-Карло.Имитационная модель – универсальное средство исследования сложных систем, представляющее собой логико-алгоритмическое описание поведения отдельных элементов системы и правил их взаимодействия, отображающих последовательность событий, возникающих в моделируемой системе.Если статистическое моделирование выполняется с использованием имитационной модели, то такое моделирование называется имитационным.Разработанная система моделирования предназначена для оценки алгоритмов генерации данных. В ходе выполнения проекта были решены следующие задачи:Цель работы состоит в том, чтобы раскрыть содержание этапов и принципов моделирования, в самом общем случае независимо от предметной области, но с примером мат. модели конкретного случая.Основные вопросы, рассмотренные в работе: 1.Моделирование как процесс с отражением конкретных этапов;2.Основное содержание каждого этапа;3.Реализация модели в общем случае (выбор среды реализации, требования к ней, удобство или неудобство и т.д.)4.Разработка конкретной модели процесса по теме использование генератора случайных величин с анализом полученных результатов.ЛитератураБражник А.Н., Имитационное моделирование: возможности GРSS WОRLD. - СПб..: Реноме, 2006. - 439 с.В. Томашевский, Е. Жданова. Имитационное моделирование в среде GРSS. М.: Бестселлер, 2003.Руководство пользователя по GРSS WОrld. - Казань: Издательство «Мастер-Лайн», 2002.Строгалев В.П., Толкачева И.О. Имитационное моделирование. - МГТУ им. Баумана, 2008. - С. 697-737.Хемди А. Таха Глава 18. Имитационное моделирование // Введение в исследование операций = ОРЕratiОnsRЕsЕarch: AnIntrОductiОn. - 7-е изд. - М.: «Вильямс», 2007. - С. 697-737.«Экономико-математические методы и прикладные модели», под ред. Федосеева В.В. , Москва «Юнити» 2001 г.