Математическая статистика

Для больших выборок или когда метод является приближенным, функция signrank вычисляет p-значение, используя z-статистику, заданную следующим образом:где n - размер выборки разности x - y или x - m. Для случая с двумя выборками signrank использует [tie_rank, tieadj] = tiedrank (abs (diffxy), 0,0, epsdiff) для получения значения регулировки связи tieadj.Для реализации критерия Вилкоксона в МатЛаб имеются следующие функции.p = signrank(x)p = signrank(x,y)p = signrank(x,y,Name,Value)[p,h] = signrank(___)[p,h,stats] = signrank(___)[___] = signrank(x,m)[___] = signrank(x,m,Name,Value)Функцияp = signrank(x)возвращаетp-value для двустороннего критерия Вилкоксона. signrank проверяет нулевую гипотезу о том, что данные в векторе x поступают из распределения, медиана которого равна нулю на уровне значимости 5%. Тест предполагает, что данные в x поступают из непрерывного распределения, симметричного относительно его медианы.При уровне значимости по умолчанию 5% значение h = 1 указывает, что тест отвергает нулевую гипотезу о нулевой медиане.p = signrank(x,y)возвращает p-значение парного двустороннего теста для нулевой гипотезы о том, что x - y происходит из распределения с нулевой медианой. Проверяет гипотезу о нулевой медиане разницы x – y.p = signrank(x,y,Name,Value)возвращает p-значение для проверки с дополнительными параметрами, указанными одним или несколькими аргументами пары Name, Value. [p, h] = signrank (___) также возвращает логическое значение, указывающее решение теста. h = 1 указывает на отклонение нулевой гипотезы, а h = 0 указывает на невозможность отклонить нулевую гипотезу на уровне значимости 5%. Можно использовать любой из входных аргументов в предыдущих синтаксисах.[p, h, stats] = signrank (___) также возвращает статистику структуры с информацией о тестовой статистике.[___] = signrank (x, m) возвращает любой из выходных аргументов в предыдущих синтаксисах для нулевой гипотезы о том, что данные в x являются наблюдениями из распределения с медианой m.[___] = signrank (x, m, Name, Value) возвращает любой из выходных аргументов в предыдущих синтаксисах для теста ранжирования со знаком с дополнительными параметрами, заданными одним или несколькими аргументами пары Name, Value.'alpha',0.01,'method','approximate','tail','right' определяет правосторонний знаковый ранговый тест с 1% уровнем значимости, который возвращает приблизительное p-значение.Выходные аргументы p-value – неотрицательный скалярp-значение теста, возвращенное как неотрицательный скаляр от 0 до 1. p - это вероятность того, что статистика теста будет экстремальной или более экстремальной, чем наблюдаемое значение при нулевой гипотезе. signrank вычисляет двустороннее p-значение, удваивая наиболее значимое одностороннее значение.h — Результат проверки гипотезы1 | 0Результат проверки гипотезы, возвращенный как логическое значение.Если h = 1, это указывает на отклонение нулевой гипотезы на уровне значимости 100 * альфа%.Если h = 0, это указывает на невозможность отклонить нулевую гипотезу на уровне значимости 100 * альфа%.stats—Тестовая статистикаСтатистика теста, возвращенная в виде структуры. В статистике хранится следующая тестовая статистика:signrank: Значение статистики критерия знакового ранга.zval: значение z-статистики (вычисляется, когда указан "метод" является "приблизительным").Алгоритмыsignrank обрабатывает NaN в x и y как отсутствующие значения и игнорирует их.Для случая с двумя выборками signrank использует допуск на основе значений epsdiff = eps (x) + eps (y). Функция signrank обрабатывает любую пару значений с разницей d (i) = x (i) - y (i), которые отличаются не более чем на сумму их двух значений eps (abs (d (i)) > length(T1) ans = 4598График первого фрагмента исходной функции:plot(1:50,T(1:50))График другого фрагмента ряда:plot(1000:1050,T(1000:1050))title('функция для аппроксимации')xlabel('P') ylabel('T')Следовательно, нужно провести вариант расчета критерия для большой выборки.Шаг 2. Поскольку размер выборки больше 15, signrankтест для больших выборок проводится с использованием приближенного метода вычисления p-значения, а также возвращает значение z-статистики.Проведем односторонний тест на большой выборке с использованием аппроксимации.Проверяем нулевую гипотезу о том, что средняя величина измеренного диаметра светового пятна отличается от медианного значения. По умолчанию это двусторонняя проверка.>> [p,h,stats] = signrank(T1,m)Получаем результат:p = 3.6861e-10h = 1stats = zval: 6.2668signedrank: 5.7937e+06Значение h = 1 указывает на то, что тест дает основания отвергнуть нулевую гипотезу об отсутствии разницы между медианной оценкой при 5% уровне значимости. Имеется достаточно статистических данных, чтобы сделать вывод о том, что средний размер пятнане равен медианной оценке. Следовательно, имеется смещение среднего диаметра в процессе эксперимента.Можно аналогично проверить гипотезу о постоянстве среднихпри 1% уровне значимости mean(T1):[p,h,stats] = signrank(T1,mean(T1),'alpha',0.01,'method', 'approximate','tail','both')p = 1.3715e-17h = 1stats = zval: 8.5375signedrank: 6055087Двусторонняя проверка гипотез - тип проверки по умолчанию.В этом случае Н0-гипотеза также отвергнута, т.е. вероятность смещения еще раз подтверждена. Далее нужно установить характер этого смещения.Нормальное приближение при вычислении p-значения, р-значение по умолчанию для более 15 наблюдений в x, x - m, когда 'method' не указан, потому что точный метод может быть медленным на больших выборках.Шаг 3.Следующая функция определяет правосторонний знаковый ранговый тест с 1% уровнем значимости, который возвращает приблизительное p-значение.[p,h,stats] = signrank(T1,mean(T1),'alpha',0.01,'method','approximate','tail','right')p = 6.8577e-18h = 1stats = zval: 8.5375signedrank: 6055087Для теста с одной выборкой альтернативная гипотеза утверждает, что данные в x поступают из непрерывного распределения со средним значением, отличным от 0 или m. Двусторонняя и правая гипотеза были отвергнуты, остается проверить напрямую гипотезу левостороннего сдвига диаметра светового пятна.[p,h,stats] = signrank(T1,mean(T1),'tail','left',...'alpha',0.01,'method','approximate')p = 1h =0stats = zval: 8.5375signedrank: 6055087Таким образом, гипотеза левостороннего сдвига диаметра светового пятна подтверждена. Полученные результаты позволяют сделать вывод о несимметричности экспериментальных данных относительно как медианы, так и среднего значения.ЗаключениеНепараметрические процедуры часто более эффективны, чем классические тесты для реальных данных, которые редко имеют нормальное распределение. Также, описаны существующие методы расчёта математической статистики (по типу Т-критерия Вилкоксона) с разбором и описанием принципов методов.С помощью непараметрической процедуры критерия Вилкоксона в среде MatLabисследован реальный массив результатов измерения площади изображения круглой метки. Методами математической статистики выявлена тенденция этих значений в сторону уменьшения. Список использованной литературыЛапач С. Н., Чубенко А. В., Бабич П. Н. Статистика в науке и бизнесе. — Киев: Морион, 2002. — 164-166 с.Gibbons, J. D., and S. Chakraborti. Nonparametric Statistical Inference, 5th Ed., Boca Raton, FL: Chapman & Hall/CRC Press, Taylor & Francis Group, 2011.Кобзарь А. И. Прикладная математическая статистика. — М.: Физматлит, 2006. — 457-458 с.Hollander, M., and D. A. Wolfe. Nonparametric Statistical Methods. Hoboken, NJ: John Wiley & Sons, Inc., 1999.Орлов А. И. Эконометрика. — М.: Экзамен, 2003. — §4.5.Бочаров П.П., Печенкин А.В. Математическая статистика: Учебное пособие для вузов. – М.: Изд-во ун-та Дружбы Народов, 1994. – 164 с.Лагутин М. Б. Наглядная математическая статистика. В двух томах. — М.: П-центр, 2003. — 222-227 с.Плохинский Н.А. Биометрия. 2-е изд. – М.: МГУ, 1970. – 368 с.Пустыльник Е.И. Статистические методы анализа и обработки наблюдений. – М.: Наука, 1968. – 185 с.Холлендер М., Вулф Д. Непараметрические методы статистики. — М.: Финансы и статистика, 1983.