Особенности скин-эффекта в тонких пленках

н. тонкая пленка),а кривая 2 – макроскопический объект (d >> Λ).Как видно из рисунка, это обстоятельство заметно сказывается на величине модуля амплитуды безразмернойнапряженности электрического поля.Практически во всем объемепроводника ход кривой 1 носитосциллирующий характер, что связано с прохождениемвеличинычерез квазирезонансы– области,где вклады от различных траекторий электронов с одинаковыми фазами складываются, а с разными фазами – уничтожаются. Анализ хода кривой 2, напротив, показывает, что в случае сильного скин-эффекта электрическоеполе отсутствует практически во всем объеме макроскопической поверхности. По мере роста размера частицыосцилляции на кривой 1будут сглаживаться. Это произойдет за счет увеличенияобъемного рассеяния электронов и преобладания егонад поверхностным.Рисунок 9– Аномальный (кривая 1) и нормальный (кривая 2) скин-эффект в тонкой металлической пленке. Зависимость нормированной амплитуды напряженности электрического поля от безразмерной координаты внутри проводника. На рисунке10 приведены зависимости модуля амплитудыбезразмерной плотности токаот безразмерной координаты внутри проводящей среды. Кривые 1 и 3построены с учетом скин-эффекта, тогда как,кривая 2построена безучета этого явления.Анализ хода кривых 1 и 2 (результаты получены с помощью кинетического подхода) показывает,что в приповерхностном слое имеет место некотороеувеличение плотности тока за счет поверхностного рассеяния электронов. При этом следует отметить наличиена кривой 1 максимума плотности тока. Анализ ходакривой 3, которая соответствует нормальному скин-эффекту, показывает монотонное убывание безразмерной плотности тока.Рисунок 10– Аномальный (кривая 1) и нормальный (кривая 3) скин-эффект в тонкой металлической пленке. Кривая 2 получена без учета скин-эффекта. Зависимость нормированной плотности тока от безразмерной координаты внутри проводника.3.4Моделирование динамики электронов в тонком металлическом слое Моделирование динамики отдельного или группы электронов в проводящей среде является актуальной задачей. Выше было упомянуто, что кинематическое уравнение (22) может быть решено численными методами в рамках компьютерного симулирования. Кроме классических подходов решения дифференциальных уравнений, таких как метод конечных разностей и метод конечных элементов, для моделирования динамики множества частиц, находящихся во внешнем силовом поле (электрическом в нашем случае), может эффективно применяться, активно развивающийся в настоящее время, метод дискретных элементов (или метод дискретных частиц) [12].На рисунке 11 показана формулировка задачи в рамках метода дискретных частиц. Электрон принимает в виде сферической частицы с его классическим радиусом.Рисунок 11– Моделирование динамики электронов в тонком металлическом слое методом дискретных частиц.На рисунке 11 величина NΣ есть суммарное количество частиц, фигурирующее в системе. Частицы, вышедшие из анализируемого объема, удаляются из памяти ЭВМ и больше не присутствуют в системе, как таковые. Такое моделирование очевидным образом ограничено по времени:(25)Важно отметить, что отчеты о состоянии системы снимаются через промежуток времени равный Δt, при чем Δt<τ.Ядро вычислителя метода дискретных частиц обрабатывает все возможные столкновения,такие как частица – стенка или частица – частица. Столкновения частиц, такие как электрон-электрон или электрон-атом, описываются через угол рассеяния [4], [5]:(26)где rminи rav – минимальное и среднее расстояние между частицами соответственно, b – известный параметр, заданный характером соударения, U – потенциальная энергия взаимодействия частиц. Взаимодействие электрона с поверхностью тонкого металлического слоя определяется через функцию работы выхода (Wf)и энергии Ферми системы (Ef):(27)где V – объем анализируемой среды согласно рисунку 10. Формула (10) справедлива строго для тонких пленок, для которых dсоразмерно Λ. Обратим внимание также, что работа выхода есть функция от времени, согласно (25), так как в динамическом моделировании концентрация частиц в анализируемом объеме, в общем случае, не является постоянной величиной.Важно отметить, что вектор s, произвольно показанный на рисунке 11, есть вектор действия внешнего по отношению к частицам силового поля. В первом приближении, вектор s, есть вектор напряженности вынуждающего электрического поля. В более точных, полномасштабных расчетах в него может быть включена, дополнительно сила тяжести, действующая на движущиеся частицы.Таким образом кинетическое уравнение (22) решается во временной области, получая отчет о динамическом состоянии системы многих движущихся частиц, с учетом (26) и (27). Очевидным образом такой подход в моделировании требует значительных вычислительных ресурсов, именно поэтому получил свое активное развитие относительно недавно, при давно известном и хорошо разработанном теоретическом базисе, и физико-математическом аппарате.3.5Магнитные эффекты при аномальном скин-эффекты Выше мы не рассматривали влияние магнитных свойств сильно проводящей среды и особенно тонкой пленки металла на скин-эффект, т.е. фактически пренебрегали ими полагая, что μr = 1 в (5). Здесь рассмотрим некоторые особенности вне данной аппроксимации. Легко, однако показать, что пренебрежение парамагнитным спином электронов проводимости приводит к значительным ошибкам в установлении характеристик распределения тока в тонких металлических пленках [13]. В первую очередь это связано с уменьшением магнитного момента на т.н. эффективной глубине скин-слоя:(28)где T0 и Tsp – время движения электронов без столкновениябез учета магнитных свойств и с учетом магнитных свойств металла (в первую очередь парамагнитного спина). Сравнивая величину (28) с толщиной скин-слоя при нормальном эффекте (3), получаем:Таким образом учет момента магнитного спина электрона дает, пусть малый, но в некоторый случаях заметный эффект. Кинетическое в этом случае будет выглядеть следующим образом (в обозначениях из (22)):(29)Важно указать, что уравнения (29) решаются совместно с (26), а также с уравнениями Максвелла (5) и (6).Решение (29) приводит к получению т.н. коэффициента передачи электронов проводимости:(30)Фактически этот косвенным образом определяет подвижность свободных носителей заряда на порядках длины равных Λ. Для аномального скин-эффекта и особенно в тонких металлических планках порядок этой величины может быть (-10), тогда как при нормальном скин-эффекте (-17).Укажем, что приближенное значение (30) может быть уточнено при решении кинетического уравнения (29) методом дискретных частиц, который был описан выше. Для этого в физико-математический аппарат вычислительно ядра для анализа движения отдельной частицы, должен быть внесен ее парамагнитный спин, а именно его характерное влияние на кинематические и динамические параметры движения. Магнитный момент есть:(31)где dl– элемент длины. Таким образом, с учетом (31), при моделировании динамики электронов в тонкой металлической пленки с учетом магнитного момента электрона, добавляется новый эффект, который необходимо учитывать – дополнительная степень свободы частицы. Модель, показанная на рисунке 11, может быть проиллюстрирована так, как это показано на рисунке 12. Рисунок 12 – Моделирование динамики электронов в тонком металлическом слое методом дискретных частиц с учетом магнитного момента электрона.Частицы в модели, показанной на рисунке 12 уже, не являются сферическими и имеют выраженные полюса. Вектор sв данном случае в себя должен включать как осциллирующее электрическое поле, так, и связанное с ним, магнитное поле.ЗаключениеВ данной работе был рассмотрен важное для развития науки и техники явление – скин-эффект, и его особо интересное в настоящее время проявление – в тонких металлических пленках. Обозначим наиболее важные полученные выводы.В силу того факта, что малые шероховатости металлических стенок резонатора характерным образом влияют на его добротность, через изменение поверхностного импеданса, в расчет которого, непосредственным образом входит глубина скин-слоя,экспериментальным образом может быть установлено качество обработки металлических пленок, с точностью до 95%.Также, в рамках этого изучения, можно сделать вывод о том, что отражение электромагнитных волн от тонких металлических пленок носит скорее зеркальный, чем диффузный характер.Аномальный скин-эффект, в общем случае, может проявлять в двух случаях: при низких температурах, при которых металл переходит в сверхпроводящее состояние, либо для тонких металлических пленок. В обоих случаях толщина скин-слоя меньше или соразмерна средней длине свободного пробега электрона проводимости в среде.Практически во всем объемепроводниказависимость плотности тока от расстояния по внутренней нормали к поверхности, при аномальном скин-эффекте, носитосциллирующий характер, что связано с прохождениемвеличинычерез квазирезонансы– области,где вклады от различных траекторий электронов с одинаковыми фазами складываются, а с разными фазами – уничтожаются.Анализ напряженности электрического поля внутри тонкой металлической пленки показывает, что в приповерхностном слое имеет место некоторое увеличение плотности тока за счет поверхностного рассеяния электронов.Кинетическое уравнение относительно неизвестной функции распределение электронов проводимости в тонкой металлической пленки может быть решено рядом методов, с разной степенью точности. Одним из наиболее перспективных является метод дискретных частиц.Учет парамагнитных свойств при вычислении кинетического уравнения может иметь заметное влияние на целевую функцию распределения свободных носителей заряда, особенно при анализе скин-эффекта в тонких металлических пленках. Это, в первую очередь, связано с влиянием магнитного момента на динамику электронов в периодическом по времени электромагнитном поле.Оценивая полноту решения и степень проработки темы следует указать, что в рамках настоящей работы были рассмотрены как классические подходы изучения скин-эффекта, начиная с описания теоретического базиса, который затем был в значительной степени развернут непосредственным решением системы уравнений Максвелла, так и самые современные численные подходы для решения кинетического уравнения электрона, которые требуют значительных вычислительных ресурсов и реализуются, в основном, на новейших суперкомпьютерах. Именно в этом контексте и усматривается одно из основных направлении развитие затронутой темы. Однако, математическое моделирование, само по себе, не всегда является законченным научным исследованием и, чаще всего, требует верифицирующего натурного эксперимента. Естественным образом постановка высокоточных и, что важнее, полномасштабных натурных экспериментов над проявлением аномального скин-эффекта в тонких металлических пленках (или даже двумерных), является приоритетным направлением развития проблемы. Получение экспериментальных образцов, тех самых тонких или двумерных материалов, также актуальная задача, решение которой может является дополнительным приоритетом развития темы.Список литературыW.H.Hayt, Engineering Electromagnetics, 5-еиздание, McGraw-Hill, 1989.С.Г. Калашников, Электричество, 6-е издание, Москва:Физматлит, 2003.Д.В. Сивухин, Общий курс физики, 3-е издание, т.IV Оптика, Москва: Физматлит, 2005.Ч. Киттель, Квантовая теория твердых тел, Москва: Наука, 1967.Дж. Джексон, Классическая электродинамика, Москва: Мир, 1965.Н.А. Семенов, Техническая электродинамика, Москва: Связь, 1973.A. Hernandez, E. Martin, J. Margineda, and J.M. Zamarro, ‘Resonant cavities for measuring the surface resistance of metals at X-band frequencies’, J. Phys. E: Sci. Instrum.,вып. 19, стр. 222–225, 1986.P. Banerjee, G. Ghosh, and S.K. Biswas, ‘Measurement of dielectric constant of medium loss cylindrical-shaped samples using cavity perturbation method’, International Conference on Recent Advances in Microwave Theory and Applications, стр. 124–125, 2008.М. Борн, Э. Вольф, Основы оптики, издание 2-е исправленное. Москва: Наука, 1973.А.И. Уткин, ‘Распределение электрического тока в тонком металлическом слое под действием переменного электрического поля’, Вестник МГОУ. Серия: Физика-Математика, вып. 3, стр. 38–45, 2014.Э.В. Завитаев, О.В. Русаков, А.А. Юшканов, ‘Скин-эффект в тонкой цилиндрической проволоке из металла’, Физика твердого тела, т. 54, вып. 6, стр. 1041–1047, 2012.A. Thornton, T. Weinhart, S. Luding,O. Bokhove, ‘Modeling of particle size segregation: calibration using the discrete particle method’, International Journal of Modern Physics C, т. 23, вып. 8, стр. 1–12, 2012.M.Ia. Azbel’, On the theory of skin effect in metals,Журналэкспериментальнойитеоретическойфизики, т. 32, стр. 1027–1028, 1957.