Особенности изучения элементов дискретной математики на элективных курсах в старшей школе

На каждом уроке ученики учатся правильно мыслить. Особенно большие возможности на этот счет имеет школьный курс математики. Изучение математики, решение задач приучает к последовательности в работе, к контролю за правильностью сделанных выводов. Однако учащиеся, которые интересуются математикой, не довольствуются тем материалом, что подается на уроках, а стремятся ознакомиться с разделами математики, которых не рассматривают в школе, с оригинальными, нестандартными задачами [32, 33].Такие ученики принимают участие в работе математических кружков, выступая на математических олимпиадах, читая дополнительную литературу. В последнее время растет интерес к математической логике – направлению математики, которое быстро развивается и широко применяется. На Олимпиадах юных математиков часто появляются задачи логического содержания. Чтобы облегчить ознакомление с математической логикой, выпущен ряд популярных пособий [16].При решении многих задач люди пользуются способами рассуждений, получившими название «принцип Дирихле» («принцип выдвинутых ящиков»). В самой простой и остроумной форме принцип Дирихле гласит: «нельзя посадить 7 кроликов в 3 клетки так, чтобы в каждой клетке было не больше, чем 2 зайца». Обобщенное утверждение формулируется так: в n клетках невозможно рассадить n + 1 зайцев чтобы каждый из них сидел в отдельной клетке, то есть найдется клетка, где сидит не менее двух зайцев. Чтобы применить принцип Дирихле к решению задачи, мы должны указать, что именно будем понимать под «клетками» и «зайцами», а также способ, по которому будем рассаживать «зайцев» в «клетки».Как правило, при решении задач используют не принцип Дирихле, а некоторое его обобщение: Дано n клеток и nk+1 зайцев, которые размещены в эти клетки. Тогда найдется клетка, где сидит не менее k + 1 pайцев. Проиллюстрируем применение принципа Дирихле на решении задач, среди которых есть арифметические и геометрические, шуточные и бытовые. Их можно предложить на занятиях кружка в 10-11 классах. Ученикам интересно в них выбирать каждый раз «зайцев» и строить для них соответствующие «клетки» [4, 8].В то же время такие задачи являются содержательными. При их решении школьники обычно испытывают значительные трудности. Ведь необходимо, во-первых, грамотно сформулировать стратегию, а во-вторых, доказать, что она действительно ведет к выигрышу. Поэтому задачи данного типа очень полезны для развития разговорной математической культуры, четкого понимания того, что значит решить задачу.Задача 1. В ячейках таблицы размерами 3x3 размещены числа -1; 0; 1. Рассмотрим восемь сумм: суммы всех чисел в каждой строке, каждом столбце и на двух диагоналях таблицы. Могут ли все эти суммы быть разными? Развязывание. Пусть «клетками» будут все разные значения сумм трех чисел, каждое из которых принимает значение 0, 1 или -1. Понятно, что таких значений 7. Это -3; -2; - 1; 0; 1; 2; С «Зайцами» будут наборы из трех чисел, что находятся или в одном столбце или в одной строке, или на одной из двух диагоналей таблицы. Таких наборов 8. Как будет рассаживать «зайцев»? Каждого 2-го зайца «будем сажать в» клетку«, что является значением суммы чисел «зайцев». Тогда по принципу Дирихле найдется «клетка», где сидят не менее двух «зайцев». А это и означает, что найдутся две рассматриваемые тройки чисел, для которых суммы равны. Ответ: Нет. Рассмотрим, как принцип Дирихле используется до решения задач на делимость. Такие задачи — классический пример применения принципа Дирихле.Задача 2. Доказать, что среди любых трех целых чисел можно найти два, сумма которых делится на 2. Решения. Примем за «клетки» разные остатка от деления чисел на 2. Их всего две: 0 и 1. «Зайцами» будем считать остатка от деления на 2 трех данных чисел. их будет три. Разместив «зайцев» в «клетки» (каждого «зайца» размещаем в «клетку», что равняется остатка от деления его на 2), по принципу Дирихле получим, что найдется «клетка» с двумя «зайцами», то есть найдутся два числа, дающие при делении на 2 одинаковые остатка, их сумма и делится на 2.Дети любят играть. Поэтому у школьников средних классов большой интерес вызывают подобные задачи. С их помощью учитель может внести в занятия кружка элемент развлечения, что важно для учеников старших классов.Выводы по главе 2 Современные образовательные приоритеты предусматривают личностную ориентацию системы образования, обновление содержания обучения в соответствии с развитием общества и потребностями жизни. Материал по дискретной математике в общемшкольном курсе математики общеобразовательной школы необходимо рассматривать как средство развития общей культуры личности, обогащения ее представлений о прикладных применениях математики, подготовки к продолжению образования и профессиональной деятельности. Методическая система изучения материала дискретной математики в современной общеобразовательной школе требует обновления в направлении формирования и развития личностных качеств учащихся, учет их индивидуальных различий.ЗАКЛЮЧЕНИЕВ соответствии с поставленной целью и определенными задачами в ходе исследования получены следующие результаты: проанализирована психолого-педагогическая, методическая, учебная литература по проблеме исследования и выяснено состояние изучения дискретной математики в средней общеобразовательной школе; выявлены и теоретически обоснованы психолого-педагогические предпосылки изучения дискретной математики на элективных курсах в средней школе; определены методические требования к организации изучения дискретной математики учащимися общеобразовательной школы; разработана концептуальная модель изучения дискретной математики на элективных курсах средней школы; экспериментально проверена эффективность разработанной методики и внесены коррективы в методические рекомендации.Результаты проведенного теоретического и экспериментального исследования дают возможность сделать такие выводы.1. Дискретная математика – важная составляющая содержания школьного математического образования, которая способствует обеспечению прикладной направленности обучения математике, развития практических навыков и умений, обогащению научного мировоззрения учащихся. Теоретический анализ проблемы эффективной математической подготовки учащихся по дискретной математике показал, что эта проблема исследуется многими учеными, которые отмечают типичные трудности при изучении учащимися тригонометрического материала: непонимание определений тригонометрических величин, неумение применять сведения из тригонометрии к решению прикладных задач, при изучении других школьных предметов (в первую очередь информатики. Актуальность этой проблемы значительно возросла в условиях современного общества, которое нуждается в квалифицированных конкурентоспособных специалистов, применяют знания по дискретной математике к решению задач науки, техники, производства и практики.2. Изучение элементов материала дискретной математики в условиях общеобразовательной школы осуществляется на элективных курсах. Обосновано, что более высокое качество усвоения учебного материала в курсе алгебры и начал анализа общеобразовательной школы может быть достигнута при условии его дифференцированного изучения, что предполагает уровневую учебно-познавательную деятельность учащихся профильных классов, направленная на качественное овладение математическими знаниями и которая осуществляется в соответствии с их возрастных, психологических, индивидуально-типологических особенностей с ориентацией на образовательные и профессиональные намерения. Уровневую дифференциацию на элективных курсах следует рассматривать как способ реализации личностно ориентированного подхода к ученикам, что дает возможность улучшить результаты усвоения учебного материала. Установлено, что изучение математики, в частности материала в профильной школе должно осуществляться как за счет содержания учебного материала и требований к его усвоению, так и путем методов и приемов усвоения новых знаний, предлагаемых систем задач, форм и методов контроля.3. В психолого-педагогических предпосылках изучения дискретной математики, которые положительно влияют на процесс и результат обучения, относим: учета в учебном процессе особенностей учебной деятельности учащихся, их мотивационной сферы, познавательных психических процессов (память, мышление и др.); использование наглядности; диагностику индивидуальных и групповых различий по уровням формирования важных для обучения качеств, типологического группирования учащихся.4. Для эффективной организации процесса изучения дискретной математики на элективных курсах в школе необходимо выполнение методических требований: - определение уровней требований к усвоению материала курса дискретной математики; - ориентация на достижение учениками класса базового уровня подготовки; дифференциация содержания тригонометрического материала; - вариативность форм и методов организации учебно-познавательной деятельности учащихся; - дифференцированный подбор средств обучения; контроль достижения базовых и повышенных результатов обучения.СПИСОК ИСПОЛЬЗОВАННЫХ ИСТОЧНИКОВБеран, Л. Упорядоченные множества и решетки: пер. с чеш. / Л. Беран. М.: Наука, 1981. - 176 с.Давыдов, В.В. Теория развивающего обучения. / В.В.Давыдов. М.: Интор, 1996. - 544 сЕлисеев, Е.М. Элементы дискретной математики. / Е.М. Елисеев, М.Е.Елисеев Арзамас: АГПУ, 2003. - 98 с.Избранные вопросы школьного курса математики. Вып. 7: Комбинаторика. Бином Ньютона: Материалы для учителей математики и учащихся 10-11-х кл. естественно-мат. направления. Самара: СИПКРО, 2002. - 59 с.Норман, Д. А. Память и научение. / Д. А.Норман. М.:Мир, 1985.159 с. Оконь, В. Введение в общую дидактику. / В.Оконь. М.:Высш. шк.,1990. - 381 с.Перминов, Е.А. О концепции, содержании и методике обучения дискретной математике в классах физико-математического профиля // Материалы межвузовской конференции «Колмогоровские чтения IV»: мат-лы чтений. - Ярославль: ЯГПУ. - 2006. С. 264 - 270.Перминов, Е.А. О проблемах и методике обучения дискретной математике в средней профессиональной школе. //Среднее профессиональное образование. 2006. - № 3. - С. 15 - 18.Перминов, Е.А. О проблемах и перспективах обучения ДМ в школе. Международная научная конференции «Проблемы математического образования и культуры»: мат-лы конф. В 2 ч. Тольятти: ТГУ. - 2004. - Ч. 2. -С. 77-79.Перминов, Е.А. Пособие и программа «Дискретная математика для школьников» / Е.А.Перминов // Матем. вестник педвузов и университетов Волго-Вятского региона. Вып. 5. Киров: ВГПУ. - 2003. - С. 193 - 204.Петерсон, Л.Г. Практика построения непрерывного образования. -М.: УМЦ «Школа 2000.». 2001. - 255 с.Родионов, М.А. Теория и методика формирования мотивации учебной деятельности школьников в процессе обучения математике: дис. д-ра пед. наук. Саранск, 2001. 381 с.Рузавин, Г.И. Математизация научного знания. / Г.И.Рузавин. М: Мысль, 1984. -207 с.Самсонов, Б.Б. Компьютерная математика (основание информатики). / Б.Б.Самсонов, Е.М.Плохов, А.И.Филоненков. Ростов-н/Д: Феникс, 2002. - 512 с.Саранцев, Г.И. Упражнения в обучении математике. / Г.И.Саранцев. М.: Просвещение, 1995. (Б-ка учителя математики). - 240 с.Смирнов Е. И., Секованов В. С., Миронкин Д. П. Повышение учебной мотивации школьников в процессе освоения понятий самоподобного и фрактального множеств на основе принципа фундирования // Ярославский педагогический вестник. 2015. № 3. С. 37-42.Сойер, У. Путь в современную математику: пер. с англ. / У.Сойер. М.: Мир, 1972. - 200 с.Судоплатов C.B. Элементы дискретной математики: учеб. / С.В.Су-доплатов, Е.В.Овчинникова. М.: ИНФРА-М; Новосибирск: НГТУ, 2003. -280 с.Суханова Н.А. Личностно ориентированный подход в профильном обучении как основа индивидуализации образования старшеклассников [Электронный ресурс] // Сибирский педагогический журнал. – Новосибирск: ФГБОУ ВО «НГПУ», 2010. - 232–238 с. – Режим доступа: https://cyberleninka.ru/article/n/lichnostno-orientirovannyy-podhod-v-profilnom-obuchenii-kak-osnova-individualizatsii-obrazovaniya-starsheklassnikov (дата обращения: 28.11.2020).Темербекова, А. А. Методика обучения математике: учебное пособие / А. А. Темербекова, И. В. Чугунова, Г. А. Байгонакова. — Санкт-Петербург: Лань, 2015. — 512 с.Тестов В. А. Новые методологические подходы в методике обучения математике // Математика. 2018. № 3 (115). С. 19-26.Тестов В. А. Новые методологические подходы в педагогике // Вестник Вологодского государственного университета. Сер.: Гуманитарные, общественные, педагогические науки. 2016. № 3. С. 86-90.Тестов Владимир Афанасьевич Интеграция дискретности и непрерывности при формировании математической картины мира обучающихся // ИТС. 2018. №3 (92). СтраницыТестов, В. А. Стратегия обучения математике. / В.А.Тестов. М.: Технологическая школа бизнеса, 1999. - 304 с.Тишин, В.В. Дискретная математика в примерах и задачах / В.В. Тишин. - СПб.: BHV, 2017. - 336 c.Тырыгина, Г.А. Ведущая идея курса дискретного анализа для математиков-программистов. // Межд. науч. конф. «Проблемы математического образования и культуры»: тез. Тольятти: ТГУ. - 2003. - С. 74 - 75.Успенский, В. А. Машина Поста: попул. лекции по математике. / В. А.Успенский. -М.: Наука, 1979. Вып.54. 93 с.Успенский, В.А. Математические беседы. 2-е изд. / В.А.Успенский. — М.: ФИЗМАТ ЛИТ, 2004. 240 с.Факультативный курс. Избранные вопросы математики (7-8 кл.) -М.: Просвещение, 1978. 192 с.Федеральный государственный образовательный стандарт среднего (полного) общего образования: утв. 17 мая 2012 г. № 413 [Электронный ресурс]. – Режим доступа: https://минобрнауки.рф/документы/2365 (дата обращения: 28.11.2020).Фрид, Э. Элементарное введение в абстрактную алгебру. / Э.Фрид.-М.: Мир, 1979.-260 с.Фридланд А.Я., Фридланд И.А. О методологии моделирования. // Пед. информатика. 2004. - № 3. - С. 96 - 101.Хаггарти, Р. Дискретная математика для программистов: пер. с англ. / Р. Хаггарти. М.: Техносфера, 2003. - 315 с.Хамов, Г.Г. Алгебра и теория чисел в школьной математике. / Г.Г.Хамов. Мурманск: Мурм. гос. пед. ин-т, 1991. - 119 с.Чернилевский Д.В. Технология обучения в высшей школе. / Д.В. Чернилевский, О.К. Филатов. – М.: «Экспедитор». – 1996. – 288 с.Чуприкова, Н.И. Умственное развитие и обучение. / Н.И.Чуприкова. -М.: Столетие, 1995. (Психол. основы развивающего обучения). 189 с.Шабунин, М.Т. Научно-методические основы углубленной математической подготовки учащихся средних школ и студентов вузов: дис. д-ра. пед. наук. М., 1994. -35 с.Шеврин JI.H. Тождества в алгебре. // Современное естествознание: энциклопедия. В 10-ти т. М: Изд. дом МАГИСТР-ПРЕСС. 2000. - Т. 3. -С. 17-22.Ярыгин А. Н. Лекции и задачи по дискретной математике (от теории к алгоритмам): учебное пособие / А. Н. Ярыгин, О. Н. Ярыгин. – Старый Оскол: ТНТ, 2012.ПРИЛОЖЕНИЕ 1Примеры план-конспектов уроков для элективных курсов дискретной математики в 11 классе1. Тема урока: Множества. Операции над множествами.Цель урока: формирование знаний учащихся о множестве и его элементах, пустое множество, способы задания множеств и об операциях над множествами: объединение, сечение, разность множеств.I. Анализ контрольной работы.II. Восприятию материала о множества (подмножества).Под множеством в математике понимают собрание, совокупность любых предметов, объектов, объединенных между собой некоторым общим для них всех признаком. Множественное число, как математическое понятие, не имеет определения. Это первичное понятие. Содержание его можно объяснить на разных примерах. Так, можно говорить о множестве учеников вашего класса, о множестве книг в библиотеке, о множестве всех людей на Земле и тому подобное.Когда в математике говорят о множестве, то объединяют некоторые предметы или понятия в одно целое — множество, состоящее из этих предметов. Основатель теории множеств Георг Кантор (1845— 1918) выразил это такими словами: «Множество есть объединение объектов, что мыслится как единое».Предметы (объекты), из которых состоит множество, называются ее элементами. Для обозначения множеств, применяют заглавные буквы А, В, С... для обозначения элементов — малые а, b, с...Тот факт, что элемент а является элементом множества А, записывают так: a ⊆А (читается: а является элементом множества А, или А принадлежит а, или А содержится в А, или А содержит а). Множественное число иногда можно задать перечислением ее элементов. Например, множество стран на земном шаре задается их списком в географическом атласе, множество учеников класса — их списком в классном журнале. Если множество задано списком, то употребляют фигурные скобки, в которые вмещают названия всех элементов множества, разделенными запятыми. Не все множества можно задать списком. Если множество содержит бесконечно много элементов, то такое множество нельзя задать исчислению ее элементов. Множество считается заданным, если указано свойство, которое имеют все его элементы и не имеют это свойство другие объекты. Такое свойство называется характеристическим свойством множественного числа.Множество элементов, имеющих данную характеристическую свойство обозначают так: пишут фигурные скобки, в них — обозначение элемента множества, после него — двоеточие, а затем — характеристическую свойство.Например, запись А = {х: -3 < x < 4} означает, что множество А состоит из всех чисел х, удовлетворяющих неравенству -3 < x < 4.Множество, что имеет определенное количество элементов (существует число, выражающее количество элементов данного множества) называется конечной. Если множество имеет бесконечное количество элементов, его называют бесконечным множеством.Множественное число, не имеющее ни одного элемента, называют пустым. Например, множество точек пересечения двух параллельных прямых; множество квадратных уравнений имеющих более двух разных корней.Пустое множество обозначают так: 0.Если каждый элемент множества А содержится в множестве В, то множество А называется подмножеством множества В. Это записывается так: А ⊆В (читается: А является подмножеством В, или А включается в В, или А содержится в В, или В включает В себя А или В содержит А).Например: множество учеников вашего класса является подмножеством множества учеников школы; множество жителей Харькова является подмножеством жителей Украины; множество звезд нашей Галактики является подмножеством множества всех звезд вселенной.Каждое непустое множество а имеет хотя бы два подмножества: пустое множество 0 и само множество А.Если А В то наглядно это изображают с помощью диаграммы Эйлера. Два множества А и В называются равными, если они состоят из одних и тех же элементов. Это записывается так: А = В.Выполнение упражнений1. Как называют множество:а) цветов, которые стоят в вазе;б) артистов, работающих в одном театре;в) коров, пасущихся на поляне;г) точек земной поверхности, равноудаленных от Северного полюса?д) точек земной поверхности, равноудаленных от Северного и Южного полюсов?2. Пусть А – множество корней уравнения х2 – 5х + 6 = 0. Какие из представленных записей верны?а) -5 а; б) 6 а; в) 2 а; г) 3 А.3. Задайте перечислением элементов множества:а) А – множество гласных букв украинского алфавита;б) В – множество корней уравнения x4 – 4х2 = 0;в) С – множество простых четных чисел;г) D – множественное число времен года.4. Задайте несколько элементов каждого множества:а) А = {х: х == 2т, где m — целое число};б) В = {x: x = 2n + 1, где n — целое число};в) с = {х: о < х < 1}.5. Перечислите элементы следующих множеств:а) F = {х: х являются учениками вашего класса, которые сейчас отсутствуют};б) Η = {x: (х – 2)(х + 2) = 0};в) Κ = {х: х2 – 8х + 15 = 0}.6. Укажите среди перечисленных ниже множеств пустую:а) множество корней уравнения х2 – 4 = 0;б) множество корней уравнения х = х + 2;в) множество корней уравнения х + 1 = 1 + x;г) множество окружностей, в которых диаметр меньше радиуса.7. Задано множество:а) А – множество учеников вашего класса;б) В – множество учеников вашей школы;в) С – множество учеников России;г) D – множество учеников стран земного шара. Выпишите буквы, обозначающие указанные множества, в таком порядке, что каждая следующая буква обозначала подмножество предыдущего множества.8. Задано множество:а) множество А всех трапеций;б) множество во всех прямоугольников;в) множество С всех четырехугольников;г) множество D всех квадратов;д) множественное число Η всех параллелограммов;есть) множество F всех многоугольников.Запишите с помощью знака с эти множества в таком порядке, что каждое последующее множество было бы подмножеством предыдущего.III. Восприятия и осознания материала об операции над множествами.Сечение множествСечением множеств А ˄ В называется множество, которое содержит все общие элементы множеств А и В, и только их.Сечение множеств А и В обозначают так: А˄ В. С помощью диаграммы Эйлера можно изобразить сечение множеств А и В. Рассмотрим примеры:а) Если А = {а, b, с, d}, В = {а, с, т, п, р}, то А˄В = {а, с}.б) Если а — множество всех прямоугольников, в — Множество всех ромбов, С-Множество всех квадратов, то с = А В.Выполнение упражнений1. Дано: А = {а, b, с, 1, 3}, В = {b, d, б, 3}, С = {b, 1, 6}. Найдите:а) А˅B; б) А; в) С; г) А˄В˄С.2. Дано: а = {х: х2 – 5x + 6 = 0}, B = {x: x2 – 3х + 2 = 0}.Найдите: А B.3. Докажите: (А B) С = А (B С) = А В С.4. Докажите, если В А, то А В = В.5. Докажите: а) А˄B = А.Объединение множествОбъединением множеств А и В называется множество, которое состоит из всех элементов, которые содержатся хоть в одном из двух множеств А, В и только их.Объединение множеств А и B обозначается так:A ˅ В. С помощью диаграммы Эйлера можно изобразить объединение множеств А и В.Рассмотрим примеры.а) Если А = {a, b, c, d}, то В = {а, с, т, п, р}, то A U В = {а, b, с, d, m, n, р}.б) Если а — множество всех прямоугольников, В – множество всех квадратов, то А˅ В = А.Выполнение упражнений1. Дано: А = {1, 3, 5, 7}, B = {1, 5, 7, 9}, C = {2, 4}. Найдите:а) А˅В; 6) A˅C; в) A˅B˅C.2. Дано: А = {x: x2 – 5x + 6 = 0}, В = {x: x2 – 3х + 2 = 0}. Найдите А ˅ В.3. Докажите:а) А˅А = А; б) А˅ = А; в) А˅В = В˅А; г) (А˅В) ˅С = А˅ (В˅С).4. Докажите: если B=А, то A˅B = А.Разность множествРазницей множеств а и в называется множество всех таких элементов множества А, которые не содержатся во множественном числе В.Разность множеств А и В обозначается так: А\В. С помощью диаграммы Эйлера можно изобразить разность множеств А и В.Рассмотрим примеры.а) Если А = {a, b, c, d}, В = {а, с, m, n, p}, то А\В = {b, d}, В\А = {m, п, р}.б) Если А — множество учеников вашего класса, В — множество девочек класса, С — множество мальчиков вашего класса, то А\В = С, А\С = В. В случае, если В — часть множества А (В⊆А), то А\B называется дополнением к В в множестве А и обозначают С/В.Выполнение упражнений1. Дано: Μ == {a, b, с, d}, N = {b, d}. Найдите:a) M\N; б) N\M; в) (Μ \ Ν) U (Ν \ Μ).2. Докажите: а) А \ А = ; б) А \ = А.3. Найдите дополнение к множеству всех тупоугольных треугольников во множественном числе всех треугольников.IV. Подведение итогов урока.Беседа за №№ 1-10 по вопросу и заданию для повторения раздела XII с использованием таблицы 12.V. Домашнее задание.ПРИЛОЖЕНИЕ 22. Тема: Основные понятия теории графовЦели:учебная:– ознакомить учащихся с основными понятиями теории графов, с определением графа;– рассмотреть типы графов и подграфы, основные теоремы теории графов;– учить целенаправленно применять основные понятия теории графов при решении задач.развивающая:– развивать самостоятельное творческое отношение к работе;– развивать умение делать выводы;– развивать системность мышления;воспитательная:– воспитывать у учащихся информационную культуру во время работы с компьютером;– формировать интерес к теории графов;– формировать навыки само - и взаимооценивания.Тип урока: усвоение новых знаний.Оборудование: персональный компьютер.Программное обеспечение: Операционная система Windows, графический редактор CorelDRAW.ХОД УРОКАI. Организационный этап1. Поздравления.2. Подготовка учащихся к уроку.3. Регистрация в журналах учета времени.II. Актуализация опорных знанийФронтальный опрос 1. Что называют структурами данных?2. Каким образом простая переменная отображается на память компьютера?3. Что представляет собой структура данных «массив»?4. Дайте определение структуры данных «стек».5. Какая структура данных называется очередью?III. Мотивация учебной деятельностиМы знаем, что окружающая среда – это совокупность большого количества живых и неживых объектов. Объектами, например, являются: компьютер, установленный на вашем рабочем месте; река, которая течет в вашем селе; книга на вашем столе; лиса, что находится в зоопарке, компьютерная сеть и др.Большинство объектов являются сложными системами.Если абстрагироваться от специфики наполнения или назначения тех или иных объектов, например, трубопроводов, сети дорог, авиалиний, соединяющих населенные пункты, то нетрудно отметить общее, что их объединяет – это наличие множества некоторых объектов, между которыми существует или не существует вполне определенное, достаточно простое соотношение (связь).Подобные свойства имеют электрические цепи, структурные формулы химических соединений, географические карты.Демонстрация слайдов презентации IV. Постановка учебного задания и объявление темы урокаСегодня мы ознакомимся с основными понятиями теории графов. А тему и цель нашего урока вы видите на мультимедийной доске. V. изучение нового материалаУченики записывают тему и план учебного материала урока в тетради.План изложения учебного материала 1. Основные понятия теории графов2. Определение графа3. Некоторые типы графовРассказ учителяВо время описания строения систем, состоящих из связанных между собой элементов, часто используют графические схемы, изображая элементы точками (кругами, прямоугольниками и т. п), а связи между ними – линиями или стрелками, соединяющими элементы. Общей для большинства задач поиск путей, определение последовательности действий и т. п имеется возможность отображения объектов исследования в виде определенного количества точек (именуемых, то есть таких, каждый из которых имеет имя, номер, то есть идентификатор) и определенного количества отрезков (прямой или кривой), соединяющие их. Такое отображение объекта называют графом.Граф является важной составляющей математических моделей в самых разнообразных областях науки и практики и сами могут рассматриваться как модели.В математике наиболее очевидный пример графа – любой многогранник в трехмерном пространстве. Вершины любого многогранника можно рассматривать как элементы определенного множества, а его ребра – как связи между этими элементами. При этом мы абстрагируемся от того, как реально расположены элементы многогранника в пространстве, и оставляем только данные о том, какие вершины соединены ребрами.На графах удобно рассматривать типовые алгоритмы, на которых основывается Программирование самых разнообразных задач, которые на первый взгляд являются совсем не похожими между собой.Полагают, что понятия графа и «задач на графе» возникли из «задачи о кенигсбергских мостах». Город Кенигсберг (ныне – Калининград), возникший еще в VIII веке, состоял из трех независимых городских поселений и нескольких небольших поселков, расположенных на островах и берегах реки Прегель. Город делился на четыре главные части. Для связи между частями города уже в XIV веке начали строить мосты, которые были построены семь. Местные жители составили такую загадку: как пройти по всем мостам так, чтобы не пройти ни одним из них дважды. Горожане и гости города пытались решить эту задачу как теоретически, так и практически, во время прогулок. Но никому это не удавалось, хотя никто и не мог доказать, что это невозможно. Леонард Эйлер в письме итальянскому математику Марионе написал, что смог найти правило, руководствуясь которым можно решить эту задачу.Интерактивное упражнение «ажурная пилка»1. Инструктирование. Учитель рассказывает ученикам о цели упражнения по методу «ажурная пилка», правилах, последовательности действий и количестве времени на выполнение задания.2. Учащиеся получают карточку одного из цветов (синего, зеленого или фиолетового), объединяются в три «домашние» группы, по цветам. Задания для групп: ознакомиться с приведенным теоретическим материалом.VI. Проверка понимания изученногоМетод «Микрофон»1. Что такое граф? Из каких элементов он состоит?2. Какие вершины называют инцедентными ребрам?3. Какие вершины называют смежными?4. Какие вершины называют изолированными?5. Какой граф называют плоским, а какой – пространственным?6. Какие вершины графа называют связанными?7. Что называют циклом в графе?8. Какой граф называют деревом, а какое – лесом?9. Какой граф называют ориентированным, или орграфом?10. Какие числа называют входной степеней и выходной степеней для вершины в орграфе?11. Какой граф называют взвешенным?12. Какой граф называют эйлеровым?13. Какой граф называют гамильтоновым?VII. Применение знаний и навыковПрактические упражнения на компьютере1. Нарисуйте, используя векторный графический редактор CorelDRAW, как граф, треугольник, тетраэдр, куб.2. Нарисуйте схему станций метрополитена, степени вершин графа, что является его моделью, одинаковые (можно предположить наличие кольцевой линии).Взаимопроверка и оценка результатовВыполнение упражнений для снятия усталости глаз и мышечного напряженияVIII. Обобщение и систематизация знанийПодведение итоговИтак, на уроке мы рассмотрели основные понятия теории графов, научились графически изображать вершины и ребра графа.IX. Сообщение домашнего задания1. Изучить теоретический материал к уроку.