«ИССЛЕДОВАНИЕ КОЛЕБАНИЙ МЕХАНИЧЕСКОЙ СИСТЕМЫ С ОДНОЙ СТЕПЕНЬЮ СВОБОДЫ»

Составление дифференциального уравнения движения механизма с помощью принципа Даламбера-ЛагранжаОбщее уравнение динамики является развитием общего уравнения статики, основанного на принципе возможных перемещений.(4.1)По определению возможная работа является скалярным произведением вектора силы на вектор возможного перемещения его точки приложения:(4.2)Представим уравнение (4.1) в виде:(4.3)Возможное перемещение можно выразить через скорость и бесконечно малое время :(4.4)Если подставить (4.4) в (4.3) и разделить всё уравнение на , то получим общее уравнение динамики в более удобной форме:(4.5)В уравнении (4.5) первая сумма представляет мгновенную мощность активных сил, которая уже была определена в (1.10). Вторая сумма является мгновенной мощностью сил инерции. Сами силы инерции определяются произведением массы тела на ускорение , а моменты сил инерции – произведением главного момента инерции на угловое ускорение во вращательном движении тела:;Знак «минус» указывает на противонаправленность сил и ускорений.Изобразим расчётную схему, как показано на рис.4.Рис.4Запишем соотношения между ускорениями тел системы. Они будут такими же, как и соотношения скоростей (1.1):;;;(4.6)Определим модули инерционных сил:;;;.Определим мгновенную мощность инерционных сил:.(4.7)Введём приведённую массу:(4.8)Как видим, её величина полностью совпадает с (1.7).Подставим (1.10) и (4.7) с учётом (4.8) в уравнение (4.5) и получим:(4.9)Разделим уравнение (4.9) на и придадим ему принятый вид:(4.10)Как видим, уравнение (4.10) полностью совпадает с (1.11). Дальнейшие действия описаны в разделах 1 и 2.Составление дифференциального уравнения движения механизма с помощью уравнений Лагранжа 2-го родаСоставим теперь уравнение Лагранжа 2-го рода. В качестве обобщённой координаты примем перемещение груза 1. Для механической системы с одной степенью свободы дифференциальное уравнение движения в обобщённых координатах имеет вид:(5.1)Кинетическую энергию мы определяли в (1.6). Здесь мы её запишем через обобщённую скорость:(5.2)Обобщённая сила определяется как отношение суммы работ активных сил на возможных перемещениях к возможному перемещению обобщённой координаты:(5.3)Соотношения между возможными перемещениями аналогичны кинематическим соотношениям, определённым в (1.1):Поэтому формулу (5.3) можно записать в виде:(5.4)В формуле (5.4) определяется суммарная мощность активных сил, которая была вычислена в (1.10). Отсюда вытекает, что обобщённая сила , обозначенной в выражении (1.9).Решаем уравнение (5.1):;(5.5)Обозначаем приведённую массу , подставляем в формулу (5.5) и получаем уже известное уравнение:(5.6)Результаты вычисленийДля осуществления вычислений и дальнейших построений графиковзапишем опять формулу (2.16) и дважды продифференцируем это выражение:;;(6.1)(6.2)Определим предельное значение силы сцепления катка 4 с наклонной плоскостью, используя зависимость (3.14) и исходные данные: Н.(6.3)Определим силы натяжения нитей и , а также силу сцепления катка 4 с наклонной плоскостью, используя зависимости (3.7), (3.10) и (3.13), а также исходные данные:(6.4)(6.5)(6.6)По формулам (2.16), (6.1) – (6.6) рассчитываются значения функций для интервала времени с и строятся графики. На основании этих графиков делаются выводы об устойчивости в работе системы.